2022年高中数学参数方程大题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载参数方程极坐标系解答题1已知曲线C：+=1，直线 l：（t 为参数）（）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程（）过曲线C 上任意一点P 作与 l 夹角为 30 的直线，交l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值考点 ：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系专题 ：坐标系和参数方程分析：（）联想三角函数的平方关系可取x=2cos 、y=3sin得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线C 上任意一点P（2cos ， 3sin ） 由点到直线的距离公式得到P 到直线 l 的距离，除以sin30 进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围

2、求得|PA|的最大值与最小值解答：解： （）对于曲线C：+=1，可令 x=2cos 、y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为， （为参数）对于直线l：，由 得： t=x2，代入 并整理得： 2x+y6=0；（）设曲线C 上任意一点P（2cos ， 3sin ） P到直线 l 的距离为则，其中 为锐角当 sin（ + ）=1 时， |PA|取得最大值，最大值为当 sin（ + ）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极

3、坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（为参数）（I）写出直线l 的直角坐标方程；（）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值考点 ：参数方程化成普通方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答：解： （ 1）直线l 的极坐标方程为：， （sin cos ）=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载，xy+1=0 （2）根据曲线C 的参数方程为：（为参数）得（x 2）2+

4、y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2 为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值=点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题3已知曲线C1：（t 为参数），C2：（为参数）（1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C1上的点 P对应的参数为t=，Q 为 C2上的动点，求PQ 中点 M 到直线 C3：（t 为参数）距离的最小值考点 ：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题 ：计算题；压轴题；转化思想分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，

5、即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线C1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解答：解： （ 1）把曲线C1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（4， 3） ，半径 1的圆；把 C2：（ 为参数） 化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为

6、8，短半轴为3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线C1的参数方程得：P（4， 4） ，把直线 C3：（t 为参数）化为普通方程得：x 2y7=0，设 Q 的坐标为Q（8cos ，3sin ） ，故 M（ 2+4cos ，2+sin ）所以 M 到直线的距离d=， （其中 sin =，cos =）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载从而当 cos =，sin =时， d 取得最小值点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题4在

7、直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点， P 是圆 C上不同于 A，B 的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求 PAB 面积的最大值考点 ：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（）由圆C 的极坐标方程为，化为 2=，把代入即可得出（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出解答：解： （）由圆C 的极坐标方程为，化为 2=

8、，把代入可得：圆C 的普通方程为x2+y22x+2y=0 ，即（ x1）2+（y+1）2=2圆心坐标为（1， 1） ，圆心极坐标为；（）由直线l 的参数方程（t 为参数），把 t=x 代入 y=1+2t 可得直线l 的普通方程：，圆心到直线l 的距离，|AB|=2=，点 P 直线 AB 距离的最大值为，点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为求椭圆上点到直线

9、距离的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载考点 ：椭圆的参数方程；椭圆的应用专题 ：计算题；压轴题分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值解答：解：将化为普通方程为（4 分）点到直线的距离（6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为 （10 分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题6在直

10、角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（t 为参数），若以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 =cos（ +） （1）求直线I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M（x，y）是曲线C 上的动点，求x+y 的最大值考点 ：参数方程化成普通方程专题 ：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析：（1）将曲线C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值解答：解： （ 1）直线 I 的参数方程为（t 为参数），消去 t，可得，

11、 3x+4y+1=0 ；由于 =cos（ +）=（） ，即有 2= cos sin ，则有 x2+y2x+y=0 ，其圆心为（，） ，半径为r=，圆心到直线的距离d=，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（为参数），则设 M（，） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载则 x+y=sin（） ，由于 R，则 x+y 的最大值为1点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题7选修 4 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系x

12、Oy，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为（）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（t 为参数）距离的最小值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：（1）利用 x= cos ，y= sin即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解 （1） P 点的极坐标为，=3，=点 P的直角坐标把 2=x2+y2，y= sin代入可得，即曲线 C 的直角坐标方程为（2）曲线 C 的参数方程为（为参数），直

13、线 l 的普通方程为x2y7=0 设，则线段PQ 的中点那么点 M 到直线 l 的距离.，点 M 到直线 l 的最小距离为点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题8在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（为参数）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C 的极坐标方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载（）直线l 的极坐标方程是 （sin +）=3，射线

14、OM： =与圆 C 的交点为O，P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ：直线与圆分析：（I）圆 C 的参数方程（为参数）消去参数可得： （x1）2+y2=1把 x= cos ，y= sin代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II ） 由直线 l 的极坐标方程是（sin +） =3， 射线 OM： = 可得普通方程： 直线 l，射线 OM分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出解答：解： （ I）圆 C 的参数方程（为参数）消去参数可得： （x1）2+y2=1把 x= cos ，y= sin代入化简得： =2cos ，即

15、为此圆的极坐标方程（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是 （sin +）=3，射线 OM ： =可得普通方程：直线l，射线 OM联立，解得，即 Q联立，解得或P|PQ|=2点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题9在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 sin（ +）=4（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、 -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载（2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点P到 C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= cos 、y= sin ，把极坐标方程化为直角坐标方程（2）求得椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的的值，从而求得点P的坐标解答：解： （ 1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1的普通方程为：由曲线 C2：得：，即 sin + cos =8，所以 x

