2022年高考总复习之导数专题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载导数考纲：掌握常见函数的求导公式，和、差、积、商函数以及复合函数的求导法则掌握导数的几何意义，并能应用于曲线切线方程的求解利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质知识点：定义：函数)(xfy从1x到2x 的平均变化率函数)(xfy从1x到2x 的平均变化率为1212)()(xxxfxf，令1212,yyyxxx，则平均变化率又可表示为xy. 函数)(xfy在xx处的导数定义称函数)(xfy在xx处的瞬时变化率xyxxxfxfxx012120lim)()(lim为函数)(xfy在xx处的导数， 记作)(/xf或xxy |/， 即)(/xf=xyxxxfxfxx012120lim

2、)()(lim. 几何意义函数)(xfy在点xx处的导数)(/xf的几何意义是曲线)(xfy在点)(,(xfx处的切线的斜率相应地，切线方程为).)()(/xxxfxfy函数)(xf的导函数称函数)(/xfxxfxxfx)()(lim0为)(xf的导函数，导函数有时也记作./y说明：导数又称函数的变化率，如：在运动方程)(tss中，速度是位移的导数，加速度又是速度的导数；科学领域内，化学反应速率，生物繁殖率，电流强度，人口增长率等等均属导数的范畴！曲线)(xfy“在点P(x0，y0) 处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系： 曲线)(xfy在点P(x0，y0) 处的切线是指P

3、为切点，切线斜率为)(/xfk的切线，是唯一的一条切线；而曲线)(xfy过点P(x0，y0) 的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条例：（2010 全国 2 卷）曲线2xxy在点（ -1 ，-1）处的切线方程为（2010 全国 1 卷文）已知63)(24xxxf，则过原点，曲线)(xfy的切线方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载常见函数的求导公式及求导法则：公式：axxeeaaanxxcaxxxxnnln1)(log)(ln)()(0)(/1/xxxx

4、xxsin)(coscos)(sin1)(ln/法则：)()()()()()()()()()()()(/xgxfxgxfxgxfxcfxcfxgxfxgxf)()()()()()()()()()(/2/xgxgfxgfxgxgxfxgxfxgxf思考：_)ln(/x；_)2(ln/x；_)(/31xe；_)(tan/x; _)(sin/2x;._)(sin/2x应用：利用导数的几何意义求曲线的切线方程；求函数的单调区间或分析函数在特定区间内的单调性；求函数的极值；求函数的最值；运用导数证明不等式；运用导数研究不等式恒成立问题；运用导数分析函数的性质，进一步得函数的零点或者超越方程的根重要题型分

5、析：题型一：对导数的概念、求导公式、求导法则的考查例：函数极限xxxxxxlnlnlim=（） A.2x B.x2 C.x21 D.x21变式：若函数)(xf在x处可导，且1)()3(lim0txftxft，则)(/xf（）A.1 B.2 C.3 D.31某质点的运动方程为24223tts，则经过2 秒后该质点运动的加速度为变式：（09 湖北）设球的半径为时间t的函数)(tR，若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（） A. 成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为c2C. 成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为c2精选学习资料 - - - - - - - - -

6、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载设函数xxfxfsincos)4()(/，则)4(f变式：已知函数)(xf满足21/21)0() 1()(xxfefxfx，求函数)(xf的解析式等比数列na中，,4,281aa函数)()()(821axaxaxxxf，则)0(/f=（）A.62 B.92 C.122 D.152题型二：对导数几何意义的考查例：（ 2013 广东）若曲线xkxyln在点),1(k处的切线平行于x轴，则k点P在曲线7cos2sin212xxy上移动， 则曲线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为（） A.，0 B.，4340 C.），（

7、），【43220 D.以上全不对设bxy21是曲线xyln的一条切线，则b（ 2012 全国卷）设点P在曲线xey21上，点Q在曲线)2ln(xy上，则PQ的最小值为（ A）1-ln2 （ B）)2ln1(2（ C ）1+ln 2（D）)2ln1(2设.)(3xxxf求曲线)(xfy在点)(,(tftM处的切线方程；设0a，若过点),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，证明：).(afba题型三：运用导数分析函数的单调性)(xf在区间),(ba上为单调递增函数0)(/xf（且)(/xf不恒为零）在),(ba上恒成立；)(xf在区间),(ba上为单调递减函数0)(/xf（且)(/xf不恒为零）在

