2022年抛物线压轴题答案 .pdf

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1、综合题答案1. 如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B两点（ OA OB ）且 OA 、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在 x 轴负半轴上，且AB ：AC=1 ： 2 （1）求 A 、C两点的坐标；（2）若点 M从 C点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线CB运动，连接AM ，设 ABM 的面积为S，点 M的运动时间为t ，写出 S关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点 P是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由1 答案：精选学习资料 - -

2、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2.如图，二次函数y=ax2+x+c 的图象与x 轴交于点A、B 两点， 且 A 点坐标为（ -2，0） ，与 y 轴交于点C（0，3） （1）求出这个二次函数的解析式；（ 2）直接写出点B 的坐标为 _；（3）在 x 轴是否存在一点P，使 ACP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC 的面积最大？若存在，请求出 Q 点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由解答：解： （1）y=ax2+x+c的图象经过A（

3、-2 ，0） ，C（0， 3） ， c=3 ，a=-，所求解析式为： y=-x2+x+3 ；（2） （6，0） ；（3）在 Rt AOC 中， AO=2 ， OC=3 ， AC=，当 P1A=AC时（ P1在 x 轴的负半轴） ，P1（-2-，0） ；当 P2A=AC时（ P2在 x 轴的正半轴） ，P2（-2 ，0） ；当 P3C=AC 时（ P3在 x 轴的正半轴） ，P3（ 2，0） ；当 P4C=P4A 时（ P4在 x 轴的正半轴） ，在 Rt P4OC 中，设 P4O=x ，则（ x+2 ）2=x2+32解得： x=， P4（，0） ；（4）解：如图，设Q 点坐标为（ x，y） ，

4、因为点 Q 在 y=-x2+x+3上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页即： Q 点坐标为（ x，-x2+x+3 ） ，连接 OQ ，S四边形 ABQC=S AOC+S OQC+S OBQ=3+x+3 （-x2+x+3 ）=-x2+x+12 ， a0， S四边形 ABQC 最大值=， Q 点坐标为（ 3，） 。3.如图（ 1），抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，）图（ 2）、图（3）为解答备用图（1），点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（2）设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMC 的

5、面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在， 请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线上求点 Q，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页解答：解：（ 1），A（-1，0），B（3，0）（2）如图（ 1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结 OM则 AOC 的面积 =，MOC 的面积 =，MOB 的面积 =6， 四边形 ABMC 的面积=AOC 的面积 +MOC 的面积 +MOB 的面积 =9说明：也可过点M 作

6、抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和（3）如图（ 2），设 D（m，），连结 OD则 0m3，0且 AOC 的面积 =， DOC 的面积 =，DOB 的面积=-（）， 四边形 ABDC 的面积 =AOC 的面积 +DOC 的面积 +DOB 的面积=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页 存在点 D，使四边形 ABDC 的面积最大为（4）有两种情况：如图（ 3），过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CBO=45 ， EBO=45

7、 ，BO=OE=3 点 E 的坐标为（ 0，3） 直线 BE 的解析式为由解得 点 Q1的坐标为（ -2，5）如图 14（4），过点 C 作 CFCB，交抛物线于点Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2 CBO=45 ， CFB=45 ，OF=OC=3 点 F 的坐标为（ -3，0） 直线 CF 的解析式为由解得点 Q2的坐标为（ 1，-4）综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、 Q2（1，-4），使 BCQ1、BCQ2是以 BC 为直角边的直角三角形说明：如图 14（4），点 Q2即抛物线顶点M，直接证明 BCM 为直角三角形4.如图 1，在 ABC 中， AB=BC ，P 为 AB 边上

8、一点，连接CP，以 PA、 PC 为邻边作 ?APCD ，AC 与 PD 相交于点 E，已知 ABC= AEP= （0 90 ） （1）求证： EAP= EPA；（2）?APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图 2， F 为 BC 中点，连接FP，将 AEP 绕点 E顺时针旋转适当的角度，得到MEN （点 M、N 分别是MEN 的两边与BA、FP 延长线的交点） 猜想线段EM 与 EN 之间的数量关系，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页考点 ：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四

9、边形的性质；矩形的判定。专题 ：证明题；探究型。分析： （1）根据 AB=BC 可证 CAB= ACB ，则在 ABC 与 AEP 中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；（2）由（ 1）知 EPA=EAP，则 AC=DP ，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；（3）可以证明EAM EPN，从而得到EM=EN 解答： （1）证明：在ABC 和 AEP 中， ABC= AEP， BAC= EAP， ACB= APE，在 ABC 中， AB=BC ， ACB= BAC ， EPA= EAP（2）解： ?APCD 是矩形理由如下：四边形 APCD 是平行四边形，AC=2EA ，P

