2022年高中数学公式总汇 .pdf

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1、高中数学公式总汇(理科适用 ) 一. 集合1. 元素与集合：,集合与集合：,注意：A2、区分集合中元素的形式：如：xyxlg|函数的定义域；xyylg|函数的值域；xyyxlg|),(函数图象上的点集3. 交集：|BxAxxBA且并集：|BxAxxBA或补集：,|AxUxxACU且4. BAABAABABABAxBxA则; ABABBAB,要考虑：()()()()()()UUUUUUCABC AC BCABC AC B5. 集合12,na aa的子集有n2个，真子集有12n个。二. 命题1. 四种命题：原命题：假设A 则 B 逆命题：假设B 则 A 逆否命题：假设B 则A 否命题：假设A 则B

2、 原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致命题“ p 或 q”的否认是“P且Q ” ， “ p 且 q”的否认是“P或Q ”2、注意命题pq的否认与它的否命题的区别: 命题pq的否认是pq；否命题是pq注意： 如 “假设a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“假设a和b不都是偶数，则ba是奇数”否认是“假设a和b都是偶数，则ba是奇数”222002,132,13(2,),13xxxxxx都有否命题：都有对命题的否定：使得3、假设pq且qp; 则 p 是 q 的充分非必要条件 q的充分非必要条件是p q是 p 的必要非充分条件 p的必要非充分条件是q 三. 函数1. 函数的三要素：

3、定义域、对应法则、值域。 用于判断两个函数是否为同一函数2. 奇偶性：前提：定义域关于原点对称偶函数)()(xfxf偶函数图象关于y轴对称奇函数)()(xfxf奇函数图象关于原点对称3. 单调性：1x、2x区间 D ，1x2x时)(1xf)(2xf(一致 ) )(xf是 D 上的增函数在 D 上0)(xf1x)(2xf(相反 ) )(xf是 D 上的减函数在 D 上0)(xf复合函数由同增异减判定其单调性4. 周期性：假设)()(xfaxf， 则aT假设)()(xfaxf， 则aT2假设1()(0)( )f xaaf x，则2Ta；假设1()(0)( )f xaafx，则2Ta. 类比“三角函

4、数图像”得：假设( )yfx图像有两条对称轴,()xa xb ab，则( )yf x必是周期函数，且周期为2 |Tab；假设( )yf x图像有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab，则( )yf x是周期函数，且周期为2 |Tab；如果函数( )yf x的图像有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab，则函数( )yf x必是周期函数，且周期为4 |Tab；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页5. 对称性奇函数关于原点对称,偶函数关于Y 轴对称满足条件fxaf bx的函数的关于直线2a

5、bx对称。满足条件fxaf bx的函数的关于点(,0 )2ab对称6. 幂的运算法则：nmnmaaa?mnnmaa )(nnnbaab)(nnaa1nmnmaa)0(10aa7. 对数运算性质：)(logloglogMNNMaaaNMNMaaalogloglogbnbanaloglogbmbaamlog1logbmnbanamloglog01alog1aalogbabalogabbccalogloglog8、常见函数一次函数 :y=ax+b(a 0) b=0 时奇函数 ; 二次函数 :一般式 f(x)=ax2+bx+c( a 0) (对称轴2bxa) b=0 偶函数 ; 顶点式 f(x)=a(

6、x-h)2+k; 顶点24(,)24bbacaa双根式 ( 零点式 )f(x)=a(x-x1)(x-x2)( 对称轴122xxx); 区间最值 : 配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：假设实根分布 : 先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 反比例函数 :)0 x(xcy平移cybxa( 中心为( , )a b对勾函数xaxy(0)a是奇函数 , 递减，在时)0 ,0(,0aaa递增，在),a,a(指数函数xay(a0，且 a1当10a时当1a时. 对数函数xyalog(a0，且 a1，0 x当10a时当1a时.幂函数：xy()R常用的幂函数 :0yx,y

