2022年高二文科数学新课标人教A版选修1-1第三章导数与应用导学案 .pdf

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1、 3.1.1 变化率问题学习目标1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 会数学的博大精深以及学习数学的意义；2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程一、课前准备（预习教材P72 P74，找出疑惑之处）复习1：曲线221259xy与曲线221(9)259xykkk的（）A长、短轴长相等B焦距相等C离心率相等D准线相同复习 2:：将 a3-b3分解因式 =_ 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：问题 1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种

2、现象 ? 问题 2：高台跳水，求平均速度新知 ：平均变化率 ：2121()()f xf xfxxx试试 ：设( )yf x ，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ，即x = 或者2x = ， x 就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地， 函数的变化量或增量记为y ，即y = ；如果它们的比值yx，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 反思 ：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值 . 典型例题例1 过 曲 线3( )yf xx上 两 点( 1 , 1P和(1,1)Qxy 作曲线的割线，求出当0.1x时割线的斜率 . 变式：已知函数2( )f

3、 xxx 的图象上一点( 1, 2) 及邻近一点( 1, 2)xy ，则yx= 例 2 已知函数2( )f xx，分别计算( )f x在下列区间上的平均变化率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001 小结 ： 动手试试练 1. 某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3 个月与第6个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页练 2. 已知函数( )21f xx，( )2g xx，分别计算在区间 -3，-1， 0， 5上( )f

4、x 及( )g x 的平均变化率 . （发现： ykxb在区间 m，n上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 学习小结1.函数( )f x的平均变化率是2.求函数( )f x的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“ 数量化 ” ，曲线陡峭程度是平均变化率“ 视觉化 ” 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 21yx在 (1,2) 内的平均变化率为（）A3 B2 C1 D0 2. 设函数( )yf x ， 当自变量x由0 x 改

5、变到0 xx时，函数的改变量y 为（）A0()f xxB0()f xxC0()f xxD00()()f xxf x3. 质点运动动规律23st，则在时间(3,3)t中，相应的平均速度为（）A 6tB96ttC 3tD 9t4.已知212sgt ， 从 3s 到 3.1s的平均速度是_ 5. 223yxx在2x附近的平均变化率是_ 课后作业1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量） ，哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容

6、器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1( )52tV t（单位：3cm） ，计算第一个10s内 V 的平均变化率. 3.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页学习过程一、课前准备预习教材P74 P76，找出疑惑之处）复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4Vr V，求当空气容量V 从 0 增加到1 时，气球的平均膨胀率.

7、 复习 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与 起 跳 后 的 时 间t的 关系 为 ：2( )4.96.510h ttt. 求在 12t这段时间里，运动员的平均速度. 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：瞬时速度问题 1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是新知 ：1 瞬时速度定义： 物体在某一时刻(某一位置 )的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二 ：导数问题 2： 瞬时速度是平均速度ts当t趋近于 0时的得导数的定义： 函数( )yf x在0 xx 处的瞬时变化率是0000()()limlimxxf xxf xfxx，我们称它为函数( )yf x 在0 xx 处的导数，记作0

8、()fx或0|xxy即000()()()limxf xxf xfxx注意： (1)函数应在点0 x的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为0，而y可以为 0(3)xy是函数)(xfy对自变量x在x范围 内 的 平 均 变 化 率 ， 它 的 几 何 意 义 是 过 曲 线)(xfy上点（)(,00 xfx）及点)(,(00 xxfxx）的割线斜率(4)导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0 x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0 x处变化的快慢程度. 小结： 由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动

9、员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：0c）为2( )715(08)f xxxx. 计算第 2h 和第 6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点M 按规律 s=2t2+3 做直线运动 (位移单位： cm，时间单位：s)，(1)当 t=2，t=0.01 时，求ts. (2)当 t=2，t=0.001 时，求ts. (3)求质点 M 在 t=2

10、时的瞬时速度小结 ：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()yf xxf x；第二步：求平均变化率0()fxxyxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页第三步：取极限得导数00()limxyfxx. 动手试试练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率 ,并说明它们的意义. 练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2( )s tt(位移单位： m， 时间单位： s)， 求小球在5t时的瞬时速度三、总结提升 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均

11、速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度 v=ttsttst)()(lim0 知识拓展导数存在连续有极限学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为（）从时间t到tt时，物体的平均速度；在t时刻时该物体的瞬时速度；当时间为t时物体的速度；从时间t到tt时物体的平均速度2. 2yx 在x=1 处的导数为（）A2xB2 C 2xD1 3. 在0000()()()limxf xxf xfxx中，x 不可能（）A大于 0 B

