2022年高数教案第二章极限与连续 .pdf

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1、名师精编优秀教案第一章极限与连续第一节 数列的极限教学目的： 理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义教学形式： 多媒体教室里的课堂讲授教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课半径为 R的圆的面积公式？2AR但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的. 看电视 http:/ 年 295 年）创造了“割圆术” ，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓 “ 径一周三 ” 。九章算术中就采用了这个数据。与刘徽类似的是，古希腊的阿

2、基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。二、新授课1、一个实验说明的事实对于一个半径为R的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为1A；再作圆内接正十二边形，记其面积为2A，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积,321nAAAA构成一列有次序的数, 其中内接正126n边形的面积记为)(ZnAn。练习题 1。求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积S；内接正 n 边形

3、的面积ns。答案：23 34sR212sin2nsnRn练习题 2。求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n 边形的而积ns；答案：23 3sR2tannsnRn如果内接正n 边表的面积为nA，圆的面积为A，外接正n 边形的面积为ns，则有nnAAs精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页名师精编优秀教案在几何直观上, 当 n 越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，, 即圆与正多边形的面积nA（ns）之差就越小 , 因此以nA（ns）作为圆面积的近似值就越精确. 但无论内接正多边形的边数有多大,所计算的nA（ns

4、） 始终不是圆的面积. 于是设想 , 如果 n 无限增大 ( 记为n，读作 n 趋于无穷大 ) 时,nA（ns）无限接近 某 个 确 定 的 数 。 在 数 学 上 称 这 个 确 定 数 是 上 面 给 出 的 一 列 有 次 序 的 数 ( 即 数列),21nAAA， （12,rnS SSS）当n时的极限。在圆面积问题的讨论中 , 大家看到 , 正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果, 也可以说 , 解决圆面积所采用的方法就是极限方法。2、数列与函数的关系按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为nx ，其中第 n 项做nx叫数列的一般项。123,: x ,.,.nnxxxx数列的例子

5、：;,)1(,32,23,0:) 1(;,) 1( , 1, 1 , 1, 1 , 1:) 1(;,21,81,41,21:21;,2, 8, 4, 2:2;,1,43,32,21:1nnnnnnnnnnnnnnnn它们的一般项依次为1( 1),2 ,( 1) ,.12nnnnnnnn数列 nx 可以看作自变量为自然数n 的函数)(nfxn它的定义域是全体正整数。3、数列的几何意义从一维角度考察，数列 nx 可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点123,nxxxx然而，从二维角度考察，数列 nx 可以看作XOY面上的点集（n，nx），在 XOY平面上数列 nx 表现为一个散点图。精选学习

6、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页名师精编优秀教案4、数列的散点图在 XOY平面上画出如下数列的散点图：（1）1nn；（2）2n（3）21n（4） n) 1( （5）)1(nnn（6） sin n 输出图形如（图21）至图（ 26）所示。204060801000.920.940.960.98234567850100150200250（图 2 1 数列）1nn（ 图 22 ） 数列2n23456780.10.20.30.40.51020304050-1-0.50.51（ 图 23 数列）21n（ 图 24 ）数列 n) 1(

7、 10203040500.80.91.11.21020304050-1-0.50.51（ 图 25）数列) 1(nnn的图形（图 26） 数列sin n由（图 21）至图（ 2 6）可以看出，随着n 的增大，1nn越来越趋向于1；n2越精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页名师精编优秀教案来越大；n21越来越趋向于0；与之间变动；nnn)1(越来越趋向于；sin n 在与之间变动5、 数列极限的直观定义对于数列 nx ，如果当无限增大时，数列的一般项nx无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 nx的极限，或称数列

8、nx 收敛于，记为axnnlim如果数列没有极限，称数列是发散的，例如，limn1nn，limnn21，limnnnn) 1(而2n， n) 1( ， sin n 是发散的三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21 习题 21 1。选择题（ 1） ， （2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页名师精编优秀教案第一章极限与连续第二节 数列的极限教学目的： 掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。教学重点、难点：用定义证明数列的极限教学形式： 讲授法教学时间： 90 分钟教学过程一、引