7、x,2yx,3yx,1yx,2yx,12yx,13yx9. 图象变换：xxx( )()( )( -)( )( )( )( )aaybbf xf xaf xf x af xf xbf xf xb沿轴向左平移个单位沿轴向右平移个单位沿 轴向上平移个单位沿轴向下平移个单位1( )()( )( )aaf xf a xf xa f x所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变）所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变）)()(xfxfx轴翻折关于)()(xfxfy轴翻折关于x y 0 1 x y 0 1 x y 0 1 x y 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

8、- - - -第 2 页，共 12 页|)(|)(xfxf保留上面、且下翻上|)(|)(xfxf保留右面、且右翻左10. 借鉴模型函数研究抽象函数：正比例函数型：( )(0)f xkx k-()( )( )f xyf xfy；幂函数型：2( )fxx-()( )( )f xyf x f y，( )()( )xf xfyfy；指数函数型：( )xf xa-()( )( )f xyf x fy，( )()( )f xf xyf y；对数函数型：( )logafxx-()( )( )f xyf xfy，()( )( )xff xf yy；三角函数型：( )tanfxx-( )( )()1( )( )

9、f xfyf xyf x f y。四. 导数(1)导数定义： f(x) 在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；(2)常见函数的导数公式: 0c(c 是常数 ) 1()nnxn x；特别地：1, ()(xa xa a 是常数），1211()()xxx(sin)cosxx；(cos )sinxx；()xxee；()lnxxaaa；1(ln)xx；1(log)lnaxxa导数的四则运算法则：2()()();uu vuvuvuvuvu vu vvv复合函数的导数：;xuxuyy(3)导数的几何物理意义：0()kfx表示过曲线( )yf x上的点00(,)Pxy的切

10、线的斜率。00000()()()f xyyyk xxkfxVs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。五导数的应用： 求切线的斜率 , 求切线方程。用导数研究函数的单调性单调区间的求解过程：已知)(xfy 1分析)(xfy的定义域 ; 2求导数)(xfy 3解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间 4解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间。求极值、求最值。注意：当x=x0时，函数有极值f/(x0)0；反之不一定极值 最值。函数( )f x在区间,a b上的最大值max( )f xmax( )( ),( )f xf af b的极大值，函数( )f x在区间,a b上的

11、最小值min( )f xmin( ),( )f xf af b的极小值，(六 定积分定积分的定义：)(lim)(1inibanfnabdxxf定积分的性质：babadxxfkdxxkf)()(k常数；bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页bcbacadxxfdxxfdxxf)()()(其中)bca。微积分基本定理牛顿莱布尼兹公式 ：babaaFbFxFdxxf)()(|)()(定积分的应用：求曲边梯形的面积：dxxgxfSba|)()(|；求变速直线运动

12、的路程：badttvS)(；求变力做功：badxxFW)(。七 数列等差数列等比数列1、定义：daann 1)0(1qqaann2、通项公式：dnaan)1(111?nnqaa3、求和公式：2)(1naaSnn11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqqdnnnaSn2)1(14、中项：cab2acb2即2cab即acb5 、 假 设qpnm， 则qpnmaaaa假 设qpnm， 则qpnmaaaa?重要公式和方法：由nS求na或由nS判断数列类型：)2() 1(11nSSnSannn用逐差法、累乘法求通项公式用裂项相消法求数列1()n nk的前n项和 : 11 11()()n nkk nnk

13、用错位相减法求“差比数列”的前n项和八 .三角函数1、任意角的三角函数角终边上任意一点Px,y ，设rOP |则rysinrxcosxytancotxy2、同角关系：1cossin22cossintan3、诱导公式：sin)sin(sin)sin(sin)sin(cos)cos(cos)cos(cos)cos(tan)tan(tan)tan(tan)tan(cos)2sin(cos)2sin(sin)2cos(sin)2cos(4、两角和差：sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(5、二倍角：cossin22sin22sincos

