2022年高三第一轮复习函数及其表示 .pdf

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1、第 1 讲函数及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f： AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数，记作：yf(x)，xA. (2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫自变量， x 的取值范围A 叫做定义域， 与 x 的值对应的y 值叫函数值， 函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函

2、数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射 映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B 可以是数集， 也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。A到 B的映射与 B到 A的映射是不同的。而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。4. 求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数

3、函数xyalog的真数0 x； （4）指数函数xay和对数函数xyalog的底数0a且1a； （5）零次幂0 x的底数0 x； （6）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。求复合函数yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若 yf(t)的定义域为 (a，b)，则解不等式得aq(x)b 即可求出y f(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为 (a，b)，则求出 g(x)的值域即为f(t)的定义域5.两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2) 函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。6. 三个要素函数的三要素是：定

4、义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等7.求函数的解析式的主要方法有以下四种：待定系数法：如果知道函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法；代入法：如果已知原函数)(xf的解析式，求复合函数)(xgf的解析式时，可以用代入法；换元法： 如果已知复合函数)(xgf的解析式， 求原函数)(xf的解析式时， 可以用 换元法。 换元时，注意新“元”的范围；解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。8. 区间的概念和记号设,a bR，且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的

5、实数x的集合叫做闭区间，表示为,ba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页（2）满足不等式bxa的实数x的集合叫做开区间，表示为),(ba。（3）满足不等式axb或bxa的实数x的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),ba和,(ba。这里的实数a和b叫做相应区间的端点。（ 4）实数R可以用区间表示为),(“”读作“无穷大” ， “”读作“负无穷大” ， “”读作“正无穷大”。我们可以把满足ax的实数x表示为),a(5)不等式bxa中，a可以小于等于b，也可以大于b，当ba时，不等式表示的是空集；但是区间,ba中，一定是

6、ba，它不可能是空集。9.分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。分段函数的首先分段处理，最后综合。考点一求函数的定义域【例 1】?求下列函数的定义域：(1)f(x)|x2|1log2x1；(2)f(x)ln x1 x2 3x4. 解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须|x2|10，x10，x11.解不等式组得x3，因此函数f(x)的定义域为

7、3， )(2)要使函数有意义，必须且只须x10，x2 3x40，即x1，x4 x1 0，解得： 1x1.因此 f(x)的定义域为 ( 1,1)求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 【训练 1】 (1)已知 f(x)的定义域为12，12，求函数yf x2x12的定义域；(2)已知函数f(32x)的定义域为 1,2，求 f(x)的定义域解(1) 令x2 x 12 t， 知f(t) 的 定 义 域 为t12t12， 12x2 x1212， 整 理 得x2x0，x2x10?x0或x1，152 x152，所求

8、函数的定义域为152，01，152. (2)用换元思想，令32xt，f(t)的定义域即为f(x)的定义域， t32x(x1,2)， 1t5，故 f(x)的定义域为1,5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页考点二求函数的解析式【例 2】(1)已知 f2x1 lg x，求 f(x)；(2)定义在 (1,1)内的函数f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，求函数 f(x)的解析式解(1)令 t2x1，则 x2t1， f(t) lg 2t1，即 f(x)lg 2x1. (2)x (1,1)时，有 2f(x)f(x)lg

9、(x1)以 x 代 x 得， 2f( x) f(x)lg( x1)由消去f( x)得 f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x (1,1)求函数解析式的方法主要有：(1)代入法； (2)换元法； (3)待定系数法； (4)解函数方程等【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数，若f(0)0，且 f(x1)f(x) x1，试求 f(x)的表达式(2)已知 f(x) 2f(1x)2x1，求 f(x)解(1)由题意可设f(x)ax2 bx(a0)，则 a(x1)2b(x1)ax2bxx 1 ax2(2ab)xabax2 (b 1)x12abb1，ab1，解得 a12，b12.因此 f(x)12