8、),(ba上恒成立 . 例 1. 函数xxxfln)(的单调增区间为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载例若函数)2ln(21)(2xbxxf在), 1(上是单调递减函数，则b的取值范围为A.), 1 B.), 1( C. 1,( D.)1,(变式：设函数.4) 13(23)(24xxaaxxf当61a时，求)(xf的极值；若)(xf在区间)1 , 1(上是增函数，求a的取值范围例 3. 已知函数)(xf为定义在R上的可导函数， 且对任意x满足.0)()(/xfxxf则对任意的实数ba,有（） A.)

9、()(abfbafba B.)()(abfbafbaC.)()(bbfaafba D.)()(abfbafba变式：（ 2009 天津）设)(xf在R上的导函数为)(/xf，且.)()(22/xxxfxf下面的不等式在R上恒成立的是（） A.0)(xf B.0)(xf C.xxf)( D.xxf)(（ 2011 辽宁）函数)(xf的定义域为R，2)1(f，且对任意2)(,/xfRx，则42)(xxf的解集为（） A.)1 , 1( B.),1( C.)1,( D.R例 4. 设函数).0(3)(3abaxxxf若曲线)(xfy在点)2(,2(f处于直线8y相切，求ba,的值；求)(xf的单调区

10、间与极值点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载变式：设函数).0()(kxexfkx求曲线)(xfy在点)0(, 0(f处的切线方程；求函数)(xf的单调区间；若函数)(xf在)1 ,1(上单调递增，求k的取值范围例 5. 已知函数)0)(ln2(2)(axaxxxf，讨论)(xf的单调性变式：（ 2010 辽宁）已知函数.1ln)1()(2axxaxf讨论)(xf的单调性；设, 1a如果对任意2121214)()(), 0(,xxxfxfxx，求a的取值范围已知函数).( 11ln)(Raxaaxx

11、xf当21a时，讨论)(xf的单调性；设.42)(2bxxxg当41a时，若对任意)2 ,0(1x，存在2, 12x使)()(21xgxf，求实数b的取值范围题型四：利用导数求函数的极值极值不同于最值！极值是一个局部概念，而最值属整体概念，所以极值的表示为)(极小值极大值yy或）（极小值极大值)()(xfxf，而不能借用最值的标示符).(minmaxyy极值点处导数为零，但导数为零的点未必是极值点！ ！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载求函数极值的步骤：求0/y的根；列表；定论例 1. ：已知函数.

12、212)(2xxxf求函数)(xf的极值；若对一切3)(3,bxafRx，求ba的最大值变式： （2013 全国卷 2）已知函数).ln()(mxexfx设0 x是)(xf的极值点，求m，并讨论)(xf的单调性；当2m时，证明.0)(xf例已知函数.)32()(22Raeaaaxxxfx当0a时，求曲线)(xfy在点)1(,1(f处切线的斜率；当32a时，求函数)(xf的极值变式： （2013 重庆）设Raxxaxf,ln6)5()(2，曲线)(xfy在点)1(, 1(f处的切线与y轴相交于点).6,0(确定a的值；求函数)(xf的单调区间与极值精选学习资料 - - - - - - - - -

13、 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载题型五：利用导数求函数的最值闭区间内连续函数的最值的求解：求0/y的根；将落在ba,上的根对应的函数值与端点处的函数值)(),(bfaf大小比较；得出结论例 1. ：已知函数cbxaxxxf23)(在32x和1x处取得极值 . 求ba,的值及)(xf的单调区间；若对2, 1x，不等式2)(cxf恒成立，求c的取值范围变式：).)()(Raaxxxf求)(xf的单调区间；设)(ag为)(xf在区间2, 0上的最小值写出)(ag的表达式；求a的取值范围，使得.2)(6ag题型六：利用导数证明不等式通过原函数或构造的一

