2022年高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结 .pdf
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1、1 平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或 a。2. 向量的模 :向量的大小(或长度) ,记作: |AB 或|a 。3. 单位向量 :长度为 1 的向量。若 e是单位向量,则 | | 1e。4. 零向量 :长度为 0 的向量。记作: 0。 【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。6. 相等向量 :长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 :长度相等,方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法则:ABBCAC ; ABBCCDDEAE; ABACCB (指向被减数)9. 平行四边形法则
2、:以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab, ab。10. 共线定理 :/ /abab。当0时,ab与同向;当0时,ab与反向。11. 基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。12. 向量的模: 若( , )ax y ,则22|axy,22|aa,2|()abab13. 数量积与夹角公式:| | |cosa bab;cos| | |a bab14. 平行与垂直:1221/ /ababx yx y ;121200aba bx xy y题型 1. 基本概念判断正误 :(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量
3、是唯一的。(4)四边形 ABCD 是平行四边形的条件是ABCD 。(5)若 ABCD ,则 A、B、C、D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7)若 a与 b共线,b与 c共线,则 a与c共线。(8)若 mamb,则 ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 (9)若 mana ,则 mn 。(10)若 a与 b不共线,则 a与 b都不是零向量。(11)若| | |a bab ,则/ /ab。(12)若 | |abab ,则 ab。题型 2. 向量的加减运算1. 设a表示“向东走 8k
4、m ”, b 表示“向北走 6km ”, 则|ab。2. 化简 ()()ABMBBOBCOM。3. 已知| 5OA, | 3OB, 则|AB 的最大值和最小值分别为、。4. 已知 ACABAD为与的和向量,且,ACa BDb,则AB,AD。5. 已知点 C在线段 AB上,且35ACAB, 则 ACBC ,ABBC。题型 3. 向量的数乘运算1. 计算: (1)3()2()abab(2) 2(253 )3( 232 )abcabc2. 已知(1 , 4),( 3,8)ab,则132ab。题型 4. 作图法球向量的和已知向量,a b,如下图,请做出向量132ab和322ab。ab题型 5. 根据图
5、形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中,D是BC的中点,请用向量AB AC,表示AD。2. 在平行四边形ABCD中,已知,ACa BDb ,求 ABAD和。题型 6. 向量的坐标运算1. 已知(4,5)AB,(2,3)A,则点B的坐标是。2. 已知( 3, 5)PQ,(3,7)P,则点Q的坐标是。3. 若物体受三个力1(1,2)F,2( 2,3)F,3( 1, 4)F, 则合力的坐标为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 4. 已知( 3,4)a,(5,2)b,求 ab , ab ,32ab 。5. 已知(1,
6、2),(3,2)AB, 向量(2,32)axxy与AB相等,求, x y的值。6. 已知(2,3)AB,(, )BCm n ,( 1,4)CD,则DA。7. 已知O是坐标原点,(2,1),( 4,8)AB,且30ABBC,求 OC 的坐标。题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和2. 已知(3,4)a,能与a构成基底的是()A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.34(,)55 D.4( 1,)3题型
7、8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O是坐标原点,点A在第二象限, |2OA,150 xOA,求 OA的坐标。2. 已知O是原点,点A在第一象限, | 4 3OA,60 xOA,求 OA的坐标。题型 9. 求数量积1. 已知| 3,| 4ab,且a与 b 的夹角为60,求( 1) a b , (2)()aab ,(3)1()2abb, (4) (2) (3 )abab 。2. 已知(2, 6),( 8,10)ab, 求 (1)|,|ab , (2)a b ,(3)(2)aab , (4)(2) (3 )abab 。题型 10. 求向量的夹角1. 已知| 8,| 3ab,12a b,求a与b
8、的夹角。2. 已知( 3,1),( 2 3,2)ab,求a与 b 的夹角。3. 已知(1,0)A,(0,1)B,(2,5)C,求cosBAC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 题型 11. 求向量的模1. 已知| 3,| 4ab,且a与 b 的夹角为60,求( 1)|ab , (2)|23 |ab 。2. 已知(2, 6),( 8,10)ab,求(1)|,|ab , (5)|ab , (6)1|2ab。3. 已知| 1 | 2ab,|32 | 3ab,求 |3|ab 。题型 12. 求单位向量【与 a平行的单位向
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