2022年高考全国Ⅰ数学试题与答案 .pdf

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1、- 1 - / 12 2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 ( 必修 +选修 ) 解读版参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式()( )()P ABP AP B24SR如果事件A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径()()()P A BP A P B球的体积公式如果事件A在一次实验中发生的概率是p，那么334VRn次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径( )(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn一、选择题(1)cos300(A)32 (B)-12(C)12(D) 321.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函

2、数知识【解读】1cos300cos 36060cos602(2) 设全集1,2,3,4,5U，集合1,4M，1,3,5N，则UNMeA.1,3 B.1,5 C. 3,5 D.4,52.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解读】2,3,5UMe，1,3,5N，则UNMe1,3,52,3,5=3,5(3) 若变量,x y满足约束条件1,0,20,yxyxy则2zxy的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解读】画出可行域（如右图），11222zxyyxz，由图可知,当直线l经过点A(1

3、,-1)时， z 最大，且最大值为max12( 1)3z. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页- 2 - / 12 （4）已知各项均为正数的等比数列na，123aa a=5，789a a a=10，则456a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 24.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解读】由等比数列的性质知31231322()5a a aa aaa，37897988()a a aa aaa10, 所以1

4、32850a a, 所以13336456465528()()(50 )5 2a a aa aaaa a(5)43(1) (1)xx的展开式2x的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力. 0 xy1Oyxy20 xyx A 0:20lxy22A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页- 3 - / 12 【解读】134323422(1

5、) (1)1464133xxxxxxxxx2x的系数是 -12+6=-6 (6) 直三棱柱111ABCAB C中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABCA B C的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解读】延长CA到 D，使得ADAC，则11ADAC为平行四边形，1DA B就是异面直线1BA与1AC所成的角，又三角形1ADB为等边三角形，0160DA B(7) 已知函数( )| lg|f xx. 若ab且，( )( )f af b，则ab的取值范围是(A)

6、(1,) (B)1,)(C)(2,) (D)2,)7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12aa,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处. 【解读 1】因为 f(a)=f(b),所以 |lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去 )，或1ba，所以 a+b=1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是 (2,+). 【解读2】由0ab, 且f(a)=f(b) 得：0111abab，利用线性规划得：0111xyxy，化为求zxy的取值范围问题，zxyyxz，211

7、1yyxx过点1,1时 z 最小为 2, (C)(2,)（8）已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在 C上，1FP2F=060，则12|PFPF(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页- 4 - / 12 A B C D A1 B1 C1 D1 O 想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解读 1】.由余弦定理得cos1FP2F=222121212|2|PFP

8、FF FPFPF22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPFPFF FPFPFPF PF12|PFPF4 【解读2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPFPFPFPF12|PFPF4 （9）正方体ABCD-1111ABC D中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）639.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面 AC1D的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想的具体体现

9、.【解读 1】因为 BB1/DD1,所以B1B与平面 AC1D所成角和DD1与平面 AC1D所成角相等 ,设DO平面AC1D，由等体积法得11DACDDACDVV,即111133ACDACDSDOSDD.设 DD1=a, 则12211133sin 60(2 )2222ACDSAC ADaa,21122ACDSAD CDa. 所 以1312333A C DA C DSD DaD OaSa, 记DD1与 平 面AC1D所 成 角为, 则13sin3DODD,所以6cos3. 【解读2】设上下底面的中心分别为1,OO；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面精选学习资料 - - - - - -

10、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页- 5 - / 12 AC1D所成角，111136cos1/32O OO ODOD（10）设123log 2,ln2,5abc则（A）abc（B）bca (C)cab (D) cba10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解读 1】a=3log2=21log 3,b=In2=21log e,而22log 3log1e,所以 ab, c=125=15,而2252log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【 解 读2】

