2022年高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 .pdf

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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义：第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 | F1F2| ，定义中的 “绝对值”与2a|F1F2| 不可忽视 。若2a|F1F2| ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线

2、是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在x轴 上 时12222byax（0ab） ，焦点在y轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A，B，C 同号， AB） 。若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）（ 2 ） 双 曲 线 ： 焦 点 在x轴 上 ：2222byax =1 ， 焦 点 在y轴 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。 方 程22AxByC表示双曲线的

3、充要条件是什么？（ ABC0，且 A，B 异号） 。如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上， 离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P， 则 C 的方程为 _（答：226xy）（ 3 ） 抛 物 线 ： 开 口 向 右 时22(0)ypx p， 开 口 向 左 时22(0 )yp xp， 开 口 向 上 时22(0)xpy p， 开 口 向 下 时22(0 )xp yp。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如 已 知 方 程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 _（

4、答：)23, 1()1,(）（2）双曲线 ：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提 醒 ： 在 椭 圆 中 ，a最 大 ，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质：（ 1 ） 椭 圆 （ 以12222byax（0ab） 为 例 ）： 范 围 ：,axabyb； 焦点 ：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0), (0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b； 准线 ：两条准线2axc； 离心率 ：cea，椭圆01e，e

5、越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（ 1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（ 2 ） 双 曲 线 （ 以22221xyab（0,0ab） 为例） ： 范围 ：xa或,xa yR； 焦 点 ： 两 个 焦 点(,0)c； 对 称 性 ： 两 条 对 称 轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为 2b， 特别地， 当实轴和虚轴的长相等时 ， 称 为 等 轴 双 曲 线 ， 其 方 程 可 设 为22,0

6、 xyk k；准线 ：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线 ：byxa。（ 3） 抛物线 （以22(0)ypx p为例） ： 范围 ：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线 ：一条准线2px； 离心率 ：cea，抛物线1e。如 设Raa,0， 则 抛 物 线24axy的焦点坐标为_（答：)161, 0(a） ；5 、 点00(,)P xy和 椭 圆12222byax（0ab） 的关系 ： （1） 点00(,)P

7、xy在 椭 圆 外2200221xyab； （ 2） 点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交， 但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0直线与椭圆相切；0直 线 与 双

8、曲 线 相 切 ；0直线与抛物线相切；（3）相离 ：0直线与椭圆相离；0直 线 与 双 曲 线 相 离 ；0直线与抛物线相离。提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （2）过双曲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载FAPHBQ线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近

9、线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点 与 两 焦 点 所 构 成 的 三 角 形 ） 问 题 ：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲

10、线2tan2bS。 如（1）短轴长为5，练习：点 P是双曲线上11222yx上一点 ，21,FF为 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 且21PFPF=24，求21FPF的周长。8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF ； （3）设AB为焦点弦， A 、B在准线上的射影分别为A1，B1，若 P为 A1B1的中点，则 PA PB ；（4）若 AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过B 点平行于 x 轴的直线交准线于C点，则 A，O ，C三点共线。9、弦长公式

11、 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、 B， 且12,x x分别为 A、B的横坐标，则AB2121kxx，若12,y y分别为 A、B的纵坐标，则AB21211yyk，若弦AB 所在直线方 程 设 为xkyb， 则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线22221xyab

12、中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛 物 线22(0 )yp xp中 ，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！11了解下列结论（1）双曲线12222byax的渐近线方程为0byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到

13、相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2 p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦 （过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB ，1122(,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为 _ (2)抛物线C: y2=4x 上一点 Q 到点B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最

14、小 ,则点 Q 的坐标为。分析： （1）A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2） （2） （1 ,41）1、已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：2kxy与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的 两 个 交 点A和B满 足6OBOA( 其中O为原点 ) ， 求k的取值范围。解 ： （ ）

15、 设 双 曲 线C2的 方 程 为12222byax，则.1, 31422222bcbaa得再由故 C2的方程为221.3xy（II ）将)41 (142222xkyxkxy得代入由直线l与椭圆 C1恒有两个不同的交点得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载, 0)14(16)41(16)28(22221kkk即21.4k0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将. 由直线l与双曲线 C2恒有两个不同的交点A，B得2222222130,11.3( 62 )36(13)36(1)0.kkkkk

16、k即且226 29(,),(,),131366,(2)(2)AABBABABABABABABABABkA xyB xyxxxxkkOA OBx xy yx xy yx xkxkx设则由得而222222(1)2 ()2962(1)22131337.31ABABkx xk xxkkkkkkk22223715136,0.3131kkkk于是即解 此 不 等 式 得22131.153kk或由、得.11513314122kk或故k的取值范围为13311313(1,)(,)(,)(,1)153223152、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B点在直线 y = -3上， M点满足MB/OA，

17、 MA?AB = MB ?BA ，M点的轨迹为曲线 C。（）求 C的方程； （）P为 C上的动点，l 为 C在 P点处得切线， 求 O点到 l 距离的最小值。( ) 设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB） ?AB=0, 即 （-x,-4-2y）?(x,-2)=0. 所以曲线 C的方程式为y=14x2-2. ( )设 P(x0,y0) 为曲线 C： y=14x2-2 上一点，因为 y=12x, 所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2002

18、20 x xyyx。则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx. 又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x=0 时取等号， 所以 O点到l距离的最小值为 2. 3 设双曲线22221xyab（a0,b 0）的渐近线与抛物线y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于 ( ) 4、过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260F PF，则椭圆的离心率为5、已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上 .则1PF2PF ( )0

19、6、已知直线20yk xk与抛物 线2:8Cyx相 交 于AB、两点，F为C的焦点，若|2 |F AF B，则k( ) 7、已知直线1: 4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）8、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)， 直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（ 2，2） ，则直线 l的方程为 _. 9、椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在 椭 圆 上 ， 若1| 4PF， 则2|PF；12F PF的 大 小为.10、 过抛物线22(0)ypx p的焦点 F作倾斜角为45的直线交抛物

20、线于A、B两 点 ， 若 线 段AB的 长 为8 ， 则p_【解析】设切点00(,)P xy，则切线的斜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载率 为00|2x xyx.由 题意有0002yxx又2001yx解得: 2201,2,1()5bbxeaa双 曲 线12222byax的 一 条 渐 近 线 为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有 唯 一 解 ,所 以 =2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa由渐近线方程为xy知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222yx

21、，于是两焦点坐标分别是（ 2，0）和（2，0） ，且)1 ,3(P或)1,3(P. 不 妨 去)1 ,3(P，则)1, 32(1PF，) 1,32(2PF. 1PF2PF01)32)(32()1,32)(1,32(【解析 】设抛物线2:8Cyx的准线为:2l x直线20yk xk恒过定点P2,0. 如 图 过AB、分别 作AMl于M,BNl于N, 由|2 |FAFB,则|2 |AMBN,点 B 为 AP 的中点 .连结OB,则1|2OBAF, | |OBBF点B的横坐标为1, 故点B的坐标为2 202 2(1,2 2)1 ( 2)3k, 故选 D 2111122122222212121212124,4441yxA x yB xyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，直线 l 的方程为 y-2=x-2,即y=x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页