2022年挑战中考数学压轴题函数图象中点的存在性问题相似三角形 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k 0）与直线yx2 都经过点A(2, m)（1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC，求 ABC 的面积；（3）在（ 2）的条件下，设直线y x2 与 y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15

2、 宝山嘉定24” ，拖动点E 在射线 CB 上运动，可以体验到，ACE 与 ACD 相似，存在两种情况思路点拨1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为452求 ABC 的面积，一般用割补法3讨论 ACE 与 ACD 相似， 先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点 A(2, m)代入 yx2，得 m4所以点A 的坐标为 (2, 4)将点 A(2, 4)代入kyx，得 k8（2）将点 B(n, 2)，代入8yx，得 n4所以点 B 的坐标为 (4, 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习好

3、资料欢迎下载设直线 BC 为 yxb，代入点B(4, 2)，得 b 2所以点 C 的坐标为 (0,2)由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4所以 AB2 2，BC42， ABC90图 2 所以 SABC12BA BC1224228（3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD2 2，AC2 10由于 DAC ACD45， ACE ACD 45，所以 DAC ACE所以 ACE 与 ACD 相似，分两种情况：如图 3，当CEADCAAC时， CEAD22此时 ACD

4、CAE，相似比为1如图 4，当CEACCAAD时，2 102 102 2CE解得 CE102此时 C、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以 E(10, 8)图 3 图 4 考点伸展第（ 2）题我们在计算ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图 5，作 ABC 的外接矩形HCNM ，MN/y 轴由 S矩形HCNM 24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得 SABC8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习好资料欢迎下载图 5 例 2 2014 年武汉市中

5、考第24 题如图 1，RtABC 中， ACB90， AC6 cm，BC8 cm，动点 P从点 B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动， 同时动点Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（ 0t2） ，连接 PQ（1）若 BPQ 与ABC 相似，求t 的值；（2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“14 武汉 24” ，拖动点P 运动，可以体验到，若 BPQ 可以两次成为直角三角形，与ABC 相似当AQC

6、P 时， ACQ CDPPQ 的中点 H 在ABC 的中位线EF 上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习好资料欢迎下载思路点拨1BPQ 与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了BDCQ3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H 的位置，一目了然满分解答（1）RtABC 中， AC6，BC8，所以 AB10BPQ 与 ABC 相似，存在两种情况： 如果BPBABQBC，那么510848tt解得 t1 如果BPBCBQBA，

7、那么588410tt解得3241t图 3 图 4 （2）作 PD BC，垂足为D在 RtBPD 中， BP 5t，cosB45，所以 BDBPcosB4t，PD3t当 AQCP 时， ACQ CDP所以ACCDQCPD，即68443ttt解得78t图 5 图 6 （3）如图 4，过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为F，交 AB 于 E由于 H 是 PQ 的中点， HF /PD，所以 F 是 QD 的中点又因为 BDCQ4t，所以 BFCF因此 F 是 BC 的中点， E 是 AB 的中点所以 PQ 的中点 H 在ABC 的中位线 EF 上考点伸展精选学习资料 - - - - - -

8、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习好资料欢迎下载本题情景下，如果以PQ 为直径的 H 与 ABC 的边相切，求t 的值如图 7，当 H 与 AB 相切时， QPAB，就是BPBCBQBA，3241t如图 8，当 H 与 BC 相切时， PQBC，就是BPBABQBC，t1如图 9，当 H 与 AC 相切时，直径2222(3 )(88 )PQPDQDtt，半径等于 FC 4所以22(3 )(88 )8tt解得12873t，或 t 0（如图 10，但是与已知0t2 矛盾） 图 7 图 8 图 9 图 10 例 3 2012 年苏州市中考第29 题精选学

9、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习好资料欢迎下载如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且b 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C（1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2） 请你探索在第一象限内是否存在点P， 使得四边形PCOB 的面积等于2b， 且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使

10、得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ，拖动点B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQA B 的时刻，也存在OQA B 的时刻思路点拨1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要

11、探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为 (b, 0)，点 C 的坐标为 (0, 4b)（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PE y 轴，垂足分别为D、E，那么 PDB PEC因此 PDPE设点 P 的坐标为 (x, x) 如图 3，联结 OP所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx2b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习好资料欢迎下载解得165x所以点P 的坐标为 (16 16,55)图

