2022年高中数学数列讲义总结 2.pdf

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1、09 级高三数学总复习讲义数列概念知识清单1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第2 项，序号为 n 的项叫第 n项（也叫通项）记作na ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，na ，简记作na。（2） 通项公式的定义： 如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是na = n（ n7， nN ） ，数列的通项公式是na = 1n（ nN ） 。说明：na表示数列，na 表示数列中的第 n项

2、，na = f n 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na = ( 1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4 ，1.41 ，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集） 的函数( )f n当自变量 n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n，通常用na 来代替fn ，其图象是一群孤立点

3、。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且任一项na 与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6） 数列na的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn课前预习1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2）2212，2313，2414，2515；（3）11*2，12*3，13* 4，14*5。2数列na中，已知21()3nnn

4、anN，（1）写出10a ，1na，2na；0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页（2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？3如图 , 一粒子在区域( , )|0,0 x yxy上运动 , 在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B, 接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点nnnABC、时，所经过的时间分别为nnna 、b 、c ，试写出nnna 、b 、c的通相公式；（2）求粒

5、子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004 秒后，它所处的坐标 。4 （1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前 5 项。5（05广东，14）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行， 任意三条直线不过同一点 若用表示这条直线交点的个数，则=_； 当时 ，（ 用表示）。6（2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页的统计数据如下

6、表 .观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页2、等差数列的通项公式：；说明 ： 等 差 数 列 （ 通 常 可 称 为数列 ） 的 单 调 性：为递增数列，为常数列，为递减数列。3、等差中项的概念：定 义 ： 如 果，成 等 差 数 列 ， 那 么叫 做与的 等 差 中

7、项 。 其 中，成等差数列。4、等差数列的前和的求和公式：。5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页如：，；，；（ 3 ） 在 等 差 数 列中 ， 对 任 意，；（ 4） 在 等 差 数 列中 ， 若，且，则；说明：设数列是等差数列，且公差为，（） 若项数为偶数，设共有项， 则奇偶； ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，

8、共 28 页（） 若项数为奇数，设共有项， 则偶奇；。6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（） ； 若 已 知， 则最 值 时的 值（）可如下确定或。课前预习1（01天津理， 2）设 Sn是数列 an 的前 n 项和，且 Sn=n2，则an 是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2（06 全国 I）设是公差为正数的等差数列，若，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页则（）ABC

9、D3（02京）若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11项D.10 项4（01 全国理）设数列 an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1 B.2 C.4 D.6 5（06 全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若，则AB CD6（00 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列的前 n 项和，求 Tn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

10、页，共 28 页7（98全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+b10=100. （）求数列 bn的通项 bn；（）设数列 an的通项 an=lg（1+），记 Sn是数列 an的前 n 项和，试比较 Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论。8（02上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值9 （94 全国）等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260

11、等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列（ 1） （2） （3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，。 （注意： “从第二项起”、 “常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等

12、比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数， 都有两个等比中项） 。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列的前 n 项和是，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页时，或；当 q=1 时，（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个； （2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。5等比数列的性质 等比 数列 任 意 两 项 间的 关系 ：如 果是 等 比 数列 的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；对于等比数列，若，

13、则，也就是：，如图所示：。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页若数列是等比数列，是其前n 项的和，那么，成等比数列。如下图所示：课前预习1在等比数列中,则2和的等比中项为 ( ) . 3 在等比数列中，求，4在等比数列中,和是方程的两个根 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页则( ) 5. 在等比数列，已知，求. 6（ 2006 年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（）ABC D7（2006年北京卷）设，则等于

14、（）ABCD8（1996全国文， 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；9（2005 江苏 3）在各项都为正数的等比数列an中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页a4a5（）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189 10（2000 上海， 12）在等差数列 an中，若 a100，则有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式成立。数列通项与求

15、和知识清单1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式： an=。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页重要公式： 1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中， Sm+n=Sn+qnSm

16、=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列，是等比数列， 记，则，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，

17、共 28 页通项分解法：2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及 a1=1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。课前预习1已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为 0，求和：。2求。3设 a为常数，求数列 a，2a2，3a3， nan，的前 n 项和。4 已知

18、， 数列是首项为 a， 公比也为 a的等比数列，令，求数列的前项和。5求。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页6设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：7求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前 n 项和。典型例题一、有关通项问题1、利用求通项 EG：数列的前项和（ 1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？变式题1、（ 2005 湖北卷） 设数列的前 n 项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；变式题 2、（2005 北京卷） 数列 an的前 n 项和