14、2cos1cos222sin212tan1tan22tanPx,yx y o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页、降幂公式22cos1cos222cos1sin2、辅助角公式：22sincossin() ,tanbababa其中、)sin(xAy(0,0)A的图象性质：1最小正周期：2|T2值域：,AAy3增区间：)(2222Zkkxk减区间：)(22322Zkkxk4对称轴：令kx2)(Zk对称中心：令kx)(Zk、图象变换：)sin(sinxyxy个单位向左平移左加右减)sin(1xy倍横坐标变为原来的)sin

15、(xAyA倍纵坐标变为原来的xyxysinsin1倍横坐标变为原来的)sin( xy个单位向左平移)sin(xAyA倍纵坐标变为原来的10、解三角形(1)三角形内角和定理：CBA(2)面积公式：BacAbcCabSsin21sin21sin21(3)正弦定理：RCcBbAa2sinsinsinCBAcbasin:sin:sin:(4)余弦定理：涉及三边一角用余弦定理根据已知角在以下公式中选用2222222222cos ,2cos,2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos, cos,cos222bcaacbabcABCbcacab九平面向量：1、向量的坐标：假设)()

16、(2211，yx、B，yxA，则)(1212y，yxxAB2. 向量的模 : 22(,),ax yaxy则3. 加法与减法的代数运算：(1)nnnAAAAAAAA113221(2)假设a=11,yx,b=22, yx则ab=2121,yyxx 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD ，AC,BD 相交于 O 则两条对角线的向量AC=2AO=a+b, BD=ba, DB=ab且有ababa+b4、运算律：ab=ba(加法交换律 ); a+(b+c)=(a+ b)+c加法结合律; ab=ba(a) b=(ab)=a (b) (ab)

17、 c=ac+bc切记：)()(cbacba?(数量积不满足结合率) 5、常用公式：设)(11，yxa，)(22，yxb1cos|baba ?2121yyxxba ?cos(, )a ba bab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页20b时, baba/11122122/ /0 xyabx yx yxy的乘积式，即0?baba02121yyxxba322| aa2121|yxa222222(,)m an bm amn a bn bm nR(4)向量cos,a bbaba ba在方向上的投影=(5)12,P P的坐标分别

18、为 11, yx , 22, yx ,1212122,2xxxP x ,y )PPyyy（是的中点，则(6)三点共线的充要条件; P，A，B 三点共线(,1)OPOAOBR 且；(7) 平面向量基本定理：假设e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a=1e1+2e2十. 不等式1、不等式的性质：abba；cacbba,cbcaba；dcba,dbcabdaccba0,；bcaccba0,；,0babdacdc0；6)(00Nnbabann；0ba)(Nnbann。2. 不等式的解法：1一元一次不等式2一元二次不等式3分式不等式：步骤：

19、移项 通分 整理 x 的系数化为正, 分解因式 画数轴标零值点,注空实心点 画线奇穿偶不穿4绝对值不等式：|xaxaxa或|xaaxa22|xyxy5指数、对数不等式：方法：保证真数大于0，化同底后根据单调性比较真数大小3、均值不等式： 1222( ,)ababa bR22( ,)22abababa bR 2求和的最小值：abba2要求：0,ba为定值ab当且仅当ba时取“ =”3求积的最大值：2)2(baab要求：0,ba为定值ba当且仅当ba时取“ =”十一. 直线和圆1、直线的倾斜角：)180,0斜率：tan()2k已知)()(2211，yx、B，yxA，则211221()yykxxxx

20、0 0 x y 0 k k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页2、直线方程：点斜式：)(00 xxkyy斜截式 : yk xb截距式 : 1xyab两点式：121121xxxxyyyy一般式：0CByAx其中BAk，BCb3、直线的平行与垂直01111CyBxAl ：02222CyBxAl ：1l/2l2121bbkk且1111221122122200ABCA BA BB CB CABC的乘积式（且）1l2l121kk02121BBAA4、1l到2l的角公式：12121tankkkk5、点),(00yx到直线0CB