12、2 图 3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1, 0)，OA1如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形OAQC，那么 OQC QOA当BAQAQAOA，即2QABA OA时， BQA QOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q 为 (1,23 )如图 5，以 OC 为直径的圆与直线x1 交于点 Q，那么 OQC90。因此 OCQ QOA当BAQAQAOA时， BQA QOA此时 OQB90所以 C、Q、B 三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展第（ 3）题的思路是，A、C、O 三点是确定

13、的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA与 QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样， 先根据 QOA 与 QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB4OC 矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 4 2012 年黄冈市中考模拟第25 题如图 1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm(m 0)与 x 轴

14、交于点B、C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（ 1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得 BHEH 最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习好资料欢迎下载动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ，拖动点C 在

15、 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到， EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到， CBF 保持 45，存在 BFC BCE 的时刻思路点拨1第（ 3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时， BH EH 最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作 CBF EBC45，或者作 BF/EC再用含m 的式子表示点F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入1(2)()yxxmm，得124(2)mm解得 m4（2）当 m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx所以 C(

16、4, 0)， E(0, 2)所以 SBCE1162622BC OE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1，当 H 落在线段EC 上时， BHEH 最小设对称轴与x 轴的交点为P，那么HPEOCPCO因此234HP解得32HP所以点H 的坐标为3(1, )2（4）如图3，过点 B作 EC 的平行线交抛物线于F，过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCE BF时， BCE FBC设点 F 的坐标为1( ,(2)()xxxmm，由FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm解得 xm2所以 F (m2, 0)由COBFCEBF，得244mmBFm

17、所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF，得222(4)4(2)4mmmmm整理，得 016此方程无解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习好资料欢迎下载图 2 图 3 图 4 如图 4，作 CBF 45交抛物线于F，过点 F 作 FF x 轴于 F，由于 EBC CBF，所以BEBCBCBF，即2BCBE BF时， BCE BFC在 RtBFF 中，由 FF BF ，得1(2)()2xxmxm解得 x2m所以 F(2,0)m所以 BF2m 2，2(22)BFm由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解

18、得22 2m综合、，符合题意的m 为22 2考点伸展第（ 4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 5 2010 年义乌市中考第24 题如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0） 、A（2，0） 、B（6， 3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、 CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1

19、，得到如图2 的梯形 O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示x2 x1，并求出当S=36时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点 D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动 P、Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相

20、似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到， x2 x1随 S的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果 GAF GQE，那么 GAF 与 GQE 相似思路点拨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习好资料欢迎下载1第（ 2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可

21、以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（ 3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与 x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18） （ 2）梯 形O1A1B1C1的 面 积12122(11)3()62xxSxx， 由 此 得 到1223sxx由于213yy，所以2221221111113848

22、4yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当 S=36 时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点 A1的坐标为（ 6，3） （3）设直线AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点E，直线 PQ 与 x轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与 GQE，有一个公共角G在 GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在 GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在GQE GAF 的可能， GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于3tan4GAF，tan5D

23、QtPQDQPt，所以345tt解得207t图 3 图 4 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习好资料欢迎下载第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上， 图 3 和图 4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 6 2009年临沂市中考第26题如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1， 0)、

24、C（ 0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作 PM x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点D，使得 DCA 的面积最大， 求出点 D 的坐标,图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到， PAM的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“ P 在 A 右侧” ，可以显示 PAM 与 OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3

25、)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时， DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把 DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答（ 1）因为抛物线与x 轴交于A(4 ， 0)、 B（ 1， 0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C 的 坐标（ 0， 2） ，解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(

26、1(212xxxxy（2）设点 P 的坐标为)4)(1(21,(xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习好资料欢迎下载如图 2，当点 P 在 x 轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24) 4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点 P 的坐标为（ 2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时， x 4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P 的坐标为

27、)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时， x 1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 P 的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P 与点 O 重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ 2，1）或)14, 3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交AC 于 E直线 AC 的解析式为221xy设点 D 的横坐标为m)41(m，那么点 D 的坐标为)22521,(2mmm，点 E 的坐标为)221,(mm所以)

28、221()22521(2mmmDEmm2212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习好资料欢迎下载因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时， DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（ 2，1） 图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形OAMN ，那么 DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去CDN 和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（ m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页