2022年高中数学必修五习题及解析 .pdf
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1、1 / 13必修五第一章解三角形1.在 ABC 中, AB5, BC6,AC8,则 ABC 的形状是 ( ) A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D非钝角三角形解析:最大边AC 所对角为B,则 cosB526282256320BC BBAC C CBA DCAB 解析由正弦定理asinAbsinB, sinBbsinAa32. B 为锐角, B60 ,则 C90 ,故 CBA. 答案C 3在 ABC 中,已知a 8,B60 ,C75 ,则 b 等于 ( ) A42 B43 C46 D.323解:由 ABC180 ,可求得A45 ,由正弦定理,得basinBsinA8 sin60 sin45 8
2、322246. 答案C 4在 ABC 中, AB5,BC7,AC8,则 BA BC的值为 ( ) A5 B 5 C15 D 15 解析在 ABC 中,由余弦定理得cosBAB2BC2AC22AB BC2549 642 5 717. BA BC|BA| |BC|cosB 5 7175. 答案A 5假设三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( ) A1:2:3 B1:3:2 C1:2:3 D.2:3: 2 解析设三边长分别为a,3a,2a ,设最大角为A,则 cosAa23a22a22 a 3a0, A90 . 设最小角为B,则 cosB2a23a2a22 2a 3a32,B30 , C6
3、0 . 因此三角之比为1:2:3. 答案A 6在 ABC 中,假设a 6,b9,A45 ,则此三角形有( ) A无解B一解C两解 D解的个数不确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页2 / 13解析由bsinBasinA,得 sinBbsinAa92263 241. 此三角形无解答案A 7已知 ABC 的外接圆半径为R,且 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB( 其中 a,b 分别为 A,B 的对边 ),那么角 C的大小为 ( ) A30 B45C60 D90解析根据正弦定理,原式可化为2Ra24R2c24
4、R2 (2ab)b2R, a2c2(2ab)b , a2b2c22ab,cosCa2b2c22ab22, C45 . 答案B 8在 ABC 中,已知sin2Asin2BsinAsinBsin2C,且满足ab4,则该三角形的面积为( ) A1 B2 C.2 D.3 解析由asinAbsinBcsinC 2R,又 sin2Asin2BsinAsinBsin2C,可得 a2b2abc2.cosCa2 b2c22ab12, C60 , sinC32. S ABC12absinC3.答案D 9在 ABC 中, A120 ,AB5,BC7,则sinBsinC的值为 ( ) A.85B.58C.53D.35
5、解析由余弦定理,得cosAAB2AC2BC22AB AC,解得 AC3. 由正弦定理sinBsinCACAB35. 答案D 10.在三角形ABC 中, AB5,AC3,BC7,则 BAC 的大小为 ( ) A.23B.56C.34D.3解析由余弦定理,得cosBACAB2AC2BC22AB AC5232722 5 312, BAC23. 答案A 11 有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20 ,现要将倾斜角改为 10 ,则坡底要加长( ) A0.5 km B1 km C1.5 km D.32km 解析如图, ACAB sin20 sin20 ,BCAB cos20 cos20 , DCACt
6、an10 2cos210 ,DBDCBC 2cos210 cos20 1. 答案B 12已知 ABC 中, A,B,C 的对边分别为a,b,c.假设 ac62,且 A 75 ,则 b 为( ) A2 B423 C423 D.62 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页3 / 13解析在ABC 中,由余弦定理, 得 a2b2c22bccosA,ac,0b22bccosAb22b(62)cos75 ,而 cos75 cos(30 45 )cos30 cos45 sin30 sin45 22321214(62),b22b(6
7、2)cos75 b2 2b(62)14(62)b22b 0,解得 b2,或 b0(舍去 )故选 A. 答案A 13在 ABC 中, A60 ,C45 ,b4,则此三角形的最小边是_解析由 ABC180 , 得 B75 , c 为最小边, 由正弦定理, 知 cbsinCsinB4sin45 sin75 4(31)答案4(31) 14在 ABC 中,假设b2a,BA60 ,则 A_. 解析由 BA60 ,得sinB sin(A60 )12sinA32cosA. 又由 b2a,知 sinB2sinA. 2sinA 12sinA32cosA. 即32sinA32cosA.cosA 0,tanA 33.