11、a=3log2=321log,b=ln2=21loge,3221loglog2e，32211112logloge；c=121115254， cab （11）已知圆O的半径为1，PA 、PB为该圆的两条切线，A 、B为两切点，那么PAPB的最小值为(A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 211.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解读1】如图所示：设PA=PB=x(0)x, APO=, 则APB=2，PO=21x，21sin1x，| |cos2PA PBPAPB=22(

12、1 2sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令P AP B，则4221xxyx，即42(1)0 xy xy，由2x是实数，所以2 (1)4 1 ()0yy，2610yy，解得32 2y或32 2y.故min()32 2PA PB.此时21x. P A B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页- 6 - / 12 【解读 2】设,0APB，2cos1/ tancos2PA PBPAPB2222221sin12sincos22212sin2sinsin22换元：2sin,012xx，1121232 23x

13、xPAPBxxx【解读 3】建系：园的方程为221xy，设11110(,),(,),(,0)A xyB xyP x，2211101110110,001AOPAxyxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PAPBxx xxyxxxxx（12）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、 D四点，若AB=CD=2, 则四面体ABCD 的体积的最大值为(A) 2 33 (B)4 33 (C) 2 3 (D) 8 3312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离, 通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解读】过CD 作

14、平面PCD ，使AB平面PCD,交 AB 与 P,设点P 到 CD 的距离为h, 则有ABCD11222323Vhh四面体, 当直径通过AB 与 CD的中点时 ,22max2 212 3h, 故max4 33V. 第卷注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5 毫 M黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共2 页，请用直径0.5 毫 M黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷卷上作答无效。 3.第卷共10 小题，共 90 分。二填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上2

15、2210110111001,2PAPBxxyxxyxx xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页- 7 - / 12 ( 注意：在试卷卷上作答无效) (13) 不等式22032xxx的解集是 . 13.21,2xxx或【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【 解 读 】 :22032xxx20221021xxxxxx， 数 轴 标 根得：21,2xxx或(14) 已知为第二象限的角，3sin5a, 则tan2 . 14.247【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式 ,同时

16、考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解读】因为为第二象限的角, 又3sin5, 所以4cos5，sin3tancos4, 所22 tan24tan(2)1tan7(15) 某学校开设A 类选修课3 门， B 类选修课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.( 用数字作答 ) 15.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识, 以及分类讨论的数学思想 . 【解读1】:可分以下2 种情况 :(1)A类选修课选1 门,B 类选修课选2 门, 有1234C C种不同的选法。 (2)A 类选修课选2 门,B 类选修课选1 门, 有2134C C种

17、不同的选法 . 所以不同的选法共有1234C C+213418 1230C C种. 【解读 2】:33373430CCC(16) 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuu ruu r，则C的离心率为 . 16.33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解读几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解读 1】如图，22|BFbca, xOyBF1DD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

18、 页，共 12 页- 8 - / 12 作1DDy轴于点 D1, 则由BF2FDuu ruu r，得1|2|3OFBFDDBD,所以133|22DDOFc, 即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由| 2 |BFFD, 得232,caaa33e【解读2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,D xy，F 分 BD 所成的比为2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy，代入222291144cbab，33e三解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10

19、分） ( 注意：在试卷卷上作答无效) 记等差数列na的前n项和为nS，设312S，且1232 ,1a aa成等比数列，求nS. (18)( 本小题满分12 分)( 注意：在试卷卷上作答无效) 已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C(19)( 本小题满分12 分) （注意：在试卷卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5 ，

20、复审的稿件能通过评审的概率为0.3 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率（20）（本小题满分12 分） （注意：在试卷卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中， SD底面ABCD ，AB/DC，ADDC ，AB=AD=1 ，DC=SD=2 ，E 为棱 SB上的一点，平面EDC平面 SBC . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页- 9 - / 12 （）证明： SE=2EB ；（）求二面角A-DE-C 的大小 . （21）( 本小题