9、入新课数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列)1(nnn是有极限的，它的图象如下：ListPlotTable（n+,/)1(nnn，1，50 10203040500.80.91.11.2图 2-5 对于数列 nx ，如果当无限增大时，数列的一般项nx无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 nx的极限，或称数列 nx 收敛于，记为axnnlim如果数列没有极限，称数列是发散的。二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列 nx 及常数 a， 如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数N， 当nN时，不等式nxa恒成立， 则称常数a 为数列 nx的极限， 或称数列 nx收敛于 a，记作axnnli

10、m或()nxa n，如果这样的常数a 不存在，就说数列没有极限，或称数列发散。在直角平面坐标系OXY的 Y轴上取以为a 为中心，为半径的一个开区间(,)aa，称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页名师精编优秀教案它为 a 的邻域，记为O（a，） ：O（a，）=x axa “当nN时，不等式成立nxa”表示数列中从N+1 项起的所有项都落花流水在点 a 的邻域，即( , ),nxanN。由于具有任意性，也就是说邻域O （ a，）的长度中（如图2-5 ）上下两条横线的距离可以任意收缩。 但不管收缩得多么小，数列一定会从某

11、一项起全部落在由这两条线界定的范围中，不难理解，a 必为这个数列的极限值。要注意在述的收剑定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有对确定的，才能找到相应的自然数N。问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它。给定，由，只要时，有，给定，只要时，有，给定，只要时，有，给定，只要时，有成立例 1 证明：21lim2nnn证对于任意给定的0，要使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页名师精编优秀教案21122nnxnn只要1n，取正整数1N，则当nN时，2nx恒成立，故21(1,2,.)nnxnn以 2 为极限，即2

12、1lim2nnn。例中证明方法叫做解析法，也称倒推法，这是证明极限问题经常采用的方法。证明过程中，倒推语句“要使” ， “只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系。在收敛的数列中，我们称极限为0 的数列为无穷小量，例如1n，2( 1)1nn都是无穷小量。要注意，无穷小量是一个变量，而不是一个“非常小的量”（如100010） 。常数列0，0，0， 0，是一个特殊的无穷小量。从极限的定义可知，一个数列 nx 收敛与否， 收敛于哪个数， 与这一数列的前面有限项列关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。例如数列10，100，1000，10000，1 11,5 6n的极限仍然是0。根据

13、数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的0寻找自然数N。在上面的例题中，是通过解不等式nxa而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。 实际上， 数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，所以在证明中常常对nxa适度地做一此放大处理，这是一种常用的技巧。例 2 求证：221lim27nnnn=12证明 首先我们有2211722722 (27)nnnnnn显然当6n时272842 (27)2nnnnnn于是，对任意给定的0，取4max6,N，当nN时，成立22114272nnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 7 页，共 32 页名师精编优秀教案上述不等式的放大，是在条件“6n”前提下才成立，所以在取N 时，必须要求4N与6N同时成立。2. 收敛数列的性质性质极限的唯一性。数列 nx不能收敛于两个不同的极限。对于数列 nx，如果存在实数M ，使数列的所有的项都满足nxM，n=1，2，则称 M 是数列 nx 的上界， 如果存在实数m ，使数列 nx的所有的项都满足nmx，n=1，2，3，则称m 是数列 nx的下界。一个数列 nx，若既有上界又有下界，则称之为有界数列，显然数列 nx有界的一个等价定义是：存在正实数X，使数列的所有项都满足nxX，n= n=1，2，3，性质收敛数列的有界性。如果数列