14、个新的函数，并用导数作为工具研究函数的单调性，极值或最值， 来达到证明不等式的目的。例： （2013 北京）设L为曲线xxyCln:在点)0, 1(处的切线求L的方程；证明：除切点)0, 1(之外，曲线C在直线L的下方例已知函数.1ln)1()(xxxxf若1)(2/axxxxf，求a的取值范围；证明.0)()1(xfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载变式（ 2011 大纲版全国卷） 设22)1ln()(xxxxf， 证明：当0 x时，0)(xf；从编号1 到 100 的 100 张卡片中每次随机

15、抽取一张，然后放回， 用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为p，证明：.1)109(219ep变式（10安徽）设a 为实数，函数.22)(axexfx求)(xf的单调区间与极值；求证：当12lna且0 x时，.122axxex题型七：运用导数解决不等式恒成立问题例（ 2010 新课标全国卷）设函数.)1()(2axexxfx若21a，求)(xf的单调区间；若当0 x时，0)(xf，求a的取值范围变式（ 2010 大纲版全国卷）设函数.1)(xexf证明当1x时，1)(xxxf；设当0 x时，1)(axxxf，求a的取值范围变式 （2011 新课标全国卷） 已知函数x

16、bxxaxf1ln)(，曲线)(xfy在点)1(, 1(f处的切线方程为.032yx求ba,的值；如果当0 x且1x时，xkxxxf1ln)(，求k的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载变式设函数).1ln()1()(xxxf若对所有的0 x都有axxf)(成立， 求实数a的取值范围例（ 2013 新课标全国卷1）设函数).()(,)(2dcxexgbaxxxfx若曲线)(xfy和曲线)(xgy都经过点)2, 0(P，且在点P处有相同的切线.24xy求dcba,的值；若2x时，)()(xkgx

17、f，求k的取值范围 . 题型八：运用导数分析函数的性质，进一步得函数的零点或者超越方程的根例：已知函数)ln()(axxxf在1x处取得极值。（1）求实数a 的值；（2）若关于x的方程bxxxf22)(在2 ,21恰有两个不相等实根，求b的取值范围；变式已知函数.2)()(),( ,2sin)(2xfxFRbxbxxf对任意实数x恒有).5()5(xFxF（1）求函数)(xf的解析式；（2）若函数xaxxfxgln)1(2)()(在区间1 , 0上单调，求a 的取值范围；（3）讨论方程kxxf2)1ln(2)(2的根的个数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

18、 - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载变式已知函数xxaxxf2)ln()(在0 x处取得极值 . 求a的值；若关于x的方程bxxf25)(在2 ,0上恰有两个不同实根，求b的取值范围；证明：不等式211lnnnnn对Nn均成立跟踪练习：（ 2013 全国卷 1）若函数)(1()(22baxxxxf的图象关于直线2x对称，则)(xf的最大值为（ 2013 全国卷 2）已知函数cbxaxxxf23)(，下列结论中错误的是（）A.0)(,xfRxB. 函数)(xfy的图象是中心对称图形C. 若x是)(xf的极小值点，则)(xf在区间),(x单调递减D. 若x是)(xf的极

19、值点，则)(/xf=0 （ 2013 全国卷 2）等差数列na是前n项和为nS，已知25,01510SS，则nnS的最小值为（ 2013 大纲版全国卷）若函数xaxxxf1)(2在区间),21(内是增函数，则a的取值范围为（）A.0 ,1B., 1 C.3,0D., 3（ 2013 安徽）若函数cbxaxxxf23)(有极值点21, xx，且11)(xxf，则关于x的方程0)(2)(32bxafxf的不同实根个数是（） A.3 B.4 C.5 D.6 （ 2013 江西）设函数)(xf在），（0内可导，且xxexef)(，则)1(/f（ 2013 福建）设函数)(xf的定义域为)0(,xxR是