12、小于 0 C等于 0 D大于 0 或小于 0 4.如果质点A 按规律23st 运动，则在3t时的瞬时速度为5. 若0()2fx，则0001()2limkf xkf xk等于课后作业1. 高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是：2( )4.96.510h ttt(单位 : m),求运动员在1ts 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况. 2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位： cm)与时间（单位：s）的关系可用函数2( )1s tt 表示，并且物体的动能212Umv . 求物体开始运动后第5s 时的动能 . 3.1.3 导数的几何意义学习目标通过导数的图形变换理解导数的

13、几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页学习过程一、课前准备（预习教材P76 P79，找出疑惑之处）复习 1： 曲线上向上11111(,),(,)P xyP xx yy 的连线称为曲线的割线，斜率ykx复习 2：设函数( )yf x 在0 x 附近有定义当自变量在0 xx 附近改变x时，函数值也相应地改变y，如果当x时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数 l 称为函数( )f x 在点0 x 的瞬时变化率. 记作：当x时，l二、新课导学 学习探究探

14、究任务 ：导数的几何意义问题 1：当点(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn，沿着曲线( )f x 趋近于点00(,()P xf x时，割线的变化趋是什么？新知 ： 当割线 PnP 无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT， 叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是：nk当点nP 无限趋近于点P 时，nk 无限趋近于切线PT的斜率 . 因此，函数( )f x 在0 xx 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ，即0000()()lim()xf xxf xkfxx新知 ：函数( )yf x 在0 x 处的导数的几 何意义是曲线( )yf x 在00(,()P xf x处

15、切线的斜率 . 即 k =000()()()limxf xxf xfxx 典型例题例 1 如图 ,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2( )4.96.510h ttt的图象 .根据图象 ,请描述、比较曲线( )h t在012, ,tt t 附近的变化情况. 小结 ：例 2 如图 ,它表示人体血管中药物浓度( )cf t (单位:/mg mL)随时间t(单位 :min)变化的函数图象.根据图象 ,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到 0.1) 动手试试练 1. 求双曲线1yx在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程. 精选学习资料 - - -

16、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页练 2. 求2yx 在点1x处的导数 . 三、总结提升 学习小结函数( )yf x 在0 x 处的导数的几 何意义是曲线( )yf x 在00(,()P xf x处切线的斜率 . 即 k =000()()()limxf xxf xfxx其切线方程为 知识拓展导数的物理意义：如果把函数( )yf x 看做是物体的运动方程（也叫做位移公式， 自变量x表示时间），那么导数0()fx表示运动物体在时刻ox 的速度，即在ox 的瞬时速度.即000()limxtyvfxx而运动物体的速度( )v t 对时间t的导数，即

17、0( )limtvv tt称为物体运动时的瞬时加速度. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 已知曲线22yx 上一点 ,则点(2,8)A处的切线斜率为（）A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 曲线221yx在点(1, 3)P处的切线方程为（）A41yxB47yxC41yxD47yx3. ( )f x 在0 xx 可导，则000()()limhf xhf xh（）A与0 x 、h 都有关B仅与0 x 有关而与 h 无关C仅与 h有关而与0 x 无关D与0 x 、h 都无关4

18、. 若函数( )f x 在0 x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,()xf x的切线方程为5. 已知函数( )yf x 在0 xx 处的导数为11，则000()()limxf xxf xx= 课后作业1.如图 ,试描述函数( )f x 在x=5, 4, 2,0,1 附近的变化情况 . 2 已知函数( )f x 的图象 ,试画出其导函数( )fx 图象的大致形状. 3.2.1 几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

19、纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页一、课前准备（预习教材P81 P82，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(xfy上点（)(,00 xfx） 处 的 切 线 的 斜 率 .因 此 ， 如 果)(xfy在 点0 x可 导 ， 则 曲 线)(xfy在 点（)(,00 xfx）处的切线方程为复习 2：求函数)(xfy的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y（2）求平均变化率yx（3）取极限，得导数/y( )fxxyx0lim= 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数( )yf xc 的导数 .问题 ：如何求函数( )yf xc 的导数新知 ：0y表示函数yc图象

20、上每一点处的切线斜率为. 若yc表示路程关于时间的函数，则y，可以解释为即一直处于静止状态. 试试 ： 求函数( )yf xx 的导数反思 ：1y表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为. 若yx表示路程关于时间的函数，则y，可以解释为探究任务二 ：在同一平面直角坐标系中，画出函数2 ,3 ,4yx yx yx 的图象，并根据导数定义，求它们的导数 . （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3） 函数(0)ykx k增 （减）的快慢与什么有关？ 典型例题例 1 求函数1( )yf xx的导数变式 ： 求函数2( )yf xx 的导数小