15、 nx收敛，那么数列 nx 一定有界。性质收敛数列的保号性。如果数列 nx收敛于，且（ a 0） ，那么当 n 充分大时，有nx0（或nx0） 。性质 4夹逼准则如果说数列 nx 收敛于 a ，数列 nz 收敛于 a ，且nxnynz（当 n 充分大时），则数列 ny 收敛于 a。例子 求数列 1nn的极限。解首先我们有1nn=(1)(1)1nnnnnn=11nn取0nx，1nynn，1nzn，则有nnnxyz由1n是无穷小量，且有limlim0nnnnxz，利用极限的夹逼性，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页

16、名师精编优秀教案lim(1)0nnn因此，对数列极限概念应该形成这样一些正确认识：(1) 数列极限是对于无穷数列而言的，但无穷数列不一定都有极限；(2) 如果说一个无穷数列有极限，则这个极限一定是一个常数； (3) 如果说无穷数列 nx以 a 为极限，则从数轴上看， 对于任意开区间 （a),a，0 ，都能找到某一项nx，使得在这一项之后的所有项都落在这个开区间内，即这个开区间之外最多只能有有限项。三、本节小结：数列极限的精确定义四、课外作业：P21 习题 2-1 （3）下列数列收敛于1的有（） ；A112n B1(1) (1)nnC21,221,2nnnnnnxn为奇数为偶数 D1 2 3 4

17、 5,2 3 4 5 61nn（ 4）下列数列收敛于0的有（） ；A0,1,2nnnxn为奇数为偶数 B1 1 1 1 1111,3 2 4 3 52n nC11 11 111,(1),23 45 6nn D1 1 111,3 5 721n（ 5 ） 若 数 列nx与 数 列ny的 极 限 分 别 为a与b， 且ab， 则 数 列112233,x y xyxy的极限为（） 。Aa BbCab D不存在2在xy平面上画出如下数列的散点图，并指出极限：121(1) (1)21nnnxn；1(2) sinnxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

18、第 9 页，共 32 页名师精编优秀教案第一章极限与连续第三节 函数的极限教学目的： 理解函数的极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算教学重点、难点：极限的四则运算教学形式： 多媒体教室讲授与演示教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课1.数列与函数的关系。2.数列极限的定义和几何判断二、新授课一函数极限的定义 1 当 x 时，函数)(xf的级限（1）当 x +时，函数)(xf的极限如果当 x 取正值，并且无限增大时，函数)(xf无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数 a 是函数)(xf当 x +时的极限，或称当 x +时，函数)(xf收敛于 a 。记为xlim)(xf =

19、a 例如，由图27 可以看出xlim112322xxx =3 输入 f x ： = （x32 2x 1 ）/ （x2 1 ） Plot f x，x ，2，300 输出图形，如图27 所示。由图 28 可以看出：xlimsin x 不存在输入 PlotSinx，x ， 1，100 输出图形，如图28 所示。501001502002503002.42.52.62.72.82.9-10102030405060-1-0.50.51精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页名师精编优秀教案（2）当 x 时，函数)(xf的级限如果当

20、 x 取负值， 并且绝对值无限增大时，函数)(xf无限地接近于某一确定的常数a。则称常数a 是函数)(xf当 x -时的极限，或称当x -时，函数)(xf收敛于a。记为xlim)(xf = a 例如，由（图29）可以看出：xlimx2 = 0 输入 Plot2x，x ，-15 ，2 输出图形，如图2 9 所示。-15-12.5-10-7.5-5-2.50.20.40.60.811.21.4-200-150-100-50-0.0006-0.0004-0.00020.00020.00040.0006（图 2-9 ）（ 图 210）由图 210 可以看出：xlim2sinxx = 0 输入 Plot

21、Sinx/ x2，x ，-200 ，1 输出图形，如图2 10 所示。（3）当x时，函数)(xf的级限如果当 x 的绝对值无限增大时，函数)(xf无限地接近于某一确定的常数a，则称常数a 是 函 数)(xf当x时 的 极 限 ， 或 称 当x时 ， 函 数)(xf收 敛 于a 。 记 为xlim)(xf = a 例如，由图211 可以看出：xlim52122xx = 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页名师精编优秀教案输入 Plot（x2 1 / 2x2 + 5 ） ，x ，-20 ，20 输出图形，如图2 1