10、x212x. (2)由已知得f x 2f1x2x1，f1x 2f x 2x 1，消去 f1x，得 f(x)4x2x23x. 考点三分段函数【例 3】?(2011 辽宁 )设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 ()A1,2 B0,2 C1， ) D0， ) 解析f(x)2?x1，21x2或x1，1 log2x2? 0 x1 或 x1，故选 D. 分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题， 关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中， 需分 x1和 x1 时分别解得x 的范围，再求其并集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

11、总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页【训练 3】 (2011 江苏 )已知实数a0，函数 f(x)2x a，x1， x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为 _解析分类讨论：(1)当 a0 时， 1a1,1a1.这时 f(1a)2(1 a)a2a；f(1a) (1 a)2a 13a. 由 f(1a) f(1a)，得 2a 13a，解得 a32，不符合题意，舍去(2)当 a0 时， 1a1,1a1，这时 f(1a) (1a)2a 1a；f(1a) 2(1a)a23a，由 f(1a) f(1a)，得 1a23a，解得 a34.综合 (1)，(2)知 a 的值为34

12、.答案34忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先 ”的原则【示例 】 求函数 ylog13(x2 3x)的单调区间错因忽视函数的定义域，把函数ylog13t 的定义域误认为R 导致出错 实录设 tx23x. 函数 t 的对称轴为直线x32，故 t 在 ，32上单调递减，在32，上单调递

13、增函数 ylog13(x23x)的单调递增区间是，32，单调递减区间是32，. 正解设 tx23x，由 t0，得 x0 或 x3，即函数的定义域为(， 0)(3， )函数 t 的对称轴为直线x32，故 t 在(， 0)上单调递减，在()3，上单调递增而函数ylog13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数 ylog13(x23x)的单调递增区间是(， 0)，单调递减区间是(3， )【试一试】求函数 f(x)log2(x2 2x3)的单调区间尝试解答 由 x2 2x30，得 x 1 或 x3，即函数的定义域为(， 1)(3， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

14、总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页令 tx2 2x3，则其对称轴为x1，故 t 在(， 1)上是减函数，在(3， )上是增函数又 ylog2t 为单调增函数故函数y log2(x22x3)的单调增区间为(3， )，单调减区间为(， 1)1函数 f(x) log2(3x1)的值域为 ()A(0， ) B0， )C(1， ) D1， ) 2(2011 江西 )若 f(x)1log122x1，则 f(x)的定义域为 ()A.12，0B. 12，0C. 12，D(0， ) 3下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg x Bf(x)lgx1x1，g(

15、x)lg(x1)lg(x1) Cf(u)1u1u，g(v)1v1vDf(x)(x)2，g(x)x24(2010 陕西 )某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ()Ayx10Byx310Cyx410Dyx5105函数 y f(x)的图象如图所示那么，f(x)的定义域是 _；值域是 _；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是 _6.22211|1|)(2xxxxxxxf， 那么f(f( 2)= ； 如果3)(af，

16、那么实数a= 。7. 求下列函数的解析式（1）已知2( )32f xxx，求(1)f x（2）已知242(1)321f xxx，求( )fx（3）已知( )f x是一次函数，且满足3 (1)2 (1)217f xfxx，求( )f x8. 求下列函数的定义域(1)02)23(3|3|)lg(xxxxy (2)1lg(1)lg1xyxx. 1.解析 3x11，f(x)log2(3x1)log21 0.答案A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页2.解析由 log12(2x1)0，即 02x11，解得12x0.答案A 3

17、.答案C 4.解析根据规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6 时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9 时可增选一名代表因此利用取整函数可表示为yx310.故选 B. 5.解析任作直线xa，当 a 不在函数yf(x)定义域内时，直线xa 与函数 yf(x)图象没有交点；当a在函数 yf(x)定义域内时，直线xa 与函数 yf(x)的图象有且只有一个交点任作直线 yb，当直线yb 与函数 yf(x)的图象有交点，则b 在函数 yf(x)的值域内；当直线yb 与函数 yf(x)的图象没有交点，则b 不在函数yf(x)的值域内 答案3,02,31,51,2)(4,5 6.1