19、为 Sn，且 a1=1，n=1，2，3，求 a2，a3， a4的值及数列 an的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页变式题3、（ 2005 山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列2、解方程求通项：EG ：在等差数列中，（ 1）已知；（ 2）已知； (3)已知. 变式题 1、是首项，公差的等差数列， 如果，则序号等于（A）667 （B）668 （ C）669 （D）670 3、待定系数求通项：EG：写出下列数列的前 5 项：（ 1）变式题 1、（ 2006 年福建卷） 已知数列满足求数列的通项

20、公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页二、有关等差、等比数列性质问题EG：一个等比数列前项的和为48，前 2项的和为 60， 则前 3项的和为（）A83 B108 C75 D63 变式 1、 一个等差数列前项的和为 48， 前 2项的和为 60， 则前 3项的和为。变式 2、（江苏版第76 页习题 1） 等比数列的各项为正数，且（）A 12 B10 C8 D2+EG：设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1 B.2 C.4 D.8 变式题1、 在各项都为正数的等比数列

21、中，首项，前三项和为21，则A 33 B 72 C 84 D 189 三、数列求和问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页EG ： 已 知是 等 差 数 列 ， 其 中， 公 差。 （ 1） 求 数 列的通项公式，并作出它的图像；（2）数列从哪一项开始小于0？（ 3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值变式题 1、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值变式题 2、在等差数列中，求的最大值EG：求和：变式题1、 已知数列和，设，求数列的前项和精选学习资料 - - - - - - - - -

22、名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页变式题 2、（ 2007 全国 1 文 21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前 n 项和变式题 2设等比数列的公比为q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为. 3、利用等比数列的前项和公式证明EG：变式题 、 （ 05 天津）已知.当时，求数列的前n 项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页EG：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；（ 2）已知数列的通项公式为，求

23、前项的和变式题1、已知数列的通项公式为，设，求变式题 2、数列 an中， a18，a42，且满足： an+22an+1an0（ nN* ），（）求数列an的通项公式；（）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由实战训练 A 1（07重庆文）在等比数列 an中，a28，a164，则公比 q 为（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 2（ 07 重庆理）若等差数列 的前三项和且，则等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页3设 为公比q

24、1 的等比数列，若和是方程的两根，则_. 4（ 07 天津理）设等差数列的公差不为 0，若是与的等比中项，则（） 2 4 6 8 5 设 等 差 数 列的 公 差是2 ， 前项 的 和 为，则6等差数列 an 中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 5.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若（A）12 （B）18 （C）24 （D）42 6 （ 全 国2文 ） 已 知 数 列 的 通 项， 则 其 前项 和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 2

25、8 页7（ 07 全国 1 理）等比数列的前项和为，已知，成 等 差 数 列 ， 则的 公 比为8已知是等差数列，其前10 项和，则其公差（）9 已 知成 等 比 数 列 ， 且 曲 线的 顶 点 是， 则等于（） 3 2 1 10已知是等差数列，其前5 项和，则其公差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页11（ 07 辽宁理）设等差数列的前项和为，若，则（）A63 B45 C36 D27 12（ 07 江西理）已知数列对于任意，有，若，则10 实战训练 B 1（ 07 江西文）已知等差数列的前项和为，若，则2（07

26、 湖南文）在等比数列（） 中， 若，则该数列的前 10 项和为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页ABCD3（07 湖北理）已知两个等差数列和的前项和分别为 A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A2 B3 C4 D5 4 （ 07 广 东 理 ）已 知 数 列 的 前项 和， 第项满足，则 A B C. D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页5（ 07 广东文）已知数列 的前项和，则其通项； 若 它 的 第项 满 足， 则6

27、数 列的 前项 和 为， 若， 则等于（）A1 BCD7等比数列中，则等于（）8若数列的前项和，则此数列的通项公式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页；数列中数值最小的项是第项9若数列的前项和，则此数列的通项公式为10 （ 07 安 徽 文 ） 等 差 数 列的 前项 和 为若（A）12 （B）10 （C）8 （D ）6 11（ 07 辽宁文）设等差数列的前项和为，若，则（）A63 B45 C36 D27 12 数列中，（是常数，） ，且成公比不为的等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页（I）求的值；（II）求的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页