22、1 所示。-20-101020-0.2-0.10.10.20.30.40.5-100-5050100-0.002-0.0010.0010.002（ 图 2 11 ）（ 图 212）由图 212 可以看出：xlim2sinxx =0 输入 PlotSinx/ x2，x ，-100 ， 100 输出图形，如图2 12 所示。注意xlim)(xf = a 充分必要条件是xlim)(xf = a 且xlim)(xf = a 。例如，由xlimx2 = 0 ，xlimx2 = +，可知xlimx2不存在。2.当 x0 x时，函数)(xf的级限（1） 当 x0 x时，函数)(xf的级限如果说当x 从0 x

23、的右侧无限地接近0 x时，函数)(xf无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数 a 是函数)(xf当 x0 x时的右极限，或称函数)(xf从0 x的右侧收敛于a 。记为0limxx)(xf = a （2）当 x0 x时，函数)(xf的极限如果当 x 从0 x的左侧无限地接近0 x时，函数)(xf无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a 是函数)(xf当 x0 x时的左极限，或称函数)(xf从0 x的左侧收敛于a 。记为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页名师精编优秀教案0limxx)(xf = a 例如，)(xf

24、 = 2 , x13 , x13 , x1xx由图2 13 可发看出, 1limx)(xf = 2 , 1limx)(xf = 3 , 1limx)(xf1limx)(xf，所以1limx)(xf不存在；（2） 函数)(xf在0 x点是否有极限， 与在点0 x是否有定义是没有关系的，只要函数)(xf在点0 x的某一去心邻域内有定义就可以了；（3）x 是由两边同时趋向于0 x的，但与具体的运动方式是没有关系的。说明点0 x的邻域，是指与点0 x的距离小于（ 0）的点集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页名师精编优秀教

25、案x x - 0 x 。点0 x的去心邻域，是指与点0 x的距离小于（0） ，且去掉点0 x的点集x x - 0 x 。第一章极限与连续第四节函数的极限教学目的： 掌握函数极限的运算法则教学重点、难点：应用法则求函数的极限。教学形式： 讲授法和演练法。教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课函数的极限概念二、新授课二 函数极限的性质性质 1极限的唯一性。函数y= )(xf在同一个点不能有两个不同的极限，即若0limxx)(xf= A，且0limxx)(xf= B，则 A = B 。性质 2局部有界性。函数在存在极限的点的附近局部有界，即若0limxx)(xf= A，则存在0 x的某一去心邻域

26、，使得函数)(xf在这个去心邻域内有界。性质 3保号性（）已知函数极限的符号，函数的局部保号性；若0limxx)(xf= A 0 （ 0） ，则存在0 x的某一去心邻域，在这个去心邻域内)(xf0 （0） ；（）已知函数局部的符号，极限的保号性；若0limxx)(xf= A，且在0 x的某一去心邻域内有)(xf0 （ 0） ，则 A 0 （ 0 ） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页名师精编优秀教案性质 4 夹逼准则如果0limxx)(xf = a ，0limxx)(xg = a ，且在0 x的某一去心邻域内有

27、)(xf)(xh)(xg，则0limxx)(xh= a 。三 函数极限的基本运算1. 一些基本的极限（）基本初等函数的极限根据基本初等函数的图形，可以得到一些基本的极限例如xlimlogax（ a 1）0limxlogax（a 1）（2）初等函数的极限。命题如果)(xf是初等函数，0 x是)(xf的定义域内的点， 那么0limxx)(xf= )(0 xf。这一命题将在讨论函数的连续性时再作介绍。2. 函数极限的四则运算 (1) 加减法则：如果lim)(xf= a ，lim)(xg = b ，那么lim（)(xf)(xg）=lim)(xflim)(xg= a b 。(2) 乘法法则：如果lim)