18、 ； -4 或3【解析】f(f( 2)=11)1(|)12(|2ff；当时，1a24313|1|aaaa或1a2a舍去当时，21a321332aaaa当2a时，舍去。2322332aaaa7.(1) 【解 析】直接代入得652)1(3)1() 1(22xxxxxf(2) 【解析】)1(431)1(2)1(3)(1) 1(12222ttttttftxttx令(3) 【解析】由题可设( )(0)f xaxb a，所以172)1(2)1(3xbxabxa化简得0175)2(baxa017502baa所以72ba所以72)(xxf8. （1） 【解析】由题得321032601002303|3|02xx

19、xxxxxxxx且且所以函数的定义域为3210|xxx且（2） 【解析】由题得111101101xxxxxxx或所以函数的定义域为|1x x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页第 2 讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2)， 那么就说函数f (x )在区间 D

20、上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件.对于任意xI，都有 f(x)M；对于任意x I，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)M存在 x0I，使得 f(x0)M. 结论M 为最大值M 为最小值3.一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y1x分别在 ( ，0)，(0， )内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(

21、 ，0)(0， )内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0， )，不能用 “” 连接4.两种形式 设任意 x1，x2a，b且 x1x2，那么f x1f x2x1x20? f(x)在a， b上是增函数；f x1f x2x1x2 0? f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2) 0? f(x)在a，b上是减函数5.两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的 “单峰 ”函数一定存在最大(小)值6.四种方法 函数单调性的判断3、判断证明

22、函数单调性的一般方法：单调四法，导数, 定义 , 复合 , 图像（1）定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是设Dxx21,，且12xx；作差)()(21xfxf；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）判断)()(21xfxf的正负符号；根据定义下结论。（2）复合函数分析法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页设( )yf u，( )ug x , xa b，, um n都是单调函数，则( )yf g x在 , a b上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”

23、函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：( )ug x( )yf u( )yf g x增增增增减减减增减减减增(3)导数法：利用导数研究函数的单调性设( )f x在某个区间( , )a b内有导数1( )fx，若( )f x在区间( , )a b内，总有11( )0( )0)fxfx，则( )f x在区间( , )a b上为增函数（减函数） ；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数（减函数） ，则11( )0( )0)fxfx。 (4)图象法：利用图象研究函数的单调性考点一函数的单调性的判断【例 1】?试讨论函数f(x)xx21的单调性解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任

24、取x1x2，都有 f(x1)f(x2)x1x211x2x221x1x21x1x2x211 x221，其中 x1 x2 0，x2110，x2210. 当 x1，x2(1,1)时，即 |x1| 1，|x2|1， |x1x2|1，则 x1x21,1 x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)为增函数当 x1，x2(， 1或1， )时， 1x1x20，f(x1)f(x2)， f(x)为减函数综上所述， f(x)在 1,1上是增函数，在(， 1和1， )上是减函数法二f(x)xx21x21x x21 x212x21 2x2x2121 x2x212，由 f(x)0 解得 1x1.

25、由 f(x)0 解得x 1 或 x1， f(x)在1,1上是增函数，在(， 1和1， )上是减函数判断 (或证明 )函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等【训练 1】 讨论函数 f(x)axx1(a 0)在 (1,1)上的单调性解设1x1x20 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)0)在(2， )上递增，求实数a 的取值范围解法一设 2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)

26、x21ax1x22ax2(x1x2)ax2x1x1x2 (x1 x2)x1x2ax1x20 恒成立即当2x1a 恒成立又x1x24，则 0a4. 法二f(x)xax，f(x)1ax20 得 f(x)的递增区间是 (，a)，(a， )，根据已知条件a 2，解得 0a 4. 已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解【训练 2】 函数 yx5xa2在(1， )上单调递增，则a 的取值范围是()Aa 3 Ba3 Ca 3 Da 3 解析yx5xa21a3x a2，需a30，a21，即

