2022年高中数列求和方法集锦 .pdf

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1、1 数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。第一类：公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n项和公式2)1(2)(11dnnnaaanSnn2、等比数列的前n项和公式)1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、常用几个数列的求和公式1 、) 1(213211nnnkSnkn2 、)12)(1(61321222212nnnnkS

2、nkn3 、2333313)1(21321nnnkSnkn第二类：乘公比错项相减等差等比这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列nnba的前 n项和，其中na，nb分别是等差数列和等比数列。例 1：求数列1nnq(q为常数 )的前n项和。解：、假设q=0， 则nS=0 、假设q=1，则)1(21321nnnSn、假设q0 且q1，则12321nnnqqqSnnnqqqqqS3232式式：nnnnqqqqqSq1321)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 )1(11132nnn

3、nqqqqqqS)11(11nnnnqqqqSqnqqqSnnn1)1(12综上所述：) 10(1)1(1) 1)(1(21)0(02qqqnqqqqnnqSnnn且解析：数列1nnq是由数列n与1nq对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的，但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的通项分解裂项如：1、乘积形式，如：1 、111)1(1nnnnan2 、)121121(2

4、11)12)(12()2(2nnnnnan3 、)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan4 、nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则2、根式形式，如：nnnnan111例 2：求数列211，321，431，)1(1nn，的前n项和nS解：)1(1nn=111nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 111313121211nnSn111nSn例 3：求数列311，421，531，)2(1nn，的前n项和nS解：由于：)2(1nn=211(

5、21nn则：)211()4121()311 (21nnSn)2111211 (21nnSn42122143nnSn解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2 一样剩下首尾两项，还是像例 3 一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。例 4：假设函数)(xf对任意Rx都有2)1 ()(xfxf。1)1()1()2()1()0(fnnfnfnffan，数列na是等差数列吗？是证明你的结论；2求数列11nnaa的的前n项和nT。解： 1 、)1()1()2()1()0

6、(fnnfnfnffan倒序相加)0()1()2()1()1(fnfnnfnnffan1221101nnnnnn则，由条件：对任意Rx都有2)1()(xfxf。）（1222222nan1nan21nan11nnaa从而：数列na是1,21da的等差数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 2 、2111)2)(1(111nnnnaannnT=)2(11541431321nn）（nT=422121211141313121nnnnn故：nT=42nn解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进

7、行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 5：求数列 )1(1nn+12nn的前n项和nS解：令1)n(n1na12nnnb)()()()(332211nnnbabababaS)()(321321nnnbbbbaaaaS)223221()111313121211 (12nnnnnS)223221 ()111 (12nnnnS令12223221nnnTnnnT223222232

8、式式：nnnnT222221)21(132)222221(132nnnnT)22121(nnnnT12)1(nnnT故：nnnnnnnS2)1(11212) 1()111 (精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 例 6：求数列 2)1(nnxx的前n项和nS分析：将2)1(nnnxxa用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。解：2)1(nnnxxa=22)1(12)(nnnnxxxx=nnxx2212=nnxx22)1(2)1(2)1(2)1(2224422nnnxxxxxxS)1()1()1()222

9、()(242242nnnxxxxxxS首项2x，公比2x等比数列常数列首项2)1(x，公比2)1(x等比数列、令nnxxxT2421x时，nnxxxT242=n1111x时，nnxxxT242=1122222222xxxxxxxnn、令nMn2222、令nnxxxG242)1()1()1(1x时，nxxxGnn111)1()1()1(2421x时，nnxxxG242)1()1()1(=2222)1(1)1()1()1(xxxxn=22222111xxxxn=222222221xxxxxxnn=122222222xxxxxxnn=)1() 1(22222xxxxxnn=)1(1222xxxnn综

10、上所述：1x时，nnnnGMTSnnnn42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 1x时，) 1(1212222222xxxnxxxGMTSnnnnnnn这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例 7：求数列9， 99，999，的前 n 项和nS分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110nna可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：110nna则：99999nS)110() 110()110()110(321nnS)1111()10101010(321nnSnSnn101101010nSnn910101例 8：nS=nn21813412211解：由于：nnnnna2121则：nS=)21814121()321(nn等差 +等比，利用公式求和=211)21(1(21) 1(21nnn=nnn)21(1)1(21解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页