2022年高考中的常用数学方法配方法待定系数法换元法 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高考中的常用数学方法配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法. 这些方法是数学思想的具体体现 , 是解决问题的手段, 它不仅有明确的内涵, 而且具有可操作性, 有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧, 由于这种配成 “完全平方” 的恒等变形 ,使问题的结构发生了转化, 从中可找到已知与未知之间的联系, 促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想, 这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中, 从而通过解方程( 或方程组 ) 求得未知数 . 换元法是一种变量代换, 它是用一种变数形式去取代另一种

2、变数形式, 从而使问题得到简化 , 换元的实质是转化. 二、例题解析例 1 已知长方体的全面积为11, 其 12 条棱的长度之和为24, 则这个长方体的一条对角线长为 ( ). (A)32( B)14(C)5 ( D)6 分析及解： 设长方体三条棱长分别为x, y, z, 则依条件得： 2( xy+yz+zx)=11,4( x+y+z)=24. 而欲求的对角线长为222zyx, 因此需将对称式222zyx写成基本对称式x+y+z及 xy+yz+zx的组合形式 , 完成这种组合的常用手段是配方法 . 故)(2)(2222xzyzxyzyxzyx=62-11=25 5222zyx, 应选 C. 例

3、 2 设 F1和 F2为双曲线1422yx的两个焦点 , 点 P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是 ( ). (A)1 (B)25( C)2 ( D)5分析及解： 欲求|212121PFPFSFPF(1), 而由已知能得到什么呢？由 F1PF2=90,得20|2221PFPF(2), 又根据双曲线的定义得| PF1|-|PF2|=4 (3), 那么 (2) 、 (3) 两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3) 式完全平方, 即可找到三个式子之间的关系. 即16|2|212221221PFPFPFPFPFPF, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

4、归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载故2421)16|(|21|222121PFPFPFPF1|212121PFPFSFPF, 选( A). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例 3设双曲线的中心是坐标原点, 准线平行于x 轴, 离心率为25, 已知点 P(0,5) 到该双曲线上的点的最近距离是2, 求双曲线方程. 分析及解： 由题意可设双曲线方程为12222bxay, 25e, a=2b, 因此所求双曲线方程可写成：2224axy (1),故只需求出a 可求解 . 设双曲线上点Q 的坐标为 (x, y), 则| PQ|=22)5

5、(yx (2),点 Q( x, y) 在双曲线上, ( x, y) 满足 (1) 式 , 代入 (2) 得 | PQ|=222)5(44yay (3),此时 | PQ|2表示为变量 y 的二次函数 , 利用配方法求出其最小值即可求解. 由(3) 式有45)4(45|222ayPQ( ya 或 y- a). 二次曲线的对称轴为y=4, 而函数的定义域ya 或 y- a, 因此 , 需对 a4 与 a4 分类讨论 . (1) 当 a4 时, 如图 (1) 可知函数在y=4 处取得最小值 , 令4452a, 得 a2=4 所求双曲线方程为1422xy. (2) 当 a4时, 如图 (2) 可知函数在

6、y=a 处取得最小值 , 令445)4(4522aa, 得 a2=49, 所求双曲线方程为14944922xy. 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的, 其中利用配方法求解二次函数的最值问题, 由于二次函数的定义域与参数a有关 , 因此需对字母a的取值分类讨论, 从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题. 例 4 设 f( x) 是一次函数 ,且其在定义域内是增函数, 又124)(11xxff, 试求 f( x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载的表达式 . 分析及

7、解： 因为此函数的模式已知, 故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数y=f( x)= ax+b ( a0), 可知)(1)(1bxaxf, 124)(11)(11)(2211xbabaxabbxaaxff. 比较系数可知：)2(12)(1)1 ()0(4122babaaa且解此方程组 , 得21a, b=2, 所求 f( x)=221x. 例 5如图 , 已知在矩形ABCD 中, C(4,4),点 A 在曲线922yx(x0,y0) 上移动 ,且 AB, BC 两边始终分别平行于x 轴 , y 轴, 求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标 . 分析及解： 设 A( x,y),

8、如图所示 , 则ABCDS(4- x)(4- y) (1) 此时 S表示为变量x, y 的函数 , 如何将 S表示为一个变量x( 或 y) 的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9, 如何利用此条件？是从等式中解出x( 或 y), 再代入 (1) 式,因为表达式有开方, 显然此方法不好. 如果我们将 (1) 式继续变形 , 会得到 S=16-4( x+y)+ xy (2) 这时我们可联想到x2+y2与 x+y、xy 间的关系 , 即 ( x+y)2=9+2xy. 因此,只需设t=x+y,则xy=292t,代入(2)式得S=16-4 t+27)4(212922tt(3) S表示为变量t 的二

9、次函数 , 0 x3,0 y3, 3t23, 当 t=4 时, SABCD的最小值为27. 此时,27, 4xyyx)222,222()222,222(或的坐标为得A注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的, 这样才能防止出现不必要的错误. 例 6设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1, x2, 若212221)()(xxxx3, 求 k 的取值范围 . 解：22)(2)()()(22122121221212221xxxxxxxxxxxx3, 以kxx221,421xx代入整理得 (k2-2)25,又 =4k2-160, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、- - - - -第 3 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载045|2|22kk解得 k(-52,)52,+. 例 7点 P( x, y) 在椭圆1422yx上移动时 , 求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值 . 解：点 P(x,y)在椭圆1422yx上移动 , 可设sincos2yx于是yxyxyxu24222=sin2cos2sin4cossin4cos422= 1sincos)sin(cos22令tsincos, )4sin(2cossin,|t|2. 于是 u=23)21(2) 1(222ttt,(|t|2). 当 t=2,即1)4sin(时,u 有最大值 . =2k