28、(xf= a ，lim)(xg = b ，那么lim)(xf)(xg=lim)(xflim)(xg = a b (3) 除法法则如果lim)(xf= a ，lim)(xg = b （b0） ，那么lim)()(xgxf = )(lim)(limxgxf = ba3. 复合函数的极限运算如果)(xf、)(xg是初等函数，lim)(xg= a ，)(xf在 x = a的一个邻域内有定义，那么lim)(xgf = )(limxgf = )(af例 1 计算下列极限：（1）1limx)2(2xx（2）1limx23222xxxx（3）xlim2232322xxxx（4）xlimmmmnnnbxbxba

29、xaxa110110精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页名师精编优秀教案（5）1limx31311xx（6）limn1312nn解（1）1limx)2(2xx = 1limx2x+ 1limxx1limx2 = 1 + 1 2 = 0 （2）1limx23222xxxx = 1limx)2)(1()3)(1(xxxx = 1limx23xx = 34（3）xlim2232322xxxx = xlim3232213232xxxxx = 3232213232limlimxxxxxxx = 0 （4）利用第（ 3）题的类

30、似方法可以得到xlimmmmnnnbxbxbaxaxa110110 = 00,0,mnamnbmn（5）1limx31311xx = 1limx32131xxx= 1limx11212xxxxx = 1limx122xxx = 1（6）limn1312nn = limn2133113nnn = 10 =0三、本节小结：函数极限的概念和运算。四、课外作业：课堂练习： P30习题 22 1。 （1）（8）2并作图来验证。3依次做。第一章极限与连续第五节两个重要极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页名师精编优秀教案教学

31、目的： 会用两个重要极限求极限，了解无穷小与无穷大教学重点、难点：应用两个重要极限求函数的极限。教学形式： 课堂讲授。教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课二、新授课证明（ 1）xlimxx11 = e 例 2 求极限：xlimxx21解xlimxx21 = xlim22211xx = 22211limxxx211limttxxt令 = 2e例 3 求极限：1lim 1xxx解11221111lim1lim1lim 1lim 1xxxtxxxxtxexxxt令例 4 求极限：0limx11xx解：110011lim 1lim 11xxxxxtxx令1lim 1txet因此，极限1lim 1

32、xxex的另一种极限形式是10lim 1xxxe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页名师精编优秀教案（2）0limxsin xx= 1 例 5 求极限：0limxsinx解000sinsinsinlimlimlimxxtxttxxxt令例 6 求极限0limxtan xx解：0000tansin1sin1limlimlimlim1coscosxxxxxxxxxxxx例 7 求极限：1limsinxxx解11sin1limsinlimxxxxxx1xt令0sinlim1xtt三、本节小结：两个重要极限，无穷小与无穷大

33、之间的关系。四、课外作业：P33习题 23 1，2 两大题。1 第一章极限与连续第六节 函数的连续性教学目的： 理解函数连续概念，会判断间断点类型。了解初等函数的连续性。教学重点、难点：函数的连续性与判断间断点。教学形式： 课堂讲授法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页名师精编优秀教案教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课函数图形的类型：点，线段，射线、直线和曲线。二、新授课一、)(xf在点0 x 的连续1)(xf在点0 x的连续函数连续与否的概念于对函数图象的直观分析。例如，函数y=)(xf=2x的图象是一条

34、抛物线，图象上各点相互“连结”而不出现“问题”，构成了曲线“连续”的外观。而符号函数sgnyx的图象也直观地告诉我们，它的“连续性”在0 x处遭到破坏，也就是说在这一点出现了“间断”。用分析的观点来看，函数y=)(xf在某点0 x处是否具有“连续”特性，就是指当x在0 x点附近作微小变化时，)(xf是否也在)(0 xf附近作微小变化。借助于己经学过的函数极限的工具，就是看当自变量x趋于0 x（0 xx） 时， 因变量 y 是否趋于)(0 xf（0()yf x） 。设函数)(xf在点0 x的某邻域有定义，若0limxx)(xf=)(0 xf，则称)(xf在点0 x处连续。若)(xf在点0 x处不

