2022年高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4双曲线的第二定义教案 .pdf

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1、84 双曲线的第二定义教学目的：1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念4 进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点： 双曲线的渐近线、 离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点： 渐近线几何意义的证明， 离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1范围、对称性由标准方程12222byax， 从横的方向来看，直线 x=-a,x=a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

2、归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大， 所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2顶点顶点：0 ,),0,(21aAaA特殊点：bBbB, 0),0(21实轴：21AA长为 2a, a叫做半实轴长虚轴：21BB长为 2b，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点， 而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异3渐近线过双曲线12222byax的两顶点21, AA，作Y 轴的平行线ax，经过21,BB作 X 轴的平行线by，四条直线围成一个 矩 形矩 形 的

3、 两 条 对 角 线 所 在 直线 方 程 是xaby（0byax） ，这两条直线就是双曲线的渐近线4等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样xyQB1B2A1A2NMO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy； （2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上5共渐近线的双曲线系如 果 已 知一 双曲 线 的 渐近 线方 程为xaby)0(kxkakb， 那 么 此 双

4、 曲 线 方 程 就 一 定 是 ：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax6双曲线的草图具体做法是： 画出双曲线的渐近线， 先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置， 然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的 离心率范围：1e双曲线形状与 e 的关系：1122222eacaacabk，e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页越大，即渐近线的斜率的绝对值

5、就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔8共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三量a,b,c中a,b 不同（互换） c 相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1共用同一对渐近线kxy的双曲线的方程具有什么样的特征： 可设为)0(1222kyx， 当0时交点在 x 轴， 当0时焦点在 y 轴上二、讲解新课：9 双曲线的第二定义： 到定点 F 的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线其中， 定点叫做双曲线

6、的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数 e是双曲线的离心率10准线方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页A2A1F2F1xOyA2A1F2F1xOy对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；位置关系：02caax焦点到准线的距离cbp2（也叫焦参数）对于12222bxay来说，相对于上焦点),0(1cF对应着上准线cayl21:；相对于下焦点), 0(2cF对应着下准线cayl22:11 . 双曲线的焦半径定义：双曲线上任意

7、一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0(12222babyax，21,FF是其左右焦点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页则由第二定义：edMF11，ecaxMF20101exaMF同理02exaMF即有焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：0201exaMFexaMF同理有焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 其中21,FF分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号

8、，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为： 左加右减， 上减下加（带绝对值号）12焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点),(),(2211yxByxA当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页过左焦点与左支交于两点时：)(221xxeaAB过右焦点与右支交于两点时：)(221xxeaAB当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221yyeaAB过右焦点与右支交于两点时：)

9、(221yyeaAB13通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用焦点弦公式，得到abd22三、讲解范例例 点 p(x,y) 与定点 F2(c,0) 的距离与到caxl2:的距离之比为常数)0(acac，求 P的轨迹方程解：设 d 是点 P到直线l的距离根据题意得accaxycx|)(222化简，得12222byax（0,0 ba）这是双曲线的标准方程四、课堂练习 ：N2A2A1PF2F1xOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页练习1 练习 35双曲线 16x29y2=144的实轴长、 虚轴长、离心率分别为（

10、C）练习2：A D 练习 4：26 16 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页（A）4, 3, 417（B）8, 6, 417（C）8, 6, 45（D）4, 3, 456顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e=45的双曲线的标准方程为 （A）（A）221169xy（B）2211625xy（C）221916xy（D）2212516xy7双曲线22134xy的两条准线间的距离等于（A）（A）767（B）737（C）185（D）1658若双曲线2216436yx上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是

11、 （D）（A）10 （B）32 77（C）27（D）3259经过点M(3, 1) ，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 （D）（A）y2x2=8 （B）x2y2=8 （C）x2y2=4 （D）x2y2=8 10以y=32x为渐近线的双曲线的方程是（D）（A）3y22x2=6 （B）9y28x2=1 （C）3y22x2=1 （D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页9y24x2=36 11等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（090,2）12从双曲线)0,0(12222babyax的一个焦点到一

12、条渐近线的距离是 .(b) 13与2214924xy有公共焦点，且离心率e=45的双曲线方程是 (191622yx) 14以 5x2+8y2=40的焦点为顶点， 且以 5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322yx) 15已知双曲线1366422xy上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离 （答案：596）五、小结：六、课后作业：1下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是 （B）（A）23xy2=1 与y223x=1 （B）23xy2=1与22193xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10

13、 页，共 12 页（C）y223x=1与x223y（D）23xy2=1 与22139yx2若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则必有 （D）（A）e1= e2（B）e1e2=1 （C）1211ee=1 （D）221211ee=1 3若双曲线经过点 (6, 3)，且渐近线方程是y=31x，则这条双曲线的方程是 （C）（A）221369xy（B）221819xy（C）2219xy（D）221183xy4双曲线的渐近线为y=43x，则双曲线的离心率为 （C）（A）45（B）2 （C）45或35（D）215或1535如果双曲线221169xy右支上一点P到它的右焦点的距离等于 2，则P到左准线的距离

14、为 （C）（A）245（B）6910（C）8 （D）10 6已知双曲线4222kykx的一条准线是y=1，则实数k的值是（B）（A）32（B）32（C）1 （D）1 7双曲线2214xyk的离心率e(1, 2)，则k的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页是 .)0,12(8若双曲线221169xy上的点M到左准线的距离为25，则M到右焦点的距离是 .(889)9双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10在双曲线2211213yx的一支上有不同的三点A(x1, y1), B(26, 6), C(x3, y3)与焦点F间的距离成等差数列， 则y1+y3等于 .(12) 七、板书设计 （略）八、课后记：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页