11、+4(kZ)时,226maxu.例 8过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22yx相交于 A, B 两点 , 若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线 l 的倾斜角 . 解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) 直线 l 的方程为 y=kx,将它代入椭圆方程整理得036)31 (22xxk(*) 由韦达定理 ,221316kxx(1),221313kxx(2) 又 F(1,0)且 AFBF,1BFAFkk, 即1112211xyxy, 将11kxy,22kxy代入上式整理得1) 1(21212xxxxk, 将(1)式,(2)式代入 ,解得312k. 故直线 l 的倾斜角为6或6

12、5. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求” ,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例 9设集合A=Rxaxxx,024|1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载(1) 若 A 中有且只有一个元素, 求实数 a 的取值集合B；(2) 当 aB 时, 不等式 x2-5 x-60 且方程0241axx化为 t2-2t+a=0 (*), A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令 f(t)=t2-2t+a, 则=0 或0)0(0f即 a=1 或 a0,从而 B=(-,01. (2

13、)当 a=1 时,113x0 恒成立 ,故xxg1040)0(4. 综上讨论 ,x 的取值范围是 (113,4). 高中数学解题思想之换元法解数学题时， 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化这叫换元法。 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象， 将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。 通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为

14、整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中， 某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x2 0，先变形为设2xt （t0 ） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元， 应用于去根号， 或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1，设 xsin2 ，0,2 ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会

15、想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x2y2r2（r0 ）时，则可作三角代换xrcos 、y rsin 化为三角问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载均值换元，如遇到xyS形式时，设xS2t ，yS2t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取， 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和0,2 。、再现性题组：1.y sinx cosx sinx+cos

16、x的最大值是 _。2. 设 f(x2 1) loga(4 x4) （a1） ，则 f(x)的值域是 _。3. 已知数列 an 中， a1 1，an 1anan 1an，则数列通项an_。4. 设实数 x、y 满足 x22xy10，则 xy 的取值范围是_。5. 方程1313xx3 的解是 _。6. 不等式 log2(2x1) log2(2x 12) 2 的解集是 _。【简解】 1 小题：设sinx+cosx t 2,2 ，则 yt22t 12，对称轴t 1，当 t 2， ymax122；2 小题：设x21t (t1) ，则 f(t)loga-(t-1)24 ，所以值域为 ( ,loga4 ；3

17、 小题：已知变形为11an1an 1, 设 bn1an，则 b1 1,bn 1(n 1)(-1)n，所以 an1n；4 小题：设xy k，则 x22kx10, 4k24 0, 所以 k1 或 k 1；5 小题：设3xy，则 3y22y10, 解得 y13，所以 x 1；6 小题：设log2(2x 1) y，则 y(y 1)2，解得 2y0， 求 f(x)2a(sinx cosx) sinx cosx2a2的最大值和最小值。【解】设 sinx cosx t ，则t -2,2 ，由 (sinx cosx)212sinx cosx 得： sinx cosx t212 f(x)g(t) 12(t 2a

18、)212（a0） ，t -2,2 t -2时，取最小值：2a222a12当 2a2时， t 2，取最大值：2a222a12；当 00恒成立，求a 的取值范围。 （87 年全国理）【分析】不等式中log241()aa、 log221aa、log2()aa1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】设 log221aat ，则log241()aa log2812()aa3 log2aa12 3log221aa3t ，log2()aa14222log2aa12 2t ，代入后原不等式简化为（3t ）x22tx 2t0 ，它对一切实数x 恒成立，所以：3048 302tt

19、tt()，解得ttt306或 t0 即 log221aa0 021aa1，解得 0a0 恒成立，求k 的范围。【分析】由已知条件()x192()y11621，可以发现它与a2b21 有相似之处，于是实施三角换元。【解】由()x192()y11621，设x13cos，y14sin ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载即：xy1314cossin代入不等式xyk0 得：3cos4sin k0，即 k3cos 4sin 5sin( +) 所以 k0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成

20、两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x yk0 的区域。即当直线xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组16191144022()()xyxyk有相等的一组实数解，消元后由0 可求得 k 3, 所以k0)，则 f(4) 的值为 _。A. 2lg2 B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg4 2. 函数 y (x 1)42 的单调增区间是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+ ) C. (-,-1 3. 设等差数列 an 的公差 d12，且 S100145，则 a1 a3a5 a99的值为 _。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x24y24x，则 xy 的范围是 _。5. 已知 a 0，b0，ab1，则a12b12的范围是 _。6. 不等式xax32的解集是 (4,b) ，则 a_，b _。7. 函数 y 2xx1的值域是 _。8. 在等比数列 an 中， a1a2 a102，a11 a12 a30 12，求a31a32a60。9. 实数 m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin2x2mcosx4m 10 k 平面区域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页