10、D=2EP，由（ 1）知 EPA=EAP，EA=EP ，则 AC=PD ，?APCD 是矩形（3）解： EM=EN 证明： EA=EP ， EPA=90 ， EAM=180 EPA=180 （ 90 ）=90 + ，由（ 2）知 CPB=90 ，F 是 BC 的中点，FP=FB， FPB= ABC= ， EPN=EPA+APN= EPA+FPB=90 + =90 + ， EAM= EPN， AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到MEN ， AEP= MEN， AEP AEN= MEN AEN ，即 MEA= NEP，在 EAM 和 EPN 中，精选学习资料 - - - - - - - -

11、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页 EAM EPN（AAS ） ，EM=EN 点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键5.提出问题：如图 ，在正方形ABCD 中，点 P，F 分别在边BC、AB 上，若 APDF 于点 H，则 AP=DF 类比探究：（1）如图 ，在正方形ABCD 中，点 P、F 、G 分别在边 BC、AB 、AD 上，若 GPDF 于点 H，探究线段GP 与DF 的数量关系，并说明理由；（2）如图 ，在正方形ABCD 中，点 P、F、G 分别在边BC、AB 、A

12、D 上， GPDF 于点 H，将线段 PG 绕点 P逆时针旋转90 得到线段 PE，连结 EF，若四边形DFEP 为菱形，探究DG 和 PC 的数量关系，并说明理由【分析】 （1）如答图 1，过点 A 作 AM DF 交 BC 于点 M通过证明 BAM ADF 得到其对应边相等：AM=DF ，则又由平行四边形的性质推知AM=GP ，则 GP=DF；（2）如答图2，过点 P 作 FNAD 与点 N根据菱形的性质、等腰三角形的“ 三线合一 ” 的性质推知DG=2DN ，然后结合矩形 DNPC 的性质得到： DG=2PC【解答】解： （1） GP=DF理由如下：如答图 1，过点 A 作 AM DF

13、交 BC 于点 M四边形 ABCD 是正方形，AD=AB ， B90 ， BAM= ADF ，在 BAM 与 ADF 中， BAM ADF （ASA） ，AM=DF 又四边形AMPG 为平行四边形，AM=GP ，即 GP=DF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页（2）DG=2PC 理由如下：如答图 2，过点 P 作 FNAD 与点 N若四边形 DFEP 为菱形，则DP=DF ，DP=DF，DP=GP，即 DG=2DN 四边形 DNPC 为矩形，PC=DN，DG=2PC6. 如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交于A(

14、1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线交y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点 P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 解答：(1) 将 A(1，0) ，B(3，0) 代2yxbxc中得10930bcbc23bc抛物线解析式为：223yxx (2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称直线 BC与1x的交点即为Q点，此时 AQC 周长最小

15、223yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页(3)xyABCPEOxyABCQO(2)C的坐标为： (0， 3) 直线 BC解析式为：3yx Q 点坐标即为13xyx的解12xy Q(1， 2) （3）答：存在。理由如下：设 P点2(23) (30)xxxx，92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形有最大值，则BPCS就最大，BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形11()22BE PEOE PEOC2211(3)(23)()(233)22xxxxxx233927()2228x

16、当32x时，BPCOS四边形最大值92728BPCS最大9279272828当32x时，215234xx点 P坐标为315()24，7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线y=x22mx+m2 9（1）求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；（2） 该抛物线与x 轴交于 A，B 两点，点A 在点 B 的左侧，且OA OB，与 y 轴的交点坐标为（0， 5） ，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x 轴的交点为N，若点 M 是线段 AN 上的任意一点，过点M 作直线点 C， 记点 C 关于抛物线对称轴的对称点为D， 点 P 是线段 MC 上一点，且满足 M

17、P=MC ，MCx 轴，交抛物线于连结 CD，PD，作 PEPD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点E，使得 PE=PD？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页解答：解：（1）令 y=0，则 x22mx+m29=0， =（ 2m）24m2+360，无论 m 为何值时方程x2 2mx+m29=0 总有两个不相等的实数根，抛物线y=x2 2mx+m29 的开口向上，顶点在x 轴的下方，该抛物线与x 轴总有两个交点（2）抛物线y=x22mx+m29 与 y 轴交点坐标为（0，