20、)(xf的极大值点，以下结论一定正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载 A.)()(,xfxfRxB.x是)( xf的极小值点C.x是)(xf的极小值点D.x是)(xf的极小值点 （2013 浙江）已知e为自然对数的底数， 设函数)2, 1()1)(1()(kxexfkx， 则 （） A.当1k时，)(xf在1x处取到极小值B.当1k时，)(xf在1x处取到极大值C.当2k时，)(xf在1x处取到极小值D.当2k时，)(xf在1x处取到极大值（2013 辽宁）设函数)(xf满足8)2(,)

21、(2)(2/2efxexxfxfxx，则0 x时，)(xf A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值（ 2012 大纲版全国卷）已知函数yx3-3x+c 的图像与x轴恰有两个公共点，则c（ A）-2 或 2 （ B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1 （ 2012 全国卷）设点P在曲线xey21上，点 Q在曲线 y=ln （2x）上，则 |PQ| 的最小值为（A）1-ln2 （B）（C）1+ln 2（D）（ 2012 广东）曲线33xxy在点)3, 1(处的切线方程为（ 2012 辽宁）若,0 x，则下列不等式恒成立的是（）

22、 A.21xxex B.24121111xxxC.2211cosxx D.281)1ln(xxx（ 2012 陕西）设函数xxexf)(，则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载 A.1x为)(xf的极大值点 B.1x为)(xf的极小值点C.1-x为)(xf的极大值点 D.1-x为)(xf的极小值点（ 2011 福建）若0, 0 ba，且函数224)(23bxaxxxf在1x处有极值，则ab的最大值为（）A.2 B.3 C.6 D.9 （ 2011 辽宁）函数)(xf的定义域为R，2)1(f，且对

23、任意2)(,/xfRx，则42)(xxf的解集为（） A.)1 , 1( B.),1( C.)1,( D.R（ 2011 辽宁文）已知函数axexfx2)(有零点，则a的取值范围为（ 2011 湖南）.设直线x=t 与函数2( )fxx( )lng xx的图像分别交于点M,N,则当MN达到最小时t 的值为A.1 B. 12 C. 52 D. 22（ 2011 江西）若,ln42)(2xxxxf则0)(/xf的解集为（） A.),0( B.), 2()0, 1( C.), 2( D.)0, 1(（ 2011 大纲版全国卷）曲线12xey在点（ 0,2 ）处的切线与直线0y和xy围成的三角形的面积

24、为（） A.31 B.21 C.32 D.1 21. （2011 湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300( )2tM tM，其中 M0为 t=0 时铯137 的含量。已知t=30 时，铯 137 含量的变化率是-10In2 （太贝克年） ，则 M （60）= A.5 太贝克 B.75In2太贝克C.150In2 太贝克 D.150太贝克22. （2012 重庆）设Raxxxaxf, 12321ln)(，曲线)(xfy在点)1(, 1

25、(f处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载的切线垂直于y轴. 求a的值；求函数)(xf的极值 23.（ 2011 辽宁）已知函数.)2(ln)(2xaaxxxf（ 1）讨论)(xf的单调性；（ 2）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（ 3）若函数)(xfy的图像与x轴交于A、B 两点，线段AB 中点的横坐标为0 x，证明：0)(/oxf. 24. （2013 天津）已知函数2l( )nf xxx . () 求函数f(x) 的单调区间 ; () 证明 : 对任意的t0, 存在唯一的

26、s, 使( )tf s . () 设( ) 中所确定的s关于t的函数为( )sg t , 证明 : 当2et时, 有2ln( )15ln2g tt. 同学们，优秀的高三学生，不会因考练而打乱计划，不会因紧张而忽视锻炼，不会因时间而忘记效率，不会因环境而迷失自我，不会因对比而丧失信心。我们应该时常在心里这样对自己说：我是一个有良知的人，我要无愧于父母的养育之恩和老师的良苦用心；我是一个有骨气的人，我要通过百倍的努力改变命运，创造人生；我是一个意志坚强的人，我要脚踏实地，持之以恒，自我加压，奋力追赶；我是一个惜时如金的人，我要告别三闲，抓紧一分一秒，静专思主，刻苦学习；我是一个潜力无穷的人，我的潜力在于我始终不渝、坚持不懈的努力中，我要继续前进 ! 我是一个自信的人，我行、我能行、我一定能成功，我一定要成功！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页