2022年高中数学解析几何椭圆性质与定义 .pdf

《2022年高中数学解析几何椭圆性质与定义 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学解析几何椭圆性质与定义 .pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、椭圆的性质及应用一、圆锥曲线圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线， 其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。圆锥曲线有一个共同的定义： 即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。二、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1 常值的点之轨迹。椭圆的第一定义： 平面内与两定点F、F的距离的和等于常数2a (2a|FF|) 的动点 P的

2、轨迹叫做椭圆。即： PF+PF=2a ，其中两定点 F、F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离FF叫做椭圆的焦距。假设2a=|FF|，为线段，假设 2ab0) ，这样的椭圆长轴在x 轴上，焦点在X轴时，假设22221yxba，(ab0) ，这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。有两条线段， a、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当ab时，焦点在 x 轴上，焦距为222 ab ，焦距与长、短半轴的关系:222acb椭圆的第二定义由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：2222222221bxabybyax将222cab代入，可得：22222222222222xacacxycaxacay所以：2

3、2224222axaccxycaxaccxy由此可得：accaxcxycaxaccxy22224222所以可得椭圆的第二个定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合定点F 不在定直线上，P F F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页该常数为小于 1 的正数 ,其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线该定直线的方程是2axc 。常数 e 是椭圆的离心率。(01)ceea注意：准线和焦点对应，左准线对应左焦点，右准线对应右焦点下面我们介绍第二定义的几何说明：可以找到两个球，它们均满足：和圆锥相

4、切于一个圆，与截面相切于一个点。一个在截面和圆锥顶角之间即截得的圆锥体的内切球，小球，另一个在截面与圆锥顶角异侧即圆锥体外切球，大球 。两个球与截面相切的两个点即是两个焦点，两个球与圆锥相切的两个圆，那两个圆所在的两个平面它们是平行的分别与原来的截面的交线即是两条准线。通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设 P 为截面与圆锥交线上的动点，两个球与截面的交点为固定点，即为椭圆的焦点，平面 与平面的交线为固定直线，即为椭圆的准线。E 为大球和截面的交点，显然 PP1为动点到定直线的距离，设大的球心为 O，PE 和 PP2为大球外一点 P 到大球的两个切线，所

5、以有PE=PP2思考为什么 PE 一定为切线，PE 为截面内的直线，而截面与球仅仅一个交点椭圆的第三定义：椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值 22ab可以得出： 平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k 的动点的轨迹是椭圆，此时 k 应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况。三、.圆锥曲线的几何性质：1.椭圆的面积是ab 。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acos ， y=bsin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页举例：假设Ryx,，且62

6、322yx，则yx的最大值是 _ ，22yx的最小值是_ 答：5,22. 标准形式为22221yxab的椭圆在 x0，y0点的切线为：00221xxyyab3.椭圆焦半径公式PF1=a+ex0PF2=a-ex04.直线与椭圆位置关系1弦长公式：假设直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，假设12,yy分别为A、 B 的纵坐标，则AB21211yyk，2直线 l：y=x+1 与椭圆交于A，B 两点， P 为椭圆上一点，求PAB 面积的最大值 . 3相切、相交、相离的条件6直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲

7、线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。5范围即|x| a， |y| b， 这说明椭圆在直线x=a 和直线 y=b 所围成的矩形里 ( 图 2-18) 注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点6对称性x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心7顶点精选学习资料 - - - - - - -

8、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页只须令 x=0，得 y=b，点 B1(0，-b) 、B2(0，b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y=0，得x=a， 点 A1(-a ， 0)、 A2(a， 0)是椭圆和 x 轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点 A1(-a ，0)、A2(a，0)、B1(0，-b) 、B2(0，b) 8离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：再讲清离心率 e 的几何意义： 椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比ac0， 0 e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当 e 接近 0 时，c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因

9、此椭圆接近圆；(3)当 e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆图形就是圆了课堂练习：1已知是椭圆上一点，假设到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_2假设椭圆的离心率为，则它的长半轴长是_答案： 1 2 1 或 2 3求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=04我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km ，远地点距地面1826Km ，求这颗卫星的轨道方程的方程 4答案：顶点 (0 ，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程