21、yAx的距离：2200|BACByAxd6、用二元一次不等式表示平面区域：)0(0 ACByAx表示直线右边的区域)0(0 ACByAx表 示 直 线 左 边 的 区 域7、圆的方程：标准方程：222)()(rbyax圆心),(ba，半径r一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx圆心)2,2(ED半径FEDr42122圆的参数方程：sincosrbyrax圆心),(ba，半径r求弦长 : |AB|= 222rd十二 . 圆锥曲线1. 椭圆定义I 1212|2 ( 2|)PFPFaaF FII edPF11|edPF22|)10(e图形标准方程12222byax0ba12222bxay0

22、ba参数方程sincosbyax长轴短轴a2、b2焦距c2离心率10ace关系式222cba焦点坐标)0 ,(1cF)0 ,(2cF),0(1cF), 0(2cF顶点坐标)0,(1aA)0 ,(2aA),0(1bB),0(2bB), 0(1aA),0(2aA)0,(1bB)0,(2bB准线方程cax2cay2O A B M d r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页2. 双曲线定义I 1212|2( 2|)PFPFaaF FII edPF11|edPF22|)1(e图形F2F1oBYXF2F1oBYX标准方程001

23、2222babyax，0012222babxay，实轴虚轴a2、b2焦距c2离心率1ace关系式222bac焦点坐标)0 ,(1cF)0 ,(2cF),0(1cF),0(2cF顶点坐标)0,(1aA)0,(2aA),0(1aA), 0(2aA准线方程cax2cay2渐近线方程xabyxbay3. 抛物线定义|P lPFd图形标准方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p离心率1e焦点坐标)0 ,2(PF)0 ,2(PF)2,0(PF)2, 0(PF准线方程2Px2Px2Py2Py4. 直线与圆锥曲线，弦长公式联立 消元 ,整理得方程20a xb xc0a时判别式 =24bac

24、 设1122(,) ,(,)P xyQ xy韦达定理 : 1212,bcxxxxaa2212121222212122()()41(1) ()(1) ()xxxxx xABkxxAByyk或：十三、立体几何1.常用定理 : 线面平行：/aabba; /aa; /aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页线线平行 : babaa/; baba/; baba/; bccaba/面面平行 : /,/,baObaba; /aa; /线线垂直 : baba; 所成角为900；PAaAOaaPO( 三垂线及其逆定理) 线面垂直 :

25、 lblalObaba,; alaal,; aa/; baba/面面垂直：二面角为900; aa; aa/2、空间中的角：1异面直线所成角：0 ,90 法一：作找平行直线构成相交直线法二：用向量法，转化为两直线方向向量的夹角cos| |ABCDABCD2线面角：直线与其在平面内射影所成的角0 ,90 法一：作垂线找射影法二：用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角sin(|ABnnn是平面的法向量）3二面角的平面角：由棱上一点出发在两个半平面内分别与棱垂直的射线所成的角(0 ,180 方法：定义法、三垂线法、垂面法向量法，转化为两个半平面法向量12,nn的夹角121212cos,|nn

26、nnnn3.空间距离 : 异面直线间距离: 找公垂线 ; 点到线距离 : 直接法 , 等面积法 平行线与面间距离( 两平行面间距离) 转化为点到面距离 : 直接法、等体积法等 点到面距离 : 直接法 : 用三垂线定理作垂线后再求等体积法向量法 : (PPA ndAnn是上任意一点，是的法向量）4. 外表积 , 体积长方体 : 对角线长222labc外表积2()Sabahbh体积Vabh圆锥 : =Sr l圆锥侧211=33VShr h圆锥底圆柱：=2Sr h圆柱侧；2=VShr h圆柱底圆台：S侧=lrr)(；1=)3VSSSSh圆台（棱锥 ,棱柱的体积 : ShV31棱锥VS h棱柱球的外表