27、a3，a3， a 3.答案C 考点三利用函数的单调性求最值【例 3】?已知函数f(x)对于任意x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时， f(x) 0，f(1)23. (1)求证： f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明法一函数 f(x)对于任意x， yR 总有 f(x)f(y)f(xy)，令 xy0，得 f(0) 0. 再令 y x，得 f(x) f(x)在 R 上任取 x1x2，则 x1 x2 0，f(x1)f(x2) f(x1)f( x2)f(x1x2)又 x0 时， f(x)0，而 x1 x20， f(x1x2)0，即 f

28、(x1)f(x2)因此 f(x)在 R 上是减函数法二设 x1x2，则 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2) f(x2)f(x2)f(x1x2)又 x0 时， f(x)0，而 x1 x20， f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在 R 上为减函数(2)解f(x)在 R 上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f( 3)与 f(3) 而f(3)3f(1) 2，f(3) f(3) 2. f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件

29、，对任意x1，x2在所给区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小，或f x1f x2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2x1x2或 x1 x2 x1 x2等【训练 3】 已知定义在区间(0， )上的函数f(x)满足 fx1x2f(x1)f(x2)，且当 x1 时， f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性； (3)若 f(3) 1，求 f(x)在2,9上的最小值解(1)令 x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(

30、1)0. (2)任取 x1， x2 (0， )，且 x1x2，则x1x21，由于当x1 时， f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间 (0， )上是单调递减函数(3)f(x)在0， )上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由 fx1x2f(x1)f(x2)得， f93f(9) f(3)，而 f(3) 1，所以 f(9) 2.f(x)在2,9上的最小值为2.如何解不等式恒成立问题【问题研究】在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知

31、识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等. 【示例 】已知函数f(x)x22ax 2，当 x1， )时， f(x)a 恒成立，求a 的取值范围利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x)mina， 得 a 的取值范围 解题过程中要注意a 的范围的讨论解答示范 f(x)(xa)22 a2，此二次函数图象的对称轴为x a(1 分 ) (1)当

32、a(， 1)时， f(x)在 1， )上单调递增，f(x)minf(1)2a3. 要使 f(x)a 恒成立，只需f(x)mina，即 2a3a，解得 a 3，即 3a 1. (2)当 a 1， )时， f(x)minf(a)2a2.要使 f(x)a 恒成立，只需f(x)mina，即 2a2a 解得 2a 1，即 1a1.综上所述，实数a 的取值范围为 3,1 本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应

33、的函数最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页1设 f(x)为奇函数，且在(， 0)内是减函数，f(2)0，则 xf(x)0 的解集为 ()A(2,0)(2， ) B(， 2)(0,2) C(， 2)(2， ) D(2,0)(0,2) 2(2011 湖南 )已知函数f(x)ex 1，g(x) x24x3.若有 f(a)g(b)，则 b 的取值范围为()A22，22 B(22，22) C 1,3 D(1,3) 3已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足f1x1，不等式等价于|x|1，x0，解得 1xx|x|0 知 f

34、(x)ln(xx21)的定义域为R，又 f(x)ln(x x21)ln1xx21 ln(xx21) f(x)，则 f(x)为奇函数；f(x)3x 3x2的定义域为R，又 f(x)3x3x23x 3x2 f(x)，则 f(x)为奇函数；由1 x1 x0 得 1x1，f(x) ln1x1x的定义域为 (1,1)，又 f(x)ln1x1xln1x1x1 ln1x1x f(x)，则 f(x)为奇函数 答案D 判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明 f(x)f(x)或 f( x) f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断【训练