10、：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5点 P与一定点 F(2，0)的距离和它到一定直线x=8 的距离的比是 12，求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形三、例题讲解例 1：求出椭圆方程13422yx和134)1(22yx长轴顶点、焦点、准线方程；解： 因为把椭圆13422yx向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22yx所以问题 1 中的所有问题均不变，均为21, 1,3,3acecba13422yx长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0 ,2(，)0 ,1(4x；134) 1(22yx长轴顶点、焦点、准线方程分

11、别为：)0 , 12(，)0 , 11(14x；思考：求出椭圆方程14322yx准线方程例 2、设 AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设 AB 的中点为 M，则 M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；过点 A、B、M 分别作出准线l的垂线，分别记为ddd,21由梯形的中位线可知221ddd又由椭圆的第二定义可知edAF1|edBF2|即)(|21ddeBFAF又22|2|21ddeBFAFAB且10e2| ABd故直线与圆相离例 3、已知点M为椭圆1162522y

12、x的上任意一点，1F、2F分别为左右焦点；且)2 ,1 (A求|35|1MFMA的最小值求|1MFMA的最小值求|1MFMA的最小值分析：应如何把|351MF表示出来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页解：左准线1l：3252cax，作1lMD于点 D，记| MDd由第二定义可知：53|1acedMF?dMF53|1?|351MFd故有|35|1MDMAdMAMFMA所以有当A、M、D 三点共线时，|MA|+|MD| 有最小值：3251即|35|1MFMA的最小值是328变式 1：|5|31MFMA的最小值；解：283

13、283) |35| (3|5|311MFMAMFMA变式 2：|531MFMA的最小值；解：52832853|)|35|(|53|5311MFMAMFMAMAMFMFMAMFMA2211010|其最小值 =10-AF2课堂练习：已知11216,)3,2(22yxFA是的右焦点，点 M 为椭圆的动点，求MFMA2的最小值，并求出此时点 M 的坐标。例 4. 已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点 假设，D A F11M F21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程解：由椭圆方程可知

14、、两准线间距离为设，到右准线距离分别为，由椭圆定义有，所以，则，中点到 右 准 线 距 离 为， 于 是到 左 准 线 距 离 为， 所 求 椭 圆 方 程 为例 5方程|2|)1()1(222yxyx表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22yxyx122；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数且该常数小于1方程表示椭圆例 6、 06 四川高考15如图把椭圆的长轴AB 分成 8 等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于721,PPP七个点， F 是椭圆的一个焦点，则|721FPFPFP= 解法一：53ace，设iP的横坐标为ix，则ixi455不妨设其焦点为左焦点由53|

15、acedFPi得iiexacaxeFPiii432)455(535)(|235)721(4372|721FPFPFP解法二：由题意可知1P和7P关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知aFPFP2|71，同理可知aFPFP2|62，aFPFP2|53，aFP|4故357|721aFPFPFP例 7.动圆与定圆C1： x+12+y2=36 内切 , 与定圆 C2： x-12+y2=4 外切，求圆心M 的方程。椭圆练习题1椭圆第二定义的应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页例 1设00(,)P xy是椭圆2222

16、1 (0)xyabab上任意一点，1F为其左焦点，求1PF的最值例 2在椭圆192522yx上求一点P，使它到两焦点21,FF的距离之积为16例 3已知A、B 是椭圆22222519xyaa上的两点，2F是其右焦点，假设2285AFBFa，AB中点到椭圆左准线的距离为32，求椭圆方程例 4已知椭圆22134xy，问能否在x轴下方的椭圆弧上找到一点M，使 M 到下准线的距离MN等于 M 到两焦点21,FF的距离的比例中项？假设能找到，求出此点坐标；假设不能找到，请说明理由例 5一个椭圆的焦点是)0 ,0(O和)0 ,4(F，长半轴长是，求这个椭圆的方程例 6已知椭圆方程为)2,2(),0 ,4(

17、,192522BAyx是椭圆内的两点，是椭圆上任意一点，求：1PBPA45的最小值；2PBPA的最大值和最小值例 7已知21,FF是椭圆16410022yx的两个焦点，是椭圆上一点，且321PFF求21PFF的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页椭圆1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的

18、圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyabab0的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9

19、.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、 N 两点，则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页