21、满分12 分) （注意：在试卷卷上作答无效）已知函数42( )32(31)4f xaxaxx（I ）当16a时，求( )f x的极值。（II ）若( )f x在1,1上是增函数，求a的取值范围(22)( 本小题满分12 分) （注意：在试卷卷上作答无效）已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过点( 1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点 A关于x轴的对称点为D . （）证明：点F在直线BD上；（）设89FA FB，求BDK的内切圆M的方程 . 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17) 解：（1）由am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9得a1+2d=5 a1+9d

22、=-9 解得 a1=9 d=-2 数列am的通项公式为 an=11-2n。因为 Sm=(n-5)2+25. 所以 n=5 时, Sm取得最大值。（18）解：（1）因为 PH是四棱锥 P-ABCD 的高。所以 ACPH又 AC BD,PH,BD都在平面 PHD 内, 且 PH BD=H. 所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC平面 PBD(2)由（1）知 Sm=na1+n(n-1)2d=10n-n2 (2) 因为 ABCD为等腰梯形， AB CD,AC BD,AB=6. 所以 HA=HB=3. 因为APB=ADR=600 所以 PA=PB=6,HD=HC=1. 可得 PH=3. 精选学习资料

23、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页- 10 - / 12 等腰梯形 ABCD的面积为 S=12AC x BD = 2+3. .9 分所以四棱锥的体积为V=13x（2+3）x3=32 33 .12 分（19）解：（ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 ,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500. 4分(2) 22500(4027030160)9.96720030070430k由于9.9676.635所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 . 8分（3）由于（

24、 2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时 ,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. 12分（20）解：（ 1）由椭圆定义知22F+F又2 AB= AFFAB得L的方程式为 y=x+c,其中 c= 1-b2 (2) 设 A,(x1,y1),B(x1,y1)则 A,B 两点坐标满足方程组y=x+c x2+y2b2=1 化简得 (1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 则 x1+x2=-2c1+b2.x1x2=1-2b21+b2（2

25、）即21423xx . 则22421212222284(1)4(1 2)8()49(1)11bbbxxx xbbb解得22b. （21）解：（）12a时，21( )(1)2xf xx ex，( )1(1)(1)xxxfxexexex。当, 1x时( )fx。 当1 , 0 x时 ， ()0fx。 当0,x时 ， ()0fx。故( )f x在, 1 ， 0,单调增加，在（ -1，0）单调减少。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页- 11 - / 12 （）( )(1)af xx xax 。令( )1ag xxax ，

26、则( )xg xea。若1a，则当0,x时，( )gx，( )g x为减函数，而(0)0g，从而当x0 时( )g x0，即( )f x0. 若a，则当0, lnxa 时，()gx，( )g x为减函数，而(0)0g，从而当0, lnxa 时( )g x0，即( )fx0. 综合得 a的取值范围为,1(22) 解: (1)因为 AC=BD 所以 BCD =ABC 又因为 EC与圆相切于点 C,故ACE =ABC 所以 ACE= BCD (II)因为 ECB= CDB, EBC= BCD, 5 分所以 BDC ECB,故BCBE=CDBC即BC2=BE CD 10 分（23）解：（ I）当3时，

27、 C1的普通方程为3(1)yx，C2的普通方 程为221xy. 联立方程组223(1),1,yxxxy解得 C1与 C2的交点为（ 1,0），13(,)22（II）C1的普通方程为sincossin0 xy. A 点坐标为2(sin, cos sin )aaa ，故当 a变化时， P点轨迹的参数方程为21sin21sin cos2xayaa（ a为参数） P点轨迹的普通方程为2211()416xy故 P点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆(24)解：: -2x+5,x2(1)由于 f (x)= 2x-3, x2 则函数 y=f(x)的图像如图所示 .。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页- 12 - / 12 5 分（ ）由函数xyf与函数yax的图像可知，当且仅当2a时，函数xyf与函数yax的图像有交点。故不等式xfax的解集非空时， a 的取值范围为1, 2,2。10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页