27、积、体积：24SR球343VR球十四 . 排列、组合和二项式定理1、分类计数原理：nmmmN21分步计数原理：nmmmN212、)1()1(mnnnAmn12)1(!nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页mmmnmnAACmnnmnCC3、二项式定理nnnnnnnnnnbCbaCbaCaCba222110)(1通项1(0,1,2,)rn rrrnTC abrn2当 n 为偶数时，最大的二项式系数为2nnC当 n 为奇数时，最大的二项式系数为21nnC、21nnC3()naxb的展开式中，二项式系数之和0122nn

28、nnnnCCCC项的系数之和()nab令x等于 1 得到十五概率 , 统计1互斥 事件和 对立事件 ：并和事件：某事件发生， 当且仅当事件A 发生或 B 发生，记作BA或BA ；并 积事件：某事件发生， 当且仅当事件A 发生且 B 发生，记作BA或AB；互斥事件：假设BA为不可能事件BA ，则事件 A 与 B 互斥；对立事件：BA为不可能事件，BA为必然事件，则A 与 B 互为对立事件。2概率公式： 互斥事件至少有一个发生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B) ； 等可能事件的概率： 古典概型 ：()AmP An包含的基本事件的个数基本事件的总数； 相互独立事件同时发生的概率：)()()(B

29、PAPBAP? 几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件 AAP)(； 条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为()(|)()P A BP B AP A n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：( )(1)kkn knnP kC pp(其中p是一次试验中事件A 发生的概率 ) 离散性随机变量的分布列1x2x3xnxP 1p2p3pnp其中 , 120 ,1 (1,2,3,)inppppi1122nnx px px p数学期望 E方差2221122()()()nnDxEpxEpxEp 二项分布 : 设 n 次独立重复试验中事

30、件A 发生的次数为，则(,)Bnp( )(1)kknknnPC pp(其中p是一次试验中事件A 发生的概率 ) ,(1)En pDn pp3抽样方法简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，且每个个体被抽到的时机相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为Nn；系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。步骤：编号；分段；在第一段用简单随机抽样确定起始号l；按规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使

31、样本更充分的反映总体的情况， 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数Nn4总体特征数的估计：样本平均数 ：niinxnxxxxnx13211)(1样本方差：)()()(1222212xxxxxxnSn21)(1xxnnii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页样本标准差：2222121()()() nSSxxxxxxn作用：估计总体的稳定程度十六复数复数(,)zab i aR bR复平面上的点(,)a b21i复数的模22| |( ,)z

32、abiaba bR共轭复数(,)zab i aR bR与(,)zab i aR bR互为共轭z= a+bi Rb=0 (a,bR)z=zz20 ；z=a+bi 是虚数b0(a,b R)；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,b R)zz0z0 z20；a+bi=c+dia=c 且 c=d(a,b,c,dR)；2复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，则：1 z 1 z2 = (a + b) (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)(c+di) ac-bd+ (ad+bc)i ；z1 z2 =)()(dicdicdicbi

33、aidcadbcdcbdac2222(z2 0) ;十七几何证明常用定理1. 三角形内角和 =1802. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。以下面 5 个式子任意2 个为条件均可推出其他3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD3.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。同弧等弧上的圆周角相等4. 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC5. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA P

34、BPC PD6. 弦切角定理 : 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角即：在O中，PTOC,ACOPCACBA切于是的弦，则7. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB9. 割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE十八极坐标与直角坐标的互化条件 : 坐标原点与

35、极点重合, x 轴的正半轴与极轴重合, 这时有 : 222cos,sinxyxy十九算法初步1程序框图：顺序结构：条件结构：循环结构：r=0? 否求 n 除以 i 的余数输入 n是n 不是质素n 是质数i=i+1 i=2 in 或 r=0?否是注：循环结构分为：当型while 型 先判断条件，再执行循环体；直到型until 型 先执行一次循环体，再判断条件。PBAOOEDCBAEDCBAPODCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页2基本算法语句：输入语句：INPUT “提示内容 ” ；变量；输出语句： PRINT “提示内容 ” ；表达式赋值语句：变量 =表达式条件语句： IF 条件THEN IF 条件THEN 语句体语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF 循环语句：当型：直到型 : WHILE 条件DO 循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页