2022年高中数学参数方程特别好的讲解资料 .pdf

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1、参数方程专题1 为什么要引入参数方程？开门见山的角度讲，我们最喜欢得到一个y 关于 x 的函数或者x 和y 组成的方程或者简单地说：关系，如y=y(x)或者 y=f(x)或者 f(x,y)=0.但是随着研究应用的广泛和问题的深入，我们发现问题来了：这样一个看似简单的问题，做不到啊！为了解决这个问题，一些数学界的聪明人想，如果我用一个参数表示x，再用同样的参数表示y，一个参数值定了， x 和 y 不也就定了吗？变相地说一个x 确定了一个y，这不就回到函数或者说曲线或者说方程的含义了吗？这是采取了找中介的方法。曲线救国的方法。他们给他一个数学术语：参数方程。你比方说x = sin y = cos

2、，我们用 去表示 x,y，一个 确定了， x 和 y 也就确定了，你就可以说一个x 对应 1 个 y，这就是一个函数关系。也许你稍微用一点聪明就说，我不需要参数方程，我直接就看出来了，这就是 x2+y2=1，一个单位圆。那好，这是一个简单例子，我们来个稍微难一点的，x = tan y = cos 你能立马消掉 ，直接得到y 关于x 的函数关系吗？我们在动一点脑筋，其实也不难，xy=sin ,(xy)2+y2=1。你可以说这也不难，但是行行色色的世界，我们遇到的各种复杂关系多了去了，有时候你还真消不了 或者说其他类似的参数，这在大学阶段或者研究阶段屡见不鲜，所以经常还需要用电脑编程数值求解。更为

3、难的是，有时候问题难了，运气差了，你连这样一个联系x 和 y的中介都找不到，但仍然一个x 对应一个y，只是你没方法用一个具体的式子把他们联系起来。所以看到参数方程，你不应该感到害怕，你应该为数学感到庆幸，还有一个参数把x和 y 联系起来了，通过数学手段还能把参数给消除了，最终得到f(x,y)=0. 说一千，道一万，参数方程是有价值的。从做题来讲， 参数方程最大的价值在于：可以更简单直观地分析题意。比方拿教材一道例题P24来说，要是我们不会参数方程，我们只能设P(x0,y0),然后加上条件x02+y02=4,然后利用中点公式表示中点 M x =x0+ 62y =y0+ 02精选学习资料 - -

4、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页注意上面有x0,y0两个参数，当然也算参数方程。但我们看能不能利用条件x02+y02=4 把其中一个换掉，就只剩一个参数x =x0+ 62y = 4 - x02+ 02这算是以x0为参数的参数方程，我们发现这个形式并不好看，所以选这种参数方程并不是最好但绝对没有错 。当然了，我们想看看能不能消掉x0，方法一：消的时候用x， y 来表示 x0,(因为这样不就把x0表示掉了没了吗只剩x,y 了吗？！ ) x0= 2x - 64y2= 4 - x02即4y2= 4 - （2x - 6）2即 y2= 1 - （x

5、 - 3）2即（ x -3）2+ y2= 1方法二：消的时候x 表示 x0,y 表示 y0同理因为这样x0,y0就被表示掉 ,代入 x0,y0满足的关系就只剩 x,y 了啊！ x0= 2x - 6y0= 2y代入条件x02+y02=4 就得到只有x,y 的关系，（2x - 6）2+ （2y）2= 4即（ x -3）2+ y2= 1最后，我们发现虽然利用x0,y0两个做参数或者仅用一个x0做参数当然都可以列出正确的参数方程，但还有没有其他的参数选择方法？方法三：这就是教材上极力想向你们推荐的：以角度 为参数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

6、-第 2 页，共 5 页把参数用未知数x,y 换掉，代入参数满足的天然关系cos2+ sin2= 1比照一下方法三，我们发现用 做参数，可以直接翻译题目，这种设法直接把条件x02+y02=4包含了进去， 就是说在设的时候他已经天然满足了这个条件，不用再去单独考虑。直观，好用。这种优势在中点方程这种简单题型里还表达不出来，当在一些较复杂的条件求相应曲线方程的时候，就比x0,y0或者 x0这种设法简洁多了。精彩总结 ： 在设参数方程的时候， 用已知坐标表示未知坐标，列出参数方程后消参数的时候，用未知坐标表示已知坐标，代入已知坐标满足的约束条件，就得到了只有未知坐标x,y的曲线方程 f(x,y)=0

7、 常用参数方程： 找一个参数，用其表示出来的x,y 正好满足已知方程1） 圆的参数方程：为参数2） 圆锥曲线参数方程：方程标准方程(0) (a0,b0) y2=2px 参数方程(t 为参数 ) 例题解析sincosrbyrax12222byaxba12222byax为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页