8、0 A180 ,A30 . 答案30 15在 ABC 中, AC2B,BC5,且 ABC 的面积为 103,则 B _,AB_. 解析由 AC2B 及 ABC180 ,得 B60 . 又 S 12AB BC sinB,10 312AB 5 sin60 , AB8. 答案60 8 16在 ABC 中,已知 (bc):(ca):(ab)8:9:10,则 sinA:sinB:sinC_. 解析设bc8k,ca9k,ab10k,可得 a:b:c11:9:7. sinA:sinB:sinC11 :9:7. 答案11:9: 7 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共70 分解答应写出必要的文字说明、证明过
9、程或演算步骤) 17(10 分)在非等腰 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 a2b(b c)(1)求证: A2B;(2) 假设 a3b,试判断 ABC 的形状解(1)证明:在ABC 中,a2b (bc)b2bc, 由余弦定理, 得 cosBa2c2b22acbcc22acbc2aa2bsinA2sinB,sinA2sinBcosBsin2B. 则 A2B 或 A2B . 假设 A2B ,又 ABC ,BC.这与已知相矛盾,故A2B. (2) a3b,由 a2b(b c),得 3b2b2bc,c2b. 又 a2b24b2c2. 故ABC 为直角三角形精选学习资料 - -
10、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页4 / 1318(12 分)锐角三角形ABC 中,边 a,b 是方程 x223x20 的两根,角A,B 满足 2sin(A B)30. 求:(1)角 C 的度数;(2) 边 c 的长度及 ABC 的面积解(1)由 2sin(A B)30,得 sin(A B)32. ABC 为锐角三角形,AB120 , C60 . (2) a,b 是方程 x2 23x 20 的两个根,ab23,ab2. c2a2b22abcosC(ab)23ab1266. c6. SABC12absinC12 23232. 19 (12
11、 分)如右图,某货轮在 A 处看灯塔 B在货轮的北偏东75 , 距离为 126 nmile ,在 A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30 ,距离为 83 nmile ,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔B 在北偏东120 ,求:(1)A 处与 D 处的距离;(2) 灯塔 C 与 D 处的距离解(1)在ABD 中,ADB60 ,B 45 ,AB12 6, 由正弦定理, 得 ADABsinBsinADB1262232 24(nmile) (2) 在ADC 中,由余弦定理,得CD2 AD2AC22AD AC cos30 . 解得 CD83(nmile) A 处与 D 处的距离为24 nmil
12、e ,灯塔 C 与 D 处的距离为83 nmile. 20 (12 分)已知 ABC 的角 A,B, C 所对的边分别是a,b, c,设向量m(a,b),n(sinB,sinA),p(b2,a2)(1)假设 mn,求证: ABC 为等腰三角形;(2) 假设 mp,边长 c 2,角 C3,求 ABC 的面积解(1)证明: mn, asinAbsinB. 由正弦定得知, sinAa2R,sinBb2R(其中 R 为 ABC 外接圆的半径),代入上式, 得 aa2Rbb2R,ab.故 ABC为等腰三角形(2) mp, m p0, a(b2)b(a2)0, abab. 由余弦定理c2a2 b22abc
13、osC 得4(ab)23ab,即 (ab)23ab4 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页5 / 13解得 ab4,ab 1(舍去 ) ABC 的面积 S 12absinC12 4 sin33. 第二章数列1已知正项数列an中, a1=l ,a2=2 ,?= ?+?+ ?-?n2 ,则 a6= A16 B4 C2 ?D45 【解答】解:正项数列an中, a1=1, a2=2 ,2an2=an+12+an12 n2 ,an+12an2=an2an12,数列 an2为等差数列,首项为1,公差 d=a22a12=3
14、,an2=1+3 n1=3n 2, an= ? + ?a6= ?- ? =4 , 故选: B 2 张丘建算经卷上第22 题 “女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同已知第一天织布5 尺, 30 天共织布390 尺,则该女子织布每天增加A?尺B?尺C?尺 D?尺【解答】解:设该妇子织布每天增加d 尺,由题意知 ?= ? ?+? ?= ?,解得 d=?故该女子织布每天增加?尺故选: B3已知数列 an满足 a1=1, an+1= ?,(? 为正奇数)?+ ?, (? 为正偶数),则其前6 项之和是A16 B20 C33 D120 【解答】解:a1=1 ,an+1=
15、 ?,(? 为正奇数)?+ ?, (? 为正偶数),a2=2a1=2 ,a3=a2+1=2+1=3,a4=2a3=6 ,a5=a4+1=7 ,a6=2a5=14 其前 6 项之和是1+2+3+6+7+14=33故选 C4 定义?+?+?+?为 n 个正数 p1, p2, pn的 “均倒数” 假设已知数列 an的前 n 项的 “均倒数”为?+?, 又?=?+?,则?+?+ ? +?= A?B?C?D?【解答】解:由已知得,?+?+?+?=?+?a1+a2+ +an=n 2n+1 =Sn当 n 2 时, an=SnSn1=4n 1,验证知当n=1 时也成立, an=4n 1,?=?+?,?+?=?
16、-?+?+?+ ? +?=(1-?)+ (?-?) + (?-?) + ? + (?-?) = ? -?=?故选 C5已知等比数列 an是递增数列, Sn是an的前 n 项和假设 a1,a3是方程 x25x+4=0的两个根, 则 S6= 63 【解答】解:解方程x25x+4=0,得 x1=1 ,x2=4 因为数列 an是递增数列,且a1,a3是方程 x25x+4=0的两个根,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页6 / 13所以 a1=1,a3=4 设等比数列 an的公比为q,则 ?=?=?= ? ,所以 q=2 则?
17、=?(?-?)?-?=?(?-?)?-?= ? 故答案为 63 6如图给出一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i 行第 j 列的数为aijij,i,jN* ,则 a53等于,amn= m3 ?,?,?,?【解答】解:第k 行的所含的数的个数为k,前 n 行所含的数的总数=1+2+ +n=?(?+?)?a53表示的是第5 行的第三个数,由每一列数成等差数列,且第一列是首项为?,公差d=?-?=?的等差数列,第一列的第5 个数 =?+ (?- ? ) ?=?; 又从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,由第三行可知公
18、比q=?=?,第5 行是以为首项,?为公比的等比数列,?=?(?)?=?amn表示的是第m 行的第 n 个数, 由可知:第一列的第m 个数 =?+ (?-? ) ?=?, ?=?(?)?-?=?+?故答案分别为?,?+?7等差数列 an中, a7=4 , a19=2a9,求 an的通项公式;设bn=?,求数列 bn的前 n 项和 Sn【考点】 8E:数列的求和;84 :等差数列的通项公式【分析】 I由 a7=4 ,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求anII由 ?=?=?(?+?)=?-?+?,利用裂项求和即可求解【解答】解: I设等差数列 an的公差为d a7=4 ,
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