2022年高中必修四三角函数知识点总结 .pdf

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1、名师总结优秀知识点 04. 三角函数知识要点1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ：Zkk,360|终边在x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：9036

2、0 k2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式：1rad180 57.30=571811800.01745 （ rad）3、弧长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ）P与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余

3、割oooxyxyxy6、三角函数线yxSIN COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（ x,y )TMAOPxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师总结优秀知识点正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx |)(xfcosxRxx |)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,

4、|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossinc o ts i nc os1cottan1sincsc1c o ss ec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 几个重要结论:OOxyxy任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角

5、的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师总结优秀知识点三角函数的公式： （一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxc o t)c o t (t a n)t a n (co s)c o s(si n)si n (公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxx

6、xxxc o t)2co t (t a n)2t a n (co s)2co s(si n)2si n (xxxxxxxxc o t)c o t (t a n)t a n (c o s)c o s(si n)s i n (（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i nsinsincoscos)cos(2222si n211c o s2si nc o s2c o ssincoscossin)sin(2t an1t a n22t ansincoscossin)sin(2c o s12si ntantan1tantan)tan(2cos12

7、costantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. 公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin

8、2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师总结优秀知识点3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsin coscos sinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos11 2sintantan1+

9、cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令 2.正、余弦定理：在ABC中有 :正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆半径）2sin2sin2sinaRAbRBcRCsi n2si n2si n2aARbBRcCR注意变形应用面积公式：111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222c o s2c o s2c o s2bcaAbcacbBacabcCab10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0

10、）定义域R R R 值域 1, 1 1, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0 非奇非偶当,0 奇函数ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师总结优秀知识点单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(

11、22AkAk上为减函数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减） ，则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0 ）的周期2T. 2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）. )sin( xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0 ,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是kx（Zk） ， 对称中心（0 ,21k） ；)t a n (xy的对称中心 （0,2k） . xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当 tan

12、, 1tan)(2Zkk； tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质

13、：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性Oyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师总结优秀知识点质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. 11、三角函数图象的作法：） 、几何法：） 、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（

14、正、余切曲线） . ） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位） （当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长 （当 |A|1）或缩短 （当 0|A|1）到原来的 |A|倍，得到 yAsinx 的图象， 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长 （0| |1）或缩短（| 1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，

15、叫做 周期变换 或叫做沿x 轴的伸缩变换(用x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 y sin（x ）的图象，叫做相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位，得到 y sinxb 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b) 替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x ） （A0， 0） （x R）的图象， 要特别注意： 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数

16、：函数 y sinx，22，x的反函数叫做反正弦函数 ，记作 yarcsinx，它的定义域是1，1 ，值域是22，函数 ycosx， （x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数 ，记作yarccosx，它的定义域是 1，1 ，值域是 0， yxy= cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师总结优秀知识点函数 ytanx，22，x的反函数叫做反正切函数 ， 记作 yarctanx， 它的定义域是 （，），值域是22，函数 yctgx， x（ 0，） 的反函数叫做反余切函

17、数 ，记作 y arcctgx，它的定义域是（，） ，值域是（ 0， ） II. 竞赛知识要点一、反三角函数. 1. 反三角函数： 反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1 , 1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反函数）注：xx)sin(arcsin，1 , 1x，2,2arcsin x. 反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1 , 1x. 注：xx)cos(arccos，1 , 1x，,0arccosx. xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin

18、为奇函数 . 反正切函数：xyarctan，定义域),(，值域（2,2） ，xya r c t a n是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(. 注：xx)tan(arctan，x),(. 反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2） ，xa r cyc o t是非奇非偶 . kxarcxarc2)cot()cot(，x),(. 注：xxarc)cotcot(，x),(. xyarcsin与)1arcsin(xy互为奇函数，xyarctan 同理为奇而xyarccos 与xarcycot非奇非偶但满足 1 , 1,2)cot(cot1 , 1,2arccos)arcc

19、os(xkxarcxarcxkxx. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集axsin的解集axcos的解集a1 a1 a=1 Zkakxx,a r c s i n2|a=1 Zkakxx,arccos2|a1 Zkakxxk,arcsin1|a1 Zkakxx,arccos|axtan的解集：Zkakxx,arctan|axco t的解集：Zkakxx,o tar c|二、三角恒等式. 组一组二cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn精选学习资料 -

20、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师总结优秀知识点nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三三角函数不等式xsinx)2, 0(,tanxxxxxfsin)(在), 0(上是减函数若CBA，则CxyBxzAyzzyxcos

21、2cos2cos2222积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 和差化积sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 我们背公式时往往要么不是死记

22、硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20 秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是 +，若是 sin，则是 -，最后记得sin*sin 时要添上一个负号。对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是 sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos 要添一个负号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页