35、 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)4x2|x3|3；(2)f(x)x2|xa|2. 解(1)解不等式组4x20，|x3|30，得 2 x0，或 0 x2，因此函数f(x)的定义域是 2,0)(0,2，则 f(x)4x2x.f(x)4 x2x4x2x f(x)，所以 f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是 (， )当 a0 时， f(x)x2|x|2，f(x)x2|x| 2x2|x| 2f(x)因此 f(x)是偶函数；当 a0 时， f(a) a22， f(a)a2 |2a|2，f(a)f(a)，且 f(a) f(a)因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数考点二函数奇偶性的应用精选学

36、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页【例 2】?已知 f(x)x12x112(x0)(1)判断 f(x)的奇偶性； (2)证明： f(x)0. (1)解法一f(x)的定义域是 (， 0)(0， ) f(x)x12x 112x22x12x 1. f(x) x22x12x1x22x12x1 f(x)故 f(x)是偶函数法二f(x)的定义域是 (， 0)(0， )， f(1)32，f(1)32， f(x)不是奇函数f(x)f(x)x12x112x12x112x12x12x12x1 x12x2x11 x(11)0， f( x)

37、f(x)， f(x)是偶函数(2)证明当 x0 时， 2x 1,2x 10，所以 f(x)x12x1120. 当 x0 时， x0，所以 f(x)0，又 f(x)是偶函数， f(x)f(x)，所以 f(x)0.综上，均有f(x)0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可【训练 2】 已知奇函数f(x)的定义域为 2,2，且在区间 2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0 的实数 m 的取值范围解f(x)的定义域为 2,2， 有21m 2，21m22

38、，解得 1m3.又 f(x)为奇函数，且在 2,0上递减，在 2,2上递减， f(1 m) f(1m2)f(m21)? 1mm21，即 2m1.综合可知，1m1. 考点三函数的奇偶性与周期性1.判断下列函数的奇偶性（1）xxxxf11)1 ()(（2）2lg(1)( )22xf xx2. 已知( )fx是定义R在上的偶函数，并满足)(1)2(xfxf，当32x时，xxf)(，求)5 .5(f的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页1. （ 1） 【解析】1011 1,1)110 xxxxQ由题得函数的定义域为函数

39、的定义域不关于原点对称函数是非奇非偶的函数（2） 【解析】22222101001|2 | 20lg(1)lg(1)( )22lg(1)lg(1)()( )xxxxxxf xxxxxfxf xxx由题得或函数是奇函数2. 【解析】11(4)(2)2( )41(2)( )(5.5)(1.54)(1.5)( 1.5)( 1.54)(2.5)23( )(2.5)2.5(5.5)2.5f xfxf xTf xf xffffffxf xxffQ函数的最小正周期为时，如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综

40、合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题. 【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f x 与 f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f xT 与 f x 的关系，它们都与f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题. 【例】设 f(x)是(， )上的奇函数，f(x2) f(x)，当 0 x1

41、时， f(x)x.(1)求 f( )的值；(2)当 4x4 时，求 f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (， )内函数 f(x)的单调增 (或减 )区间解答示范 (1)由 f(x2) f(x)得， f(x4)f(x2)2 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，f( )f( 14)f( 4) f(4) (4 ) 4. (2)由 f(x)是奇函数与f(x 2) f(x)，得： f(x1) 2 f(x1)f(x1) ，即 f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x 1 对称又 0 x 1时， f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(

42、x)的图象如图所示当4x4 时， f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S，则 S4SOAB41221 4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间4k 1,4k3(kZ)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题【试一试】已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf

43、(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 尝试解答 由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在 2,2上递增，又f(x4) f(x)? f(x8) f(x4)f(x)，故函数 f(x)以 8 为周期， f(25)f( 1)，f(11)f(3) f(34)f(1)，f(80)f(0)，故 f( 25)f(80)f(11)故选 D.答案D 1(2011 全国 )设 f(x)是周期为2 的奇函数，当0 x1 时， f(x)2x(1x)，则 f52()A.12B.14C.14D.122 f(x)1xx 的图象关于 ()Ay 轴对称B直线 y x 对称C

