2022年高中数学选修4-5知识点 2.pdf
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1、高中数学选修 4-5 知识点1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系(2)设 a、b 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点 A 在点B 的左边时, ab(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义 ) ab? ab0ab? ab0ab? ab,b? bb,bc? ac;(3)可加性: ab,cR? acbc;(4)加法法则: ab,cd? acbd;(5)可乘性: ab,c0? acbc;ab,c0? acb0,cd0? acbd;(7)乘方法则: ab0,nN 且 n2? anbn;(8)开方法则: ab0,nN 且 n2?
2、nanb. 9倒数法则,即ab0?1a0,那么2abab (ab2ab),当且仅当 ab时,等号成立(2)定理 2 的应用:对两个正实数x,y,如果它们的和S 是定值,则当且仅当xy 时,它们的积 P 取得最大值,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页最大值为S24. 如果它们的积P 是定值,则当且仅当xy 时,它们的和S 取得最小值,最小值为 2 P. 3基本不等式abab2的几何解释如图, AB 是O 的直径, C 是 AB 上任意一点,DE 是过 C 点垂直 AB 的弦 假设 ACa, BCb, 则 ABab,O
3、 的半径 Rab2, RtACDRtDCB,CD2AC BCab,CDab,CDR?abab2,当且仅当 C 点与 O 点重合时,CDRAB2,即abab2. 4几个常用的重要不等式(1)如果 aR,那么 a20,当且仅当 a0 时取等号;(2)如果 a,b0,那么 abab24,当且仅当 ab 时等号成立(3)如果 a0,那么 a1a2,当且仅当 a1 时等号成立(4)如果 ab0,那么abba2,当且仅当 ab 时等号成立3三个正数的算术 -几何平均不等式1如果 a、b、cR,那么 a3b3c33abc,当且仅当 abc 时,等号成立2(定理 3)如果 a、b、cR,那么33abcabc
4、(abc33abc),当且仅当 abc 时, 等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均3如果 a1,a2, anR,那么a1a2 annna1a2an,当且仅当a1a2 an时,等号成立即对于n 个正数 a1,a2, an,它们的算术平均不小于它们的几何平均二绝对值不等式1绝对值三角不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页1绝对值及其几何意义(1)绝对值定义: |a|aa0aa0(2)绝对值几何意义:实数a 的绝对值 |a|表示数轴上坐标为a 的点 A 到原点O 的距离 |OA|. (3)数轴上两点间的距离
5、公式:设数轴上任意两点A,B 分别对应实数x1,x2,则|AB|x1x2|2绝对值三角不等式(1)定理 1:如果 a,b 是实数,则 |ab|a|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立推论 1:如果 a,b 是实数,那么 |a|b|ab|a|b|. 推论 2:如果 a,b 是实数,那么 |a|b|ab|a|b|. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么 |ac|ab|bc|,当且仅当 (ab)(bc)0 时,等号成立2绝对值不等式的解法1|x|a 型不等式的解法设 a0,则(1)|x|a? axa? xa;(4)|x|a? xa 或 xa2|axb|c(c0)与|axb|c(c0)型不等
6、式的解法(1)|axb|c? caxbc;(2)|axb|c? axbc 或 axbc3|xa|xb|c 与|xa|xb|c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,表达数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,表达分类讨论的思想确定各个绝对值号内多项式的正、负号,进而去掉绝对值号(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键注:绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点x 与原点 O 的距离;(2
7、)|xa|xb|的几何意义是数轴上点x 到点 a 和点 b 的距离之和;(3)|xa|xb|的几何意义是数轴上点x 到点 a 和点 b 的距离之差2绝对值不等式的几何意义(1)|x|a(a0)的几何意义是以点a 和a 为端点的线段, |x|a 的解集是 a,a(2)|x|a(a0)的几何意义是数轴除去以点a 和 a 为端点的线段后剩下的两条射线, |x|a的解集是 (, a)(a, )3解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页求解例题:例如:分类讨论法:即通
8、过合理分类去绝对值后再求解。例 1: 解不等式125xx。分析 : 由01x,02x,得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间,即2x,12x,1x,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。解: 当 x-2 时,得2(1)(2)5xxx,解得:23x当-2x1 时,得21,(1)(2)5xxx,解得:12x当1x时,得1,(1)(2)5.xxx,解得:21x综上,原不等式的解集为23xx。例 2:解不等式 |2x4|3x9|2 时,原不等式可化为x2,2x4 3x92.当 3x2 时,原不等式可化为3x2,2x4 3x91,解得65x2.当 x3 时,原不等式可化为x3,2x4 3x9
9、1,解得 x12.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页综上所述,原不等式的解集为x|x65第二讲证明不等式的基本方法一比较法比较法主要有 1.作差比较法2.作商比较法1作差比较法 (简称比差法 ) (1)作差比较法的证明依据是: ab? ab0;ab? ab0;ab? ab0 时,ab1? ab;ab1? ab;ab1? ab 时, 一定要注意 b0这个前提条件假设 b0,abb,ab1? ab,ab1? a a122;1n21nn1(nN*);1n2nn1; 当 ab0, m0 时,baambm等第三讲柯西不等式与
10、排序不等式1二维形式的柯西不等式假设 a,b,c,d 都是实数,则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当 adbc 时,等号成立2柯西不等式的向量形式设 , 是两个向量, 则| | | |,当且仅当 是零向量, 或存在实数 k,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页使 k时,等号成立3二维形式的三角不等式设 x1,y1,x2,y2R,那么x21y21x22y22x1x22y1y22. 注意:1二维柯西不等式的三种形式及其关系定理 1 是柯西不等式的代数形式, 定理 2 是柯西不等式的向量形式, 定理 3是柯
11、西不等式的三角形式根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示2理解并记忆三种形式取 “”的条件(1)代数形式中当且仅当adbc 时取等号(2)向量形式中当存在实数k, k或 0 时取等号(3)三角形式中当 P1,P2,O 三点共线且 P1,P2在原点 O 两旁时取等号3掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2b2c2d2|acbd|. (2) a2b2c2d2|ac|bd|. (3) a2b2c2d2acbd. (4)(ab)(cd)( acbd)2. 4基本不等式与二维柯西不等式的比照(1)基本不等式是两个正数之间形成
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