35、连续，则)(xf在点0 x处间断，称0 x为)(xf的间断点。根据连续的定义，)(xf在点0 x处连续，必须满足：（1）)(xf在点0 x处有定义，即)(0 xf有意义；（2）0limxx)(xf存在，即0limxx)(xf = 0limxx)(xf（3）极限值等于函数值，即0limxx)(xf=)(0 xf。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页名师精编优秀教案 2、单侧连续若函数在内有定义，且，则称在点处左连续。若函数在内有定义，且，则称在点处右连续。定理。例 2。解，右连续但不左连续，故函数在点处不连续。二、间

36、断点的类型按)(xf在点0 x处的左、 右极限是否存在，可以将间断点分为第一类间断点和第二类间断点。1 第一类间断点：左极限、右极限都存在。如果说左极限 右极限，则称0 x为跳跃间断点；如果左极限 = 右极限，则称0 x为可去间断点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页名师精编优秀教案可去间断点又可以分为两种：第一种， 左极限 = 右极限，但是)(xf点0 x处没有定义；第二种，左极限 = 右极限函数值。跳跃间断点如果在点处左，右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点。例 4。解，可去间断点如果在点处的极限都存在

37、，但，或在点处无定义则称点为函数的可去间断点。例 5讨论函数。解，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页名师精编优秀教案注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，则可使其变为连续点。如例 5 中，跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。特点：。2 第二类间断点：如果在点处的左、 右极限至少有一个不存在，则称点为函数的第二类间断点。每二类间断点又可以分：无穷间断点、振荡间断点等到等到。例 6。解，。例 7。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共

38、 32 页名师精编优秀教案解，注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点。 1.狄利克雷函数在定义域R 内每一点处都间断，且都是第二类间断点。仅在 x=0 处连续，其余各点处处间断。 2.在定义域R 内每一点处都间断，但其绝对值处处连续。判断下列间断点类型：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页名师精编优秀教案例 8。解，。例如X = 0 是)(xg = 1,02,02,0 xexxxx当时当时当时；可去间断点只要在 X = 0 处重新定义函数值，使得函数值 = 左极限 = 右极限 = 2 ，则1,0( )2,02,0

39、 xexh xxxx当时当时当时就是一个连续函数。例如： X = 1 是)(xf = 11x的无穷点，如图2 15 所示。X = 0 是)(xf = 1sinx的振荡间断点，如图216 所示。0.511.52-100-5050100-0.4-0.20.20.4-1-0.50.51图 2-15 图 2-16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页名师精编优秀教案三、本节小结：1三、小结 1、函数在一点连续必须满足的三个条件； 2、区间上的连续函数； 3、间断点的分类与判别； (见下图 ) 四、课外作业：思考题若在连续，

40、则、在是否连续？又若、在、连续，在是否连续？思考题解答在连续，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页名师精编优秀教案故、在都连续。但反之不成立。例在不连续，但、在连续。第一章极限与连续第七节 函数的连续性教学目的： 函数连续性，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质教学重点、难点：连续函数的性质应用教学形式： 课堂讲授教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课1判断函数连续性的方法：（）寻找使函数)(xf没有定义的点0 x，如果有没有定义的点0 x，则0 x一定为间断点；（）寻找使lim)(xf不存在的点0 x，分段

41、函数间断点通常发生于分段点处；（）寻找使用0limxx)(xf)(xf的点0 x。例 1 判断函数1121,0;( )211,0 xxxf xx当时当时在0 x处的连续性。解1:(2 (1/)1) /(2 (1/)1),0,1112:2 (1/)1)/(2 (1/)1),0,121InLimitxxxDirectionOutInLimitxxxDirectionOut精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页名师精编优秀教案因为左极限、右极限不相等，所以( )f x在点0 x处间断。2( )fx在区间上连续的几何意义如果

