2022年高二数学导数中的恒成立问题专题学案 .pdf

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1、既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。1 第讲导数中的恒成立问题时间：年月日刘满江老师学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试1.函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率，相应的切线方程是. 2. 几种常见函数的导数C= ；()nx；(sin)x； (cos )x；()xa；()xe；(log)ax；(ln)x 3.导数的运算法则1()uv. 2()uv. 3( )uv.(0)v4. 复合函数求导法则复合函数( ( )yf g x的导数和函数( ),( )yf

2、 uug x的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 .解题步骤 :分层层层求导作积复原. 5. 函数的极值(1) 极值定义：极值是在0 x 附近所有的点，都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极值；极值是在0 x 附近所有的点，都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极值. (2) 判别方法：如果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极值；如果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极值. 三、 方法培养精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

3、 - - - - - - -第 1 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。2 一、单参数放在不等式上型：【例题 1】设函数( )xxf xee假设对所有0 x都有( )f xax，求a的取值范围解：令( )( )g xf xax，则( )( )xxg xfxaeea，1假设2a，当0 x时，( )20 xxgxeeaa，故( )g x在(0,)上为增函数，0 x时，( )(0)g xg，即( )f xax2假设2a，方程( )0g x的正根为214ln2aax，此时，假设1(0,)xx，则( )0g x，故( )g x在该区间为减

4、函数1(0,)xx时，( )(0)0g xg，即( )f xax，与题设( )f xax相矛盾综上，满足条件的a的取值范围是(,2说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】设函数2( )1xfxexax，当0 x时，( )0fx，求a的取值范围解：【例题 2】设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值1求a、b的值； 2假设对于任意的0,3x，都有2( )f xc成立，求c的取值范围解： 12( )663fxxaxb，函数( )f x在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f即6630241230abab，解得3a，4b 2由 1可知，32( )29128f xxx

5、xc，2( )618126(1)(2)fxxxxx当(0,1)x时，( )0fx；当(1,2)x时，( )0fx；当(2,3)x时，( )0fx当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc则当0,3x时，( )f x的最大值为(3)98fc对于任意的0,3x，有2( )f xc恒成立，298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(, 1)(9,)最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】已知函数44( )ln (0)fxaxxbxc x在1x处取得极值3c，其中a、b、c为常数1试确定a、b的值； 2讨论函数( )f x的单调区

6、间；3假设对任意0 x，不等式2( )2f xc恒成立，求c的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。3 解：【针对练习3】已知函数323( )12fxaxx()xR，其中0a假设在区间1 1,2 2上，( )0fx恒成立，求a的取值范围解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得

7、一鸣惊人。4 【例题 3】已知函数22( )ln (1)1xf xxx1求函数( )f x的单调区间；2假设不等式1(1)n aen对任意的nN都成立其中e是自然对数的底数 ，求a的最大值解： 1函数( )f x的定义域是( 1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2( )1(1)(1)xxxxxxxfxxxx设2( )2(1)ln(1)2g xxxxx则( )2ln(1)2g xxx，令( )2ln(1)2h xxx，则22( )211xh xxx当10 x时，( )0h x，( )h x在( 1,0)上为增函数，当0 x时，( )0h x，( )h x在(0,)上为减函数( )h

8、x在0 x处取得极大值，而(0)0h，( )0 (0)g xx，函数( )g x在( 1,)上为减函数于是当10 x时，( )(0)0g xg，当0 x时，( )(0)0g xg当10 x时，( )0,fx( )f x在( 1,0)上为增函数当0 x时，( )0fx，( )f x在(0,)上为减函数故函数( )f x的单调递增区间为( 1,0)，单调递减区间为(0,) 2不等式1(1)n aen等价于不等式1()ln(1)1nan，由111n知，11ln(1)ann设11( )ln(1)G xxx，(0,1x，则22222211(1)ln(1)( )(1)ln (1)(1)ln (1)xxxG

9、 xxxxxxx由 1知，22ln (1)01xxx，即22(1)ln(1)0 xxx( )0G x，(0,1x，于是( )G x在(0,1上为减函数故函数( )G x在(0,1上的最小值为1(1)1ln 2G a 的最大值为11ln 2小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量别离的方法，此类方法的解题步骤是：别离变量；构造函数非变量一方 ；对所构造的函数求最值一般需要求导数,有时还需求两次导数 ；写出变量的取值范围【针对练习4】已知( )(1)ln1f xxxx，假设2( )1xfxxax，求a的取值范围解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

10、- -第 4 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。5 【针对练习5】假设对所有的 ,)xe都有lnxxaxa成立，求实数a的取值范围解：二、单参数放在区间上型：【例题 4】已知三次函数32( )5fxaxxcxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且)(xf在3x处有极值1求)(xf的解析式；2当(0,)xm时，( )0f x恒成立，求实数m的取值范围解： 12( )310fxaxxc，(1)310fac，于是过点(1,8)处的切线为8(310)(1)yacx，又切线经过点(3,0)，360ac，)(xf在3x处有极值

11、，(3)27300fac，又(1)58facd，由解得：1a，3c，9d，32( )539f xxxx 22( )3103(31)(3)fxxxxx，由( )0fx得113x，23x当1(0,)3x时，( )0fx，( )f x单调递增，( )(0)9f xf；当1(,3)3x时，( )0fx，( )f x单调递减，( )(3)0f xf当3m时，( )0f x在(0,)m内不恒成立，当且仅当(0,3m时，( )0f x在(0,)m内恒成立，m的取值范围为(0,3【针对练习6】 07 陕西文 已知cxbxaxxf23)(在区间0,1上是增函数， 在区间(,0)，(1,)上是减函数，又13()2

