2022年高等数学第八章多元函数微分学练习题册 .pdf

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1、立身以立学为先，立学以读书为本第八章多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sinlim.4.)(),(,sin)(,cos)(,),(.3arccos),(.21)1ln(.102222322xxyxxfxxxxyxyxfyxzzyxfyxxyxzayx则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选） ：1. 函数yx sinsin1的所有间断点是: (A) x=y=2n（ n=1,2,3,） ；(B) x=y=n (n=1,2,3,)；(C) x=y=m(m=0, 1， 2， )；(D) x=n,y=m(n=0,1， 2， m=0,1,2,)。答： （）2. 函数0,20,

2、(2sin),(22222222yxyxyxyxyxf在点（ 0，0）处：（ A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续。答： （）三、求.42lim0 xyxyayx四、证明极限2222200)(limyxyxyxyx不存在。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本第 二 节 作 业一、填空题 ：.)1 ,(,arcsin) 1(),(.2.)1 ,0(,0,0),sin(1),(.122xfyxyxyxffxyxxyyxxyyxfxx则设则设二、选择题（单选） ：.42)

3、(;)(2)(; 4ln2)()(; 4ln2)(:,2222222yxyxyxyyxyDeyxyCyyxByAzz等于则设答： （）三、试解下列各题：.,arctan.2.,tanln.12yxzxyzyzxzyxz求设求设四、验证.2222222222rzryrxrzyxr满足第 三 节 作 业一、填空题 ：.,.2.2. 0, 1 .0, 1,2.1dzezdzzyxyxxyzxy则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选） ：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P0（ x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件。

4、答： （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本2. f(x,y) 在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是 f(x,y) 在该点连续的：（A）充分必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充分非必要条件；（ D）既非充分亦非必要条件。答： （）三、试解下列各题：.,arccos.4.2, 1)1ln(.3.,.2.,.12222dzyxxzyxyxzduxudzyxxyzyz求设时的全微分当求函数求设求设四、证明：xyxf) ,(在点（ 0,0）处的偏导数存在

5、，但在点(0,0)处不可微。第 四 节 作 业一、填空题 ：.,sin,.132dtdztytxezyx则而设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本.,),(.3.,23,ln.22dzfyxyxfzxzyxvyxuvuz则可微设则而设二、选择题（单选） ：).ln()(2)();ln()()(2)(;)(2)();ln()()( 2)(:,)(.11122yxyxDyxyxyxCyxzByxyxyxyxzAuuyxzyxuzzzzzyxz等于则而设答： （）.3ln)( 3)( )();

6、( 3ln3)(; 3ln)( 3)(;3ln)( 3)(:,)(,3.2yyfxzyfzDyyfxCyyfxByxfyAdydzfyfxzxyyxxyxyxyxy等于则可导且而设答： （）.)(;)(;)(;)(,),(.32221222212221212121122xzfxffDxzfxfCxzfxfxfBxfzfxffAzxxzyxfu则有二阶连续偏导数设答： （）三、试解下列各题：1.设.,),arctan(dxdzeyxyzx求而2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数） ：).,()2().,()1(22xyzxyxfueyxfuxy精选学习资料 - - - - -

7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本3. .,),(2yxzfyxxfx求具有二阶连续偏导数设4. 设 z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy, 其中 f 具有连续偏导数，求全微分dz。.0:,),(.522yzxxzyvuuvyuxfyxfz量交换方程为新的自变试以而具有连续的一阶偏导数且设四、设.11:,)(,)(222yzyzyxzxufyxfyz验证为可导函数其中第 五 节 作 业一、填空题 ：1. .,arctanln22dxdyxyyx则设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

8、 - - - - - - -第 5 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本.,),(),(.5.)1, 0, 1(),(2.4.,0arctan),(.3.,010442),(.22222222uxxuvyyvuxvuyvuxxdzyxzzzyxxyzyxzyyxzyxzzxzzyxzyxyxzz则所确定由方程组和设函数处的全微分在点所确定的函数由方程则所确定由方程设则所确定由方程设二、选择题（单选） ：.)1 ()1()(;1)(;)1()(;)1 ()1()(:,),(.1yxxzyDyyzCyxyByxxyAxyexyzzxyyyx是则所确定由方程函数答： （）.0)(; 1)(

9、;21)(;21)(,cos,tan,.20DCBAdtdztytxeezyxtxx则已知答： （）三、试解下列各题：.,3.2.,ln.1233yxzaxyzzyzxzyzzx求设及求设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本3. 设.,sin,cosyzxzuvzveyvexuu和试求四、设 (u,v)具有连续偏导数，证明由方程（cx-az,cy-bz） =0 所确定的函数z=f(x,y) 满足. cyzbxza第 六 节 作 业一、填空题：.),(),()()(,(),(.2.sin0