42、( )f x在某区间上连续，则在该区间上函数( )fx的曲线是一条不间断连续曲线。二、新授课三、)(xf在区间上的连续性1、区间上的连续函数如果函数)(xf在某区间上的每一点都连续，则称)(xf为该区间上的连续函数，该区间称为函数)(xf的连续区间。定理一初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即初等函数是其定义区间上的连续函数。这个定理是求初等到函数极限的重要依据，我们在前面计算极限时已经用到了这个定理。即：若函数在点处连续，则在点处也连续。例如，定理二严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。例如，故在上也是单调增加且连续。同理在上单调减少且连续；在上单调且连续。反三角函数在其定义域内皆连

43、续。定理三若，函数在点连续，则有。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页名师精编优秀教案证恒有成立。将上两步合起来：成立。意义 1.极限符号可以与函数符号互换； 2.变量化换的理论依据。例 1求解例 2求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页名师精编优秀教案解同理可得定理四设函数在点连续，且，而函数在点连续，则复合函数在点也连续。注意定理 4 是定理 3 的特殊情况。例如，定理 5基本初等函数在定义域内是连续的。定理 6一切初等函数在其定义

44、区间内都是连续的。定义区间是指包含在定义域内的区间。注意1.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续；例如，这些孤立点的邻域内没有定义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页名师精编优秀教案在 0点的邻域内没有定义。注意2.初等函数求极限的方法代入法。例 3求解例 4求解3闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数有以下重要性质，这些性质在后面的讨论中经常会用到，故应该结合图形细心体会和应用这些性质。注意，若把闭区间换成开区间，则结论就不一定成立了。性质 1 有界性定理若函数( )f x在a ，b 连续，则在

45、 a ，b 上有界。这个定理的几何意义是：( )f x的图形位于与x 轴平行的两面三刀直线y = N 和 y = N之间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页名师精编优秀教案性质 2 最大值和最小值定理若函数( )f x在闭区间 a ，b 上连续，则函数( )f x在a ，b 上必能取得最大值M和最小值 m ，也就是说，对一切x a ，b ，成立 m ( )f x M 。对最大值最小值定理应就意以下两点： 如果函数不是在闭区间而是在开区间上连续，定理的结束论不一定正确。例如， 考虑在开区间（ a，b）上2yx，它在

46、（ a，b）上，既无最大值，也无最小值； 如果函数在闭区间上有间数据点，定理的结论不一定正确，例如，函数1,01;( )1,1;3,12xxf xxxx当时当时当时定义在闭区间 0 ，2 上， x=1 是它的间断点，该函数在0 ，2 上既取不到最大值，也取不到最小值。性质 3 中间值定理（介值定理）若函数( )f x在闭区间 a ，b 上连续， 则它在 a ，b 上一定能取到最大值M和最小值m之间的任何一个中间值C，即存在 , pxa b，使().pf xC性质 4 零点存在定理（根的存在定理）若函数( )fx在闭区间a ，b 上连续，且( )( )0,f af b则一定存在( )fx的零点0

47、( , )xa b，使0()0f x。因为( )f x在区间 a ，b 端点 x = a和 x = b 的值异号，曲线( )yf x上对应于区间端占A、B分布在 x 轴的上、下两侧，由中间值定理，必有0( , )xa b，使0()0f x。三、本节小结：连续函数的和差积商的连续性。反函数的连续性。复合函数的连续性。两个定理；两点意义。 初等函数的连续性。定义区间与定义域的区别；求极限的又一种方法。四、课外作业：1思考题设，试研究复合函数与的连续性。思考题解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页名师精编优秀教案在上处处连续在上处处连续是它的可去间断点2课外作业：习题 2 4 2在下列函数中，适当补充(0)f的定义，使( )f x在0 x处连续。（1）11( ),0 xxf xxx（ 2）1( )sincos,0f xxxx 3函数2sin2,0( )32,0 xxf xxxxk x，问常数k为何值时，函数( )f x在其定义域内连续？ 5证明：三次代数方程32410 xx在开区间(0,1)内至少有一个根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页