2022年高中数学复习专题-常见基本函数 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题四、函数及其性质（三）基本函数幂函数1.幂函数：形如kyx (k是常数，kQ)的函数叫做幂函数。注意：形如)1(AAxyk的函数不是幂函数，只有kyx (kQ)才是幂函数。2.幂函数图像特征：（ 1）当10k时，在第一象限内，图像单调递增，图像为凸的曲线（唯一的凸函数）；（ 2）当1k时，在第一象限内，图像单调递增，图像为凹的曲线；（ 3）幂函数图像不经过第四象限；（ 4）当0k时，幂函数kxy的图像一定经过点（0，0）和点（ 1，1） ；（ 5）如果幂函数kxy的图像与坐标轴没有交点，则0k；3.判断和描绘不同类型幂函数图像的方法：（ 1）考虑10k时，函数图像为凸的曲线

2、（唯一的凸函数）；（ 2）判断函数的奇偶性（先要考虑定义域），考查函数的对称性；（ 3）判断函数在第一象限的单调性；（ 4）观察函数是否经过原点或与坐标轴是否有交点；例 1.给出 10 个幂函数及10 幂函数的图像，请找出每个函数对应的图像。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载变式训练：（ 1）若函数f（ x）=|3 x-1|+ ax+3 有最小值，则实数a 的取值范围为 _ （ 2）不等式3232231）（）（aa成立，则实数a 的取值范围为_ （ 3） （2014 北京 ）下列函数中，在区间(0，

3、 )上为增函数的是（）Ayx1 By(x1)2Cy2-xDylog0.5(x1) （ 4） （2013 上海）设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，若对一切成立，则的取值范围为 _ （ 5） 已知不等式xyax2+2 y2对于 x1， 2， y2， 3恒成立，则实数 a的取值范围是_（ 6）已知函数f（x）= x2+ bx+2 ，g（x）= f（f（x） ） ，若 f（x）与 g（x）有相同的值域，则实数 b 的取值范围是_指数函数（xay）1.指数函数性质列表：图像1a01a性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点），（ 10，即当0 x时，1y（4）在 R上是增函数（4）在 R

4、 上是减函数例 2. （2015 山东）已知函数( )xf xab(0,1)aa的定义域和值域都是 1,0，则ab_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载变式训练：（ 1）已知 f（x）= x4，g（x）=x)31(，若对任意的x1-1，2 ，存在 x2-1，2 ，使 f （x1） g（x2）成立，则实数 的取值范围是 _（ 2）若不等式x2-logax0 在（ 0，）内恒成立，则a 的取值范围是 _（ 3）偶函数 f(x)满足 f(x 1)f(x1)，且在 x 0， 1时， f(x)x，则关于x 的

5、方程 f(x)110 x在 x 0，4上解的个数是_ （ 4） （2014 山东 ）已知实数x，y 满足 axay(0a 1)，则下列关系式恒成立的是（）A. 1x211y21B. ln(x21)ln(y2 1) C. sin xsin yD. x3y3（ 5） （2013 上海）方程的实数解为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载对数函数（xyalog）1.对数函数性质列表：图像1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（ 0，+）上是增函数

6、（4）在(0,)上是减函数2.对数的运算法则：（ 1）logaNaN（对数恒等式） ； （2）MNNMaaalogloglog；（ 3）NMNMaaalogloglog； （4）NkNakaloglog；NkNakalog1log1；（ 5）换底公式：abbccalogloglog，其中0c且1c；换底时尽量使底数变小，有时需要多次使用换底公式。（ 6）当换底公式中的c=b 时，aabbbbbalog1logloglog；同理有NmnNanamloglog；3.两种特殊的对数：（ 1）常用对数：以10 为底的对数：10logN，简写成lg N。（ 2） 自然对数：以e为底的对数：logeN，

7、简写成Nln， 其中 e为无理数，e= 2.71828。例 3. （2010 全国）已知函数( )| lg|f xx， 若ab且( )( )f af b， 则ab的取值范围是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载变式训练：（ 1）已知logloglogabcxxx214，则logabcx_ （ 2）设 a、b、c 都是正数，且cba643，则（）A.111cabB.221cabC.122cabD.212cab（ 3）已知310loglog, 1abbaba，则abbaloglog的值 =_ （ 4）

8、若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数， 则a的取值范围为 _ （ 5） （20XX年新课标1）若函数f(x)=xln （x+）为偶函数，则a=（ 6） （2014 重庆）函数f(x)2(loglog22xx的最小值为 _（ 7）(2009 山东 ) 定义在 R 上的函数)(xf满足)(xf=，则)2009(f的值为 _ （ 8）（2009 辽宁） 若满足522xx，满足5)1(log222xx， 则+_ （ 9）(2009 山东 ) 若函数) 10()(aaaxaxfx且有两个零点，则实数a的取值范围为_ （ 10）（2008 全国）若函数(1)yf x的图像与函数ln1

9、yx的图像关于直线yx对称，则( )f x_（ 11） （2008 安徽）在同一平面直角坐标系中，函数( )yg x的图像与xye的图像关于直线yx对称，而函数( )yf x的图像与( )yg x的图像关于y轴对称， 若()1f m，则m的值是 _ （ 12）已知函数y= loga( ax2-x)在区间 2 ，4上是增函数，则实数a 的取值范围是 _2ax0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxx1x2x1x2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载正弦函数、余弦函数1. 正弦函数、余弦函数性