18、 5） ， 5=m29解得： m= 2当 m=2， y=0 时， x2+4x5=0 解得： x1=5，x2=1，抛物线y=x2 2mx+m29 与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左侧，且 OA OB） ， m=2 不符合题意，舍去m=2抛物线的解析式为y=x24x5；（3）如图 2，假设 E 点存在， MCEM ，CDMC ， EMP=PCD=90 MEP+MPE=90 PEPD， EPD=90 ， MPE+DPC=90 。 MEP=CPD在 EMP 和 PCD 中， EPM PDC（AAS） PM=DC ，EM=PC 设 C（x0，y0） ，则 D（4x0，y0） ，P（x0，

19、y0） 2x04=y0点 C 在抛物线y=x24x 5 上； y0 x02 4x05 2x04=（x024x05） 解得： x01=1，x02=11（舍去）， P（1， 2） PC=6 ME=PC=6 E（7，0） 8. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线 y=x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线 y=-x2+bx+c 交 x 轴于另一点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，交直线 AB 于点 F，作 PGAB

20、于点 G求出 PFG 的周长最大值；（3）在抛物线 y=ax2+bx+c 上是否存在除点D 以外的点 M，使得 ABM 与 ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由21题答图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页解答： （1）直线AB：3xy与坐标轴交于A（-3,0 ） 、B（0,3 ）代入抛物线解析式cbxxy2中ccb339032cb抛物线解析式为：322xxy 4 分（2）由题意可知PFG是等腰直角三角形，设)32,2mmmP（)3,(mmFmmmmmPF333222PFG周长为

21、：)3(23-22mmmm=4)12(9)23)(12(2mPFG周长的最大值为：4129）（ 8 分（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使ABM的面积等于ABD的面积 . 此时1DMAB，23MMAB，且与AB距离相等D（-1 ， 4） ，则 E（-1,2 ） 、则 N（-1,0 ）3xy中，k=1 直线1DM解析式为：5xy直线23MM解析式为：1xy 9 分3252xxx或3212xxx2173,2173,2,14321xxxx)3,2(1M、10 分)2171,2173(2M11 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

22、 -第 11 页，共 18 页)2171,2173(3M 12 分9ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合） ，ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC、于点FG、，连接BE（1）如图（ a）所示，当点D在线段BC上时求证：AEBADC；探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（ b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（ 2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由解答（1）证明：ABC和ADE都是等边三角形，60AEADABACEADBAC，

23、1 分又EABEADBAD，DACBACBAD，EABDAC，AEBADC 3 分法一：由得AEBADC，60ABEC又60BACC，ABEBAC，EBGC 5 分又EGBC，四边形BCGE是平行四边形 6 分法二：证出AEGADB，A G C D B F E 图（ a）A D C B F E G 图（ b）A G C D B F E 图（ a）第 25 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页得EGABBC 5 分由得AEBADC得BECG四边形BCGE是平行四边形 6 分（2）都成立 8 分（3） 当C D C

24、 B（2BDCD或12CDBD或30CAD或90BAD或30ADC） 时，四边形BCGE是菱形 9 分理由：法一：由得AEBADC，BECD 10 分又CDCB，BECB 11 分由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形 12 分法二：由得AEBADC，BECD 9 分又四边形BCGE是菱形，BECB 11 分CDCB 12 分法三：四边形BCGE是平行四边形，BECGEGBC，6060FBEBACFABC ， 9 分60FFBE，BEF是等边三角形 10 分又ABBC，四边形BCGE是菱形，ABBEBF，AEFG 11 分30EAG，60EAD，30CAD10如图， 在平面直角坐

25、标系中，O 为坐标原点， 抛物线 y=x2+2x 与 x 轴相交于 O、B，顶点为 A，连接 OAA D C B F E G 图（b）第 25 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页（1）求点 A 的坐标和 AOB 的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x 向右平移4 个单位，再向下平移2 个单位，得到抛物线m，其顶点为点C连接 OC 和AC，把 AOC 沿 OA 翻折得到四边形ACOC 试判断其形状，并说明理由；（3）在（ 2）的情况下，判断点C是否在抛物线y=x2+2x 上，请说明理由；（4）若点 P 为 x