21、结 ：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 例 2 画出函数1yx的图象 .根据图象， 描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程 . 变式 1：求出曲线在点(1,2) 处的切线方程 . 变式 2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页小结 ：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的. 动手试试练 1. 求曲线221yx的斜率等于4的切线方程 . (理科用 )练 2. 求函数( )yf

22、 xx 的导数三、总结提升 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位， 恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1.( )0f x的导数是（）A0 B1

23、C不存在D不确定2.已知2( )f xx ,则(3)f（）A0 B2xC 6 D9 3. 在曲线2yx 上的切线的倾斜角为4的点为（）A (0,0)B (2,4)C11(,)4 16D1 1(, )2 44. 过曲线1yx上点 (1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3st ，则物体在1t时的速度为，在4t时的速度为. 课后作业1. 已知圆面积2Sr ，根据导数定义求( )S r. 2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500 克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为( )5000.834tA t，问氡气的散发速度是多少？ 3.2.2 基本初等函数的导数

24、公式及导数的运算法则学习目标1.理解两个函数的和(或差 )的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 学习过程一、课前准备精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页（预习教材P83 P85，找出疑惑之处）复习 1：常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；()ln(0)xxaaa a；()xxee；1()(0,lnlogaxaxa且1)a；1(ln)xx. 复习 2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6yx（

25、2）yx（3）21yx（4）431yx二、新课导学 学习探究探究任务 ：两个函数的和(或差 )积商的导数新知 ： ( )( )( )( )f xg xfxg x( )( )( )( )( )( )f xg xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )( )( )f xfx g xf x g xg xg x试试 ：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323yxx的导数 . 典型例题例 1 假设某国家在20 年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p(单位： 元)与时间t(单位： 年)有如下函数关系0( )(15%)tp tp， 其中0p 为0t时的物价 .假定某种商品的0

26、1p，那么在第10 个年头， 这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)? 变式 ：如果上式中某种商品的05p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1 吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为5284( )(80100)100c xxx. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%. 小结 ：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 动手试试练 1. 求下列函数的导数：（1）2logyx ；（ 2）2xye ；（3）5

27、22354yxxx； （4）3cos4sinyxx . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页练 2. 求下列函数的导数：（1）32logyxx ； （2）nxyx e ； （3）31sinxyx三、总结提升 学习小结1由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数 . 2对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则 .求导时， 不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简

28、的等价性，避免不必要的运算失误 . 知识拓展1复合函数的导数：设函数( )ug x 在点 x 处有导数( )xugx ，函数 y=f(u)在点 x 的对应点u 处有导数( )uyfu ，则复合函数( )yf g x在点 x 处也有导数，且xuxuyy2复合函数求导的基本步骤是： 分解求导相乘回代学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 函数1yxx的导数是（）A211xB11xC211xD11x2. 函数sin (cos1)yxx的导数是（）A cos2cosxxB cos2sinxxC

29、 cos2cosxxD2coscosxx3. cosxyx的导数是（）A2sin xxBsinxC2sincosxxxxD2coscosxxxx4. 函数2( )1382f xxx ，且0()4fx，则0 x = 5.曲线sin xyx在点(,0)M处的切线方程为课后作业1. 求描述气球膨胀状态的函数33()4Vr V的导数 . 2. 已知函数lnyxx . （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x处的切线方程. 理: 3.2.2 复合函数求导学习目标复合函数的分解，求复合函数的导数. 学习过程一、课前准备（预习教材P16 P17，找出疑惑之处）复习 1：求)4(23xxy的导数精选学

30、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页复习 2：求函数2(23)yx的导数二、新课导学 学习探究探究任务一 ：复合函数的求导法则问题 ：求(sin 2 )x=? 解答：由于(sin )cosxx ，故(sin 2 )cos2xx这个解答正确吗? 新知 ：一般地，对于两个函数( )yf u 和( )ug x ，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数( )yf u 和( )ug x 的复合函数 ，记作：( )yf g x复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间

31、变量对自变量的导数 . 用公式表示为：xuxyyu，其中u 为中间变量 . 即：y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 试试 ： (sin 2 )x= 反思 ：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 典型例题例 1求下列函数的导数：（1）2(23)yx；（2）0.051xye；（3）sin()yx（其中，均为常数）变式 ：求下列函数的导数：（1）cos3xy；（2）1yx小结 ：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重. 例 2 求描述气球膨胀状态的函数33()4Vr V的导数. 小结 ：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好