10、质列表：函数图像定义域值域最值当时，当时，当时，；当时，周期性奇偶性奇函数偶函数单调性增区间：；减区间：增区间：；减区间：对称性对称中心：对称轴：对称中心：对称轴：2. 函数的图像可由 “五点作图法”绘出。例 4.（2014 全国）若函数f(x)cos2xasinx 在区间6，2是减函数，则 a 的取值范围是 _ sinyxcosyxRR1,11,122xkkmax1y22xkkmin1y2xkkmax1y2xkkmin1y222,222kkk32,222kkk2,2kkk2,2kkk,0kk2xkk,02kkxkksin0,0yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

11、 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载变式训练：（ 1）如图是函数y=A sin（x+ ）+b （A0，0， | ）的图象的一部分，则该函数解析式是 _ （ 2） （ 2012 辽宁）设函数)(xf满足)()(xfxf，)2()(xfxf，且当0,1x时，3)(xxf. 又函数)cos()(gxxx，则函数)()()(xfxgxh在1 3,2 2上的零点个数为_个。（ 3） （2011 全国）函数11yx的图像与函数2sin( 24)yxx的图像所有交点的横坐标之和 等于（） A.2 B.4 C.6 D.8 （ 4）函数)sin41(log)(21cos2xxfx

12、的定义域为 _ （ 5）函数)(xfsin(x )( 0，| |2)的最小正周期为 ，若其图像向右平移3个单位后关于 y 轴对称，则 _（ 6）已知函数在恰有 4 个零点，则正整数的值为 _ （ 7）已知函数74sin(2),(0,)66yxx的图像与直线ym有三个交点， 且交点的横坐标分别为123123,()x x xxxx，那么1232xxx等于（）A. 53B. 43C. 34D.32（ 8）已知定义在R上的函数fx满足cossincossinsincosxxxfxxxx，给出以下结论：fx是周期函数；fx的最小值为1；当且仅当2 xk，kZ时，f x取得最小值；当且仅当2 21 2kx

13、k，kZ时，0fx；fx的图像上相邻两个最低点的距离是2。其中正确的结论序号是( )sinfxx304 ， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 9）已知函数f（ x）= sinx+5 x，x（ -1，1） ，如果 f（1-a）+ f（ 1-a2） 0，则 a 的取值范围是 _ （ 10）如果函数的图像关于直线对称，那么_ （ 11） （2017 天津 ）设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则 f(x) 解析式为 _ 正切函数1. 正切函数性质列表：函数图像定义域值域最值既无最大值，也无最小值。

14、周期性奇偶性奇函数单调性在上是增函数。对称性对称中心，无对称轴。2. 函数的周期：. xaxxf2cos2sin)(8xa( )2sin()f xxxR0|528f08ffx2tanyx,2x xkkR,22kkk,02kk)0)(tan( xyT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 5.（2008 江西）函数tansintansinyxxxx在区间3(,)22内的图像是（）反三角函数1. 反三角函数性质列表：函数xyarcsinxarcycosxarcytan图像定义域值域单调性在上单调递增在上单

15、调递减在上单调递增奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数2. 反三角函数常见结论：（ 1）在定义域范围内，等式xx)sin(arcsin和xx)arcsin(sin是否都恒成立？为什么？_ （ 2）11)(cosarccos，xxarcx；（ 3）在定义域范围内，等式xx)(arccoscos和xxarc)(coscos是否都恒成立？为什么？_ 1 , 1-1 , 1-R2,2,02,21 , 11 ,1Rxxarcsin)arcsin(xxarccos)arccos(xxarctan)arctan(12xyo1-2-2xyo11xyo22-xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo3

16、22yD2-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 4）反余弦函数与反正弦函数的关系： 1 , 1,2sinarccosxxarcx；（ 5）在定义域范围内，等式xxan)(arctant和xxarc)(tantan是否都恒成立？为什么？_ 例 6. 计算： （1） 1 , 1)sinsin(sinyxyarcxarc，；（2） 1 , 1)cc(cosyxosyarcosxarc，；变式训练：（ 1）)53arcsin(2sin=_ （ 2）(2000 年全国高中数学联赛) 反三角 arcsin(s

17、in2000 )（ 3）的反函数是 _ （ 4）函数的反函数是 _ （ 5）不等式的解集为 _ （ 6）函数是( ) A.奇函数，且是减函数 B.偶函数，且是减函数C.奇函数，且是增函数 D.偶函数，且是增函数（ 7）若)31arccos(arcsin x，则x=_（ 8）设为实数，则下列各式恒成立的是（）A. B.C. D.（ 9） 设集合 A=（x， y） |y= cos （arccosx） ， B=（x， y） |y= arccos （cosx） ， 则 AB=_ （ 10）若，则)sin(osarc)2sincos(arcc_ （ 11）函数xxxfarcsin21arctan)(的值

18、域是 _ 1 , 1,arcsin2xxy1cosxy)0(xxxx2arccos)arccos(22arccosxyxxx)arcsin(sinxx)sin(arcsinxx)arccos(cosxxarc)tan(tan20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 12）已知函数 yarcsin(2x) ， ysinxcosx， ylog2xlog1/2(1 x)，其中，在区间 12，1上为单调函数的是_（填序号）（ 13）讨论函数)arccos(cos)(xxf的定义域、周期性、奇偶性、单调性、最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页