10、2,sin,cos.1000程是处的切线方上点皆可微和其中曲线轴夹角的正弦点处的切线与在相应于曲线zyxyxgxfyxgzxfyoztezteytexttt二、选择题（单选） ：.32)(;3)(;43)(;4)(:,)1 , 1 ,2(02.1DCBAoyozzyxxyz轴正向所夹角为则此切向量与轴正向成锐角点处的一个切向量与上曲线答： （）. 93)(; 33)(; 73)(; 53)(:)2, 2, 1(12.232zyxDzyxCzyxBzyxAzxy处的切平面方程是上点曲面答： （）3. 曲线 2x=y2,z=x2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x 值等于：

11、.2)(;31)(;21)(; 1)(DCBA答： （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本三、试解下列各题：.)5,4,3(50.3.0212.2.)22, 1 , 12(2sin4,cos1,sin.1222222222点处的切线方程在求曲线的切平面方程上平行于平面求椭球面方程的切线方程及法平面在点求曲线zyxzyxzyxzyxtztyttx四、试证曲面各坐标轴上上任何点处的切平面在)0(aazyx的截距之和等于 a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

12、- - - - - - -第 8 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本第 七 节 作 业一、填空题 ：1. 函数 z=x2+y2在点 (1,2)处沿从点 (1,2)到点)32,2(的方向导数等于。2. 数量场 f(x,yz)=x+2y+3z在 (-1,2,0)点处的梯度是。3. 设 f(x,y)=x2-xy+y2，则 f(x,y) 在点 (1,1)变化率最大方向上的单位向量为。二、选择题（单选） ：.31)(;31)(;51)(;51)(:22) 1 ,11(32DCBAkjiIyzxyzy的方向导数等于沿在点函数答： （）三、试解下列各题：.1)2,2()(1.122222222方

13、向导数在这点的内法线方向的处沿曲线在点求函数byaxbabyaxz2. 求函数 u=xyz 在点 M(1,1,1) 沿从点 (1,1,1)到点 (2,5,3)的方向的方向导数。3. 设 f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z ，求 gradf(1,1,1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本.86,)1 , 1 , 1(632.422222的方向导数处沿方向在点求函数处的指向外侧的法向量在点是曲面设nPzyxuPzyxn四、设 u,v 都是 x,y,z 的函数

14、， u,v 的各偏导数存在且连续，证明： grad(uv)=vgradu+ugradv. 第 八 节 作 业一、填空题 ：1. 函数 f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为。2. 设函数 z=z(x,y) 由方程 x2+2y2+3z2+xy-z-9=0 所确定，则函数z 的驻点为。3. 函数 z=xy 在闭区域x0，y0, x+y1 上的最大值为。二、选择题（单选） ：.52)(;52)(;5)(;5)(:52.122DCBAyxyxz的条件下的极小值为在满足答： （）2. 函数 z=x2+y3在(0,0)处：（ A）有极大值；（B）有极小值；（C）没有极值；（D）既有极大值又有极小

15、值。答： （）三、试解下列各题：1. 求函数 f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本2. 要造一个容积等于k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。四、将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？第 八 章 综 合 作 业一、填空题（每小题4 分，共 20 分） ：.),(,),(),(.5)4, 1 , 1(3.4.,arctan.3.,sin.2.,.1

16、0000222)3,2, 1(22成立处取得极值则必有且在处存在一阶偏导数在点设处的法线方程是在点曲面则设则设则已知yxyxyxfzyxzdzyxyxzxzyxxyezgraduzxyzxyuyx二、选择题（单选） （每小题5 分，共 20 分） ：1. 113lim00 xyxyyx（A）3；（B）6；（C）不存在；（D） . 答： （）2. 若函数 f(x,y) 在点 (x0,y0)处：（A）偏导数存在，则f(x,y) 在该点一定可微；（B）连续，则f(x,y) 在该点偏导数一定存在；（C）有极限，则f(x,y) 在该点一定连续；（D）可微，则f(x,y) 在该点连续且偏导数一定存在。答：

17、 （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本.31arccos)(;4)(;3)(;2)(:cossin,cos,sin.32DCBAxoytttztytx面的夹角是处的切线与在对应于曲线答： （）4.函数 z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为：（ A） （0，0） ；（B） （1，1） ；（ C） （0，0）与（ 1， 1）（D）无极值点。答： （）三、试解下列各题（每小题7 分，共 28 分） ：.,),(.4.,cos,sinsin,cossin,.2., 0.2).1 ,

18、1 , 1(,),(.12222222zzyyxxzzuuufzyxzyxfuuururzryrxzyxuyxzxyzedfyxzyxf求具有二阶连续偏导数其中设求设求设求设四、求曲面).7()1 ,2ln,2(ln4分处的切平面及法线方程在点zyzxee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页立身以立学为先，立学以读书为本五、求曲线0453203222zyxxzyx在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程（7 分） 。六、求函数u=x+y+z 在点 M0（0，0，1）处沿球面x2+y2+z2=1 在这点外法线方向的方向导数（ 8 分）七、试证当在原点一定有极函数时yxxeyxfy2coscossin)1(),(,2小值（ 10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页