44、坐标原点对称D直线 yx 对称3(2011 广东 )设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)| g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数4(2011 福建 )对于函数f(x) asin xbxc(其中， a， bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算f(1)和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 5(2011 浙江 )若函数 f(x)x2 |xa|为偶函数，则实数a_. 1解析因为 f(x)是周期为2 的奇函

45、数，所以f 52 f52 f1212.故选 A. 2解析f(x)的定义域为 ( ，0)(0， )，又 f(x)1x( x)1xx f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称 答案C 3解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A 项：偶偶偶；B 项：偶偶偶，B 错； C 项与 D 项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选A. 4解析 f(1)asin 1bc，f(1) asin 1bc 且 cZ， f(1)f(1)2c 是偶数， 只有 D 项中两数和为奇数，故不可能是D. 5解析法一f(x)f(x)对于 xR 恒成立， |xa|xa|对于 xR 恒成立，两边平方整理得ax0 对于 x

46、R 恒成立，故a0. 法二由 f(1)f(1)，得 |a1|a1|，得 a0.答案 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页1、下列函数中，是偶函数的是（）A.2( )f xxxB.( )1f xxC.22( )f xxxD.2( ) 2,2)f xxx x2、给定 3 个函数，（1）241( )3xf xx（2）( )25f xx（3）( )xxf xee，其中是奇函数，是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。3、若函数22( )log (2)af xxxa是奇函数，则实数a。4、已知22( )(1)(1)2f xmx

47、mxn为奇函数，则_,_.mn5、奇函数( )f x的定义域是R，当0 x时，2( )22f xxx，则( )f x在R上的表达 式为。6、设偶函数( )f x在),0为减函数，则不等式)12()(xfxf的解集是。7已知函数f(x)x33xsinx5，若 f(a)4，则 f(a)() A 4 B 6 C6 D无法确定8函数 f(x)是偶函数，最小正周期为4，当 x0,2时， f(x)2x，则 f(11)() A 2 B2 C4 D8 9已知 f(x)是奇函数，当x0 时 f(x)x23x，则 f(2)_. 10定义在 (1,1)上的奇函数f(x)，若它还是减函数，且f(1t2)f(t1)0，

48、则实数t 的取值范围为_11. （2011 安徽理 3） 设( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x时，2( )2f xxx，则(1)f( )A.B. . 3 12. （2011 广东文 12）设函数3cos1f xxx（ ），若( )11f a，则fa（）=13. 已知定义在R 上的奇函数( )f x满足2fxfx，则6f . 14. 已知(21)2( )21xxaf x是奇函数，则实数a 的值为. 15. 判断下列函数的奇偶性.（1）22( )11fxxx；(2)2log (fxx12x) (x R) ；(3)lg2fxx.16. 已知( )f x是 R上的奇函数，且当x(- ,0) 时

49、，( )lg(2)f xxx, 求( )f x的解析式 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页1.C【解 析】 选择支A 中 函 数的 定义 域为),0， 不关 于 原点 对称 ，所 以是非奇 非偶 函数 ；选 择支B 中|1|1|)(xxxf，所以不是偶函数；选择支D 中的函数的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数。所以选 C.2.(3),(1),(2) 【解析】（3）)()()(xfeeeexfxxxx，所以函数是奇函数；（1）241()( )3xfxf xx，所以函数是偶函数； （2）()25( )()2

50、5( )fxxfxfxxf x，所以函数是非奇非偶函数。3.22【解析】函数是实数R上的奇函数2202log0)0(2aafa4.1,2mn【解析】由题得2222222()(1)(1)2( )(1)(1)2(1)2012012fxmxmxnf xmxmxnmxnRmnmn对于实数恒成立且5.22220( )00220 xxxf xxxxx【解析】根据奇函数和偶函数的性质得，x轴对称，y要变；y轴对称x要变；原点对称都要变。所以函数的解析式为22220( )00220 xxxf xxxxx6.311|xxx或【解析】由题得.1310143144|12|222xxxxxxxxx或11.【答案】 A