2022年高等数学试卷_含答案_下册 .pdf

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1、高等数学 II 试题一、填空题（每小题3 分，共计 15 分）1设( ,)zf x y由方程xzxyyze确定，则zx。2函数232uxyzxyz在点0(0, 1, 2)P沿方向l的方向导数最大。3L为圆周224xy，计算对弧长的曲线积分Ldsyx22= 。4已知曲线23,xt ytzt上点P处的切线平行于平面22xyz，则点P的坐标为或。5 设( )f x是 周 期 为2 的 周 期 函 数 ， 它 在 区 间( 1, 1的 定 义 为210( )01xf xxx，则( )fx的傅里叶级数在1x收敛于。二、解答下列各题（每小题7 分，共 35 分）1设),(yxf连续，交换二次积分21201

2、1( , )xxIdxf x y dy的积分顺序。2计算二重积分22Dxy dxdy，其中D是由y轴及圆周22(1)1xy所围成的在第一象限内的区域。3设是由球面221zxy与锥面22zxy围成的区域，试将三重积分222()If xyz dxdydz化为球坐标系下的三次积分。4设曲线积分( )( )xLfxeydxf x dy与路径无关，其中( )f x具有一阶连续导数，且(0)1f，求( )f x。5求微分方程2xyyye的通解。三 、 (10分 )计 算 曲 面 积 分2y dzdxzdxdy， 其 中 是 球 面2224 (0 )xyzz的上侧。四、(10 分)计算三重积分()xyz d

3、xdydz，其中由22zxy与1z围成的区域。五、(10 分)求221zxy在1yx下的极值。六、(10 分)求有抛物面221zxy与平面0z所围立体的表面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页七、(10 分)求幂级数113nnnxn的收敛区间与和函数。高等数学 II 试题解答一、填空题（每小题3 分，共计 15 分）1设( ,)zf x y由方程xzxyyze确定，则zxxzxzxeyzey。2 函 数232uxyzxyz在 点0( 0 ,1 ,2 )P沿 方 向l(4,0,-12) 的方向导数最大。3L为圆周22

4、4xy，计算对弧长的曲线积分Ldsyx22=8。4已知曲线23,xt ytzt上点P处的切线平行于平面22xyz，则点P的坐标为( 1,1, 1)或1 11(,)3 927。5 设( )f x是 周 期 为2 的 周 期 函 数 ， 它 在 区 间( 1, 1的 定 义 为210( )01xf xxx，则( )fx的傅里叶级数在1x收敛于32。二、解答下列各题（每小题7 分，共 35 分）6设),(yxf连续，交换二次积分212011( , )xxIdxf x y dy的积分顺序。解：221201111 (1)220010( ,)( , )( ,)xxyyIdxf x y dydyf x y

5、dxdyf x y dx7计算二重积分22Dxy dxdy，其中D是由y轴及圆周22(1)1xy所围成的在第一象限内的区域。解：2sin222200169Dxy dxdydr dr8设是由球面221zxy与锥面22zxy围成的区域，试将三重积分222()If xyz dxdydz化为球坐标系下的三次积分。解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页drrrfdddxdydzzyxfI40102220222sin9设曲线积分( )( )xLfxeydxf x dy与路径无关，其中( )f x具有一阶连续导数，且(0)1f，求

6、( )f x。解：( )xPf xey，( )Qf x。由 ( )( )xLf xe ydxf x dy与路径无关，得xyQP， 即()()0 xfxfxe。 解 微 分 方 程xyye， 得 其 通 解12xxycee。又(0)1f，得21c。故xxeexf2121)(10求微分方程2xyyye的通解。解：20yyy的通解为12()xycc x e。设原方程的一个特解*xyce，代入原方程，得14c。其通解为121()4xxycc x ee三 、 (10分 )计 算 曲 面 积 分2y dzdxzdxdy， 其 中 是 球 面2224(0)xyzz的上侧。解：补上221:0 (4)zxy下侧

7、。11222.2(21)0.3216160.333y dzdxzdxdyy dzdxzdxdyy dzdxzdxdyydxdydzydxdydzdxdydz对称性分分分四、(10 分)计算三重积分()xyz dxdydz，其中由22zxy与1z围成的区域。解：221100().200.83rxyz dxdydzxdxdydzydxdydzzdxdydzzdxdydzdrdrzdz对称性分分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页五、(10 分)求221zxy在1yx下的极值。解：222(1)1222zxxxx令420zx，

8、得12x。40z，12x为极小值点。故221zxy在1yx下的极小值点为1 1(,)2 2，极小值为32。六、(10 分)求有抛物面221zxy与平面0z所围立体的表面积。解：221 (0)zxyz的面积为22221121200144.414.2(5 51).16xySdSxy dxdydrr dr分分分平面0z部分的面积为。故立体的表面积为(5 51)6。七、(10 分)求幂级数113nnnxn的收敛区间与和函数。解： 收敛区间为 3,3)。 设11( )3nnnxs xn，1111( )()333nnnnnnxxxs xnx。故0310)3ln(13ln)(xxxxxxs。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页