32、中间变量。 动手试试练 1. 函数33()4Vr V可以看成是哪两个函数的复合? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页练 2. 一个距地心距离为r ，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式2GMmFr给出，其中M为地球队质量，G 为常量，求F对于 r 的瞬时变化率 . 三、总结提升 学习小结1. 会分解复合函数. 2. 会求复合函数的导数. xuxyyu ；其中 u 为中间变量 . 即：y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 . 知识拓展人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在流数法

33、一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 设2sinyx，则 y =（）A sin2xB 2sin xC22sinxD2cos x2. 已知2( )ln(1)f xxx，则( )fx 是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数3. 若 函 数3()l og () (0,1)afxxa xaa在 区 间1(,0)2内单调递增，则a的取值范围是（）A1,1)4B3,1)4C9(,)4D9(1, )44. 2(log ( 23)

34、x= 5. (lg tan )x= 课后作业1. 求下列函数的导数；（1）99(1)yx；（2）2xye；（3）2 sin(25)yxx2. 求下列函数的导数；（1）2 tanyxx；（2）32(2) (31)yxx；（3）2 lnxyx ；（4）23(21)xyx 3.3.1 函数的单调性与导数学习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、课前准备（预习教材P89 P93，找出疑惑之处）复习 1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2I，且当 x1x2时，都有， 那么函数f(x)就是区间I 上的函数 . 复习 2

35、：C； ()nx；(sin )x；(cos )x；(ln)x；(log)ax；()xe；()xa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数的导数与函数的单调性的关系：问题 ：我们知道，曲线( )yf x 的切线的斜率就是函数( )yf x 的导数 .从函数342xxy的图像来观察其关系：在区间（ 2，）内，切线的斜率为，函数( )yf x 的值随着x 的增大而， 即0y时，函数( )yf x 在区间（ 2，）内为函数；在区间（，2）内，切线的斜率为，函数( )yf x 的值随着x

36、 的增大而， 即/y0 时，函数( )yf x 在区间（，2）内为函数. 新知 ：一般地，设函数( )yf x 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y， 那么函数( )yf x 在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y，那么函数( )yf x 在这个区间内的减函数. 试试 ：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3( )3f xxx ； （ 2）2( )23f xxx；（3）( )sin,(0,)f xxx x；（4）32( )23241f xxxx. 反思 ：用导数求函数单调区间的三个步骤：求函数f(x)的导数( )fx . 令( )0fx解不等式， 得 x 的范围就是递增区间.

37、 令( )0fx解不等式， 得 x 的范围就是递减区间. 探究任务二 ：如果在某个区间内恒有( )0fx，那么函数( )f x 有什么特性？ 典型例题例 1 已知导函数的下列信息：当 14x时，( )0fx；当4x，或1x时，( )0fx；当4x，或1x时，( )0fx.试画出函数( )f x 图象的大致形状. 变式 ：函数( )yf x 的图象如图所示，试画出导函数( )fx 图象的大致形状. 例 2 如图， 水以常速 （即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 . 动手试试练 1. 判断下列函数的的单调性，并求出

38、单调区间：（1）2( )24f xxx； （2）( )xf xex ；（3）3( )3f xxx ；（4）32( )f xxxx . y=f(x)=x24x+3 切线的斜率f(x) (2，+) (， 2) 321f x = x2-4 x +3xOyBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页练 2. 求证：函数32( )267f xxx在 (0,2) 内是减函数 . 三、总结提升 学习小结用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的定义域；求函数f(x)的导数( )fx . 令( )0fx，求出全部驻点；驻点把定义域分

39、成几个区间，列表考查在这几个区间内( )fx 的符号，由此确定( )f x 的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑 . 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下） ；反之，函数的图象就 “平缓” 一些 . 如图，函数( )yf x 在(0, )b 或 ( ,0)a内的图象“陡峭”， 在 ( ,)b或 (, )a内的图象“平缓”. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1.