26、轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q，使以点 O、P、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解答：（1）由 y= x2+2x 得， y= （x2）22，抛物线的顶点A 的坐标为（ 2，2），令 x2+2x=0 ，解得 x1=0，x2=4，点 B 的坐标为（ 4，0），过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，ADO=90 ，点 A 的坐标为（ 2，2），点 D 的坐标为（ 2，0），OD=AD=2 ，AOB=45 ；（2）四边形 ACOC 为菱形由题意可知抛物线m 的二次项系数为，且过顶点 C 的坐标是（ 2

27、，4），抛物线的解析式为：y= （x2）24，即 y=x22x2，过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE EF=2 ，OC=2，同理， AC=2，OC=AC ，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC ，故四边形 ACOC 为菱形（3）如图 1，点 C 不在抛物线 y= x2+2x 上理由如下：过点 C 作 CGx 轴，垂足为 G，OC 和 OC 关于 OA 对称， AOB=AOH=45 ，COH= COG ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

28、 - -第 14 页，共 18 页CEOH，OCE= COG ，又 CEO= CGO=90 ，OC=OC ，CEO CGO ，OG=4，CG=2 ，点 C 的坐标为（ 4，2），把 x=4 代入抛物线 y= x2+2x 得 y=0，点 C 不在抛物线 y= x2+2x 上；（4）存在符合条件的点Q点 P 为 x 轴上的一个动点，点Q 在抛物线 m 上，设 Q（a， （a2）24），OC 为该四边形的一条边，OP 为对角线，=0，解得 x1=6，x2=4，P（6，4）或（ 2，4）（舍去），点 Q 的坐标为（ 6，4）11如图 1，在 OAB 中， OAB=90 ， AOB=30 以 OB 为边

29、，在 OAB 外作等边 OBC，D 是 OB 的中点，连接AD 并且延长交OC 于 E（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图 2，将图 1 中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点 A 重合，折痕为FG，试探究线段OG 与 AB 的数量关系并说明理由【解答】（1）证明： RtOAB 中， D 为 OB 的中点，DO=DA （直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）， EAO= AOB=30 ， OBC 为等边三角形， COB=60 ，又 AOB=30 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页 EOA=90

30、 ， AEO=180 EOA EAO=180 90 30 =60 ， AEO= C，BCAE， BAO= COA=90 ，COAB ，四边形 ABCE 是平行四边形；（2）解：在RtABO 中， OAB=90 ， AOB=30 ，BO=2AB ，OA=AB ，设 OG=x ，由折叠可得：AG=GC=2AB x，在 RtOAG 中， OG2+OA2=AG2，x2+（AB）2=（2AB x）2，解得： x=AB，即 OG=AB 12.在菱形 ABCD 中， ABC=60 ，E 是对角线AC 上任意一点， F 是线段 BC 延长线上一点，且CF=AE ，连接 BE、EF（1）如图 1，当 E 是线段

31、 AC 的中点时，求证：BE=EF （2）如图 2，当点 E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立（填 “ 成立 ” 或“ 不成立 ” ）（3）如图 3，当点 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，AB=BC ， ABC=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页 ABC 是等边三角形， BCA=60 ，E 是线段 AC 的中点， CBE= ABE=30 ，AE

32、=CE ，CF=AE ，CE=CF， F=CEF=BCA=30 ， CBE= F=30 ，BE=EF ；（2）解：结论成立；理由如下：过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点G，如图 2 所示：四边形 ABCD 为菱形，AB=BC ， BCD=120 ，AB CD， ACD=60 ， DCF= ABC=60 ， ECF=120 ，又 ABC=60 ， ABC 是等边三角形，AB=AC ， ACB=60 ，又 EGBC， AGE= ABC=60 ，又 BAC=60 ， AGE 是等边三角形，AG=AE=GE ， AGE=60 ，BG=CE， BGE=120 =ECF，又 CF=AE ，GE=

33、CF，在 BGE 和 CEF 中， BGE ECF（ SAS） ，BE=EF （3）解：结论成立证明如下：过点 E 作 EGBC 交 AB 延长线于点G，如图 3 所示：四边形 ABCD 为菱形，AB=BC ，又 ABC=60 ， ABC 是等边三角形，AB=AC ， ACB=60 ， ECF=60 ，又 EGBC， AGE= ABC=60 ，又 BAC=60 ， AGE 是等边三角形，AG=AE=GE ， AGE=60 ，BG=CE， AGE= ECF，又 CF=AE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页GE=CF，在 BGE 和 CEF 中， BGE ECF（ SAS） ，BE=EF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页