12、2f1求)(xf的解析式；2假设在区间0, (0)mm上恒有( )f xx成立，求m的取值范围解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。6 三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题 5】已知函数( ) (0)af xxb xx，其中a，bR1讨论函数( )f x的单调性；2假设对于任意的1,22a，不等式( )10f x在1,14上恒成立，求b的取值范围解： 12( )1afxx当0a时，显然( )0 (0)fxx这时( )f x

13、在(,0)，(0,)上内是增函数当0a时，令( )0fx，解得xa当x变化时，( )fx，( )fx的变化情况如下表：( )fx在(,)a，(),a内是增函数，在(,0)a，(0,)内是减函数 2法一：化归为最值由 2知，( )f x在1,14上的最大值为1()4f与(1)f的较大者，对于任意的1,22a，不等式0(1)f x在1,14上恒成立，当且仅当10(11(4)10)ff，即39449abab，对1,22a成立从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4法二：变量别离( )10f x，10()abxx，即min10()abxx令( )10()ag xxx，222( )10axag x

14、xx，( )g x在1,14上递减，( )g x最小值为139397()4424444ga，从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4或用2(10)axb x，即2(10)2xb x，进一步别离变量得210()bxx，利用导数可以得到210()xx在14x时取得最小值74，从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4法三：变更主元x(,)aa(,0)a(0,)aa(),a( )fx0 0( )f x极大值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒

15、之功，始得一鸣惊人。7 ( )10f x在1,14上恒成立，即10axbx，( )100aaxbx，1,14x，( )a在1,22递增，即( )a的最大值为2(2)100 xbx以下同上法说明：此题是在对于任意的 2,2a，( )1f x在 1,1上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立四、强化练习A1、已知函数239( )()(24f xxx）对任意mxfxfxx|)()(|,0, 1,2121不等式恒成立，试求 m 的取值范围。五、训练辅导双参数中的范围均未知型：【例题 7】 10 湖南理已知函数2( ) ( ,)f xxbxc b cR，对

16、任意的xR，恒有( )( )fxf x1证明：当0 x时，2( )()f xxc；2假设对满足题设条件的任意b，c，不等式22( )( )()f cf bM cb恒成立，求M的最小值解： 1易知( )2fxxb由题设，对任意的xR，22xbxbxc，即2(2)0 xbxcb恒成立，2(2)4()0bcb，从而214bc于是1c，且2214bc|b，因此2()0cbccb故当0 x时，有2()( )(2)(1)0 xcfxcb xc c，即当0 x时，2( )()f xxc 2由 1知，c|b当c|b时，有2222222( )( )2f cf bcbbcbcbMcbcbbc令btc， 则11t，

17、2121cbbct 而函数1( )2( 11)1g ttt的值域是3(,)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。8 因此，当c|b时，M的取值集合为3,)2当c|b时，由 1知，2b，2c此时( )( )8f cf b或0，220cb从而223( )( )()2f cf bcb恒成立综上所述，M的最小值为32【针对练习8】假设32( )xf xa图象上斜率为3 的两切线间的距离为2 105，设223( )( )3bxg xf xa1

18、假设函数)(xg在1x处有极值，求( )g x的解析式；2假设函数)(xg在区间 1,1上为增函数， 且24( )bmbg x在区间 1,1上都成立， 求实数m的取值范围解：六、家庭作业布置：家长签字： _ 请您先检查确认孩子的作业完成后再签字附件：堂堂清落地训练坚持堂堂清，学习很爽心1.双参数中的绝对值存在型：1 设3x是函数23( )() ()xfxxaxb exR的一个极值点1求a与b的关系式用a表示b ，并求( )f x的单调区间；2设0a，225( )()4xg xae假设存在1，20,4使得12|()()|fg1成立，求a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - -

19、名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页既然选择了远方，就必须风雨兼程！摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。9 解： 123( )(2)xfxxaxba e，由(3)0f，得23 33(2)30aba e，即得32ba，则233( )(2)33 (3)(1)xxfxxaxa exxae令( )0fx，得13x或21xa，由于3x是极值点，12xx，即4a当4a时，213xx，则在区间(,3)上，( )0fx，( )f x为减函数；在区间(3,1)a上，( )0fx，( )f x为增函数；在区间(1,)a上，( )0fx，( )f x为减函数当4a时，2

20、13xx，则在区间(,1)a上，( )0fx，( )f x为减函数；在区间(1,3)a上，( )0fx，( )f x为增函数；在区间(3,)上，( )0fx，( )f x为减函数 2由 1知，当0a时，10a，( )f x在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么( )f x在区间0,4上的值域是min(0),(4),(3)fff，而3(0)(23)0fae，1(4)(213)0fae，(3)6fa，那么( )f x在区间0,4上的值域是3 (23),6ae a又225( )()4xg xae在区间0,4上是增函数，且它在区间0,4上的值域是2242525,()44aae，由于2222511()(6)()0442aaaaa，只须仅须225()(6)14aa且0a，解得302a故a的取值范围是3(0,)22 已知函数2( )(1)ln1f xaxax1讨论函数)(xf的单调性；2设1a，如果对任意1x，2(0,)x，1212|()()4|f xfxxx，求a的取值范围解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页