40、 若32( )(0)f xaxbxcxd a为增函数，则一定有（）A240bacB230bacC240bacD230bac2. （2004 全国）函数cossinyxxx 在下面哪个区间内是增函数（）A3(,)22B (,2)C35(,)22D (2 ,3)3. 若在区间( , )a b 内有( )0fx，且( )0f a，则在 ( , )a b 内有（）A( )0f xB( )0f xC( )0f xD不能确定4.函数3( )f xxx的增区间是，减区间是5.已知2( )2(1)f xxxf，则(0)f等于课后作业1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）32( )f xxxx；

41、（2）3( )3f xxx ；（3）( )cos ,(0,)2f xxx x. 2.已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数( )yf t 表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0 的点 . （2）如果函数( )yf t 表示时刻t时汽车的速度，那么（ 1）中标出点的意义是什么？ 3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习过程一、课前准备（预习教材P93 P96，找出疑惑之处）复习 1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么函数y=f(x) 在

42、这个区间内为函数； 如果在这个区间内0y，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的函数 .复习 2：用导数求函数单调区间的步骤：求函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页f(x)的导数( )fx . 令解不等式， 得 x的范围就是递增区间.令解不等式，得 x 的范围，就是递减区间. 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：问题 1： 如下图，函数( )yf x 在, , , , ,a b c d e f g h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？( )yf x 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，( )yf

43、x 的导数的符号有什么规律？看出，函数( )yf x 在点xa的函数值( )f a 比它在点xa附近其它点的函数值都，( )fa；且在点xa附近的左侧( )fx0，右侧( )fx0. 类似地，函数( )yf x 在点 xb的函数值( )f b 比它在点 xb 附近其它点的函数值都，( )fb；而且在点 xb 附近的左侧( )fx0，右侧( )fx0. 新知 ：我们把点a 叫做函数( )yf x 的极小值点，( )f a 叫做函数( )yf x 的极小值 ；点 b 叫做函数( )yf x的极大值点，( )f b 叫做函数( )yf x 的极大值 . 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值

44、统称为 极值 . 极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的. 试试 ：（1）函数的极值（填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的(内，外 )部，区间的端点（能，不能）成为极值点. 反思 ：极值点与导数为0 的点的关系：导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如： 函数3( )f xx 在 x=0 处的导数为，但它（是或不是）极值点. 即：导数为0 是点为极值点的条件 . 典型例题例 1 求函数31443yxx的极值 . 变式 1：已知函数32( )f xaxbxcx 在点0 x 处取得极大值 5， 其导函数( )yfx 的图象经过

45、点(1,0) ，(2,0) ，如图所示，求(1) 0 x 的值 (2)a，b，c 的值 . 小结 ：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)求方程 f(x)=0 的根（4）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2：已知函数32( )3911f xxxx. （1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试

46、写出极值； （3）画出它的大致图象. 动手试试练 1. 求下列函数的极值：（1）2( )62f xxx； （2）3( )27f xxx ；x o 1 2 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页（3）3( )612f xxx ； （4）3( )3f xxx . 练 2. 下图是导函数( )yfx 的图象，试找出函数( )yf x 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点 . 三、总结提升 学习小结1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象 . 知识拓展函数

47、在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见：“有极值但不一定可导”学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 函数232yxx 的极值情况是（）A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也极小值2. 三次函数当1x时，有极大值4；当3x时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A3269yxxxB3269yxxxC3269yxxxD3269yxxx3. 函 数322( )f xxaxbxa 在1x时 有 极 值10，则 a、b 的值为（）A3

48、,3ab或4,11abB4,1ab或4,11abC1,5abD以上都不正确4. 函数32( )39f xxaxx在3x时有极值10，则 a 的值为5. 函 数32( )3(0)f xxaxa a的 极 大 值 为 正数，极小值为负数，则a的取值范围为课后作业1.如图是导函数( )yfx 的图象 ,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数( )yfx 有极大值？（2） 导函数( )yfx 有极小值？ （3） 函数( )yf x有极大值？（4）导函数( )yf x 有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2( )62f xxx； （2）3( )48f xxx . 3.3.3函数的最大（小）值与导数学习

49、目标理解函数的最大值和最小值的概念；掌握用导数求函数最值的方法和步骤 . 学习过程一、课前准备（预习教材P96 P98，找出疑惑之处）复习 1：若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号， 则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负” ，则0 x是)(xf的点，)(0 xf是极值；如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正” ，则0 x是)(xf的点，)(0 xf是极值复 习2 ： 已 知 函 数32( )(0)f xaxbxcx a在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

50、6 页，共 30 页1x时取得极值，且(1)1f， （1）试求常数a、b、c 的值； （2）试判断1x时函数有极大值还是极小值，并说明理由. 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数的最大（小）值问题 ：观察在闭区间ba,上的函数)(xf的图象，你能找出它的极大 （小）值吗？最大值， 最小值呢？在图 1 中，在闭区间ba,上的最大值是，最小值是；在图 2 中，在闭区间ba,上的极大值是，极小值是；最大值是，最小值是. 新知 ：一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值. 试试 ：上图的极大值点，为极小值点为；最大值为，最小值为. 反思 ：1.函数的最值是比较整个定义