17、+y 8=0，即曲线 C2的直角坐标方程为：x+y8=0（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点到直线 x+y 8=0 的距离为，当时， d 的最小值为，此时点 P 的坐标为点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题10已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆 C 的极坐标方程为 =2cos（ +） （）求圆心C 的直角坐标；（）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与

18、极坐标间的关系，即利用 cos =x， sin =y，2=x2+y2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可解答：解： （ I），圆 C 的直角坐标方程为，即，圆心直角坐标为 （5 分）（II ）直线 l 的普通方程为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载圆心 C 到直线 l 距离是，直线 l 上的点向圆

19、C 引的切线长的最小值是（10 分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化11在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为， （ t 为参数），曲线 C1的方程为 （ 4sin ）=12，定点 A（6， 0） ，点 P 是曲线 C1上的动点， Q 为 AP 的中点（1）求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）直线 l 与直线 C2交于 A，B 两点，若 |AB| 2，求实数a的取值范围考点 ：简单曲线的极坐标方程；参数方程化

20、成普通方程专题 ：坐标系和参数方程分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围解答：解： （1）根据题意，得曲线 C1的直角坐标方程为：x2+y24y=12，设点 P（x，y ） ， Q（ x，y） ，根据中点坐标公式，得，代入 x2+y24y=12，得点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程为： （x3）2+（y1）2=4，（2）直线 l 的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：0，点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程

21、，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合， 属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载12 在直角坐标系xoy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1， 直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin ， cos（）=2（）求 C1与 C2交点的极坐标；（） 设 P 为 C1的圆心， Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（t R 为参数），求 a，b 的值考点 ：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程

22、化成普通方程专题 ：压轴题；直线与圆分析：（I）先将圆C1，直线 C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I）得， P与 Q 点的坐标分别为（0，2） ， （1，3） ，从而直线PQ 的直角坐标方程为xy+2=0 ，由参数方程可得y=x+1，从而构造关于a，b 的方程组，解得a，b 的值解答：解： （ I）圆 C1，直线 C2的直角坐标方程分别为x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1与 C2交点的极坐标为（4，） （2，） （II ）由（ I）得， P与 Q 点的坐标分别为（0，2） ， （1，3） ，故直线 PQ 的直角坐标方程

23、为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，解得 a= 1，b=2点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题13在直角坐标系xOy 中， l 是过定点P（4， 2）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为 =4cos（）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（）若曲线C 与直线相交于不同的两点M、N，求 |PM|+|PN|的取值范围解答：解： （ I）直线 l 的参数方程为（t 为参数）曲线 C 的极坐标方程 =4cos可化为 2=4

24、cos 把 x= cos ，y= sin代入曲线C 的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（ x2）2+y2=4（II ）把直线 l 的参数方程为（ t 为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sin +cos ）t+4=0曲线 C 与直线相交于不同的两点M、 N， =16（sin +cos ）2160，sin cos 0，又 0， ） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品资料欢迎下载又 t1+t2=4（sin +cos ） ，t1t2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin +cos

25、|=，|PM|+|PN|的取值范围是点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 =2sin （）写出 C 的直角坐标方程；（） P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标考点 ：点的极坐标和直角坐标的互化专题 ：坐标系和参数方程分析：（I）由 C 的极坐标方程为 =2sin 化为 2=2，把代入即可得出； （II ）设 P，又 C利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出解

26、答：解： （I）由 C 的极坐标方程为 =2sin 2=2，化为 x2+y2=，配方为=3（II ）设 P，又 C|PC|= 2，因此当 t=0 时， |PC|取得最小值2此时 P（3，0） 点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知曲线C1的极坐标方程为 =6cos ，曲线 C2的极坐标方程为 =（p R） ，曲线 C1，C2相交于 A， B 两点（）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦AB 的长度考点 ：简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：（）利用直角坐标与极坐标间的关系，

27、即利用 cos =x， sin =y，2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程（）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载解答：解： （）曲线C2：（p R）表示直线y=x，曲线 C1： =6cos ，即 2=6 cos所以 x2+y2=6x 即（ x3）2+y2=9 （）圆心（3，0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB=弦 AB 的长度点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐

28、标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题16在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin（ +）=，圆 C 的参数方程为， （为参数， r 0）（）求圆心C 的极坐标；（）当 r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系专题 ：计算题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去 可得曲线 C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦

29、公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线 l 的距离的最大值，最后列出关于r 的方程即可求出r 值解答：解： （ 1）由 sin（ +）=，得 （cos +sin ）=1，直线l：x+y1=0由得 C：圆心（，） 圆心 C 的极坐标（ 1，） （2）在圆 C：的圆心到直线l 的距离为：圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3，r=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载当 r=2时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方

30、程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容17选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆 C1：x2+y2=4，圆 C2： （x2）2+y2=4（）在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1， C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示） ；（）求圆C1与 C2的公共弦的参数方程考点 ：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程专题 ：计算题；压轴题分析：（I）利用，以及 x2+y2=2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1， C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与 C2的公

31、共弦的参数方程解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与 C2的公共弦的参数方程解答：解： （ I）由，x2+y2=2，可知圆，的极坐标方程为 =2，圆，即的极坐标方程为 =4cos ，解得： =2，故圆 C1，C2的交点坐标（ 2，） ， （2，） （II ）解法一：由得圆 C1，C2的交点的直角坐标（1，） ， （1，） 故圆 C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆 C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1 代入得 cos =1 从而于是圆 C1，C2的公共弦的参数方程为点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页