2022年高考数学二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 2.pdf

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1、高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳基础知识 ：1直线与圆的方程；2椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；3椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a、b、c、e、p、渐近线。基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

2、5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1 “常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2 “是否存在”问题当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法 ，才能使计算具有可行性 ，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思

3、路。一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例. 【浙江理数】设1F、2F分别为双曲线22221,xyab（a0、b0）的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点，满足212PFF F，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 C 例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为, 如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】 D 例 （14 分）已知椭圆22221xyab(0)ab.过点（ 2， 1）且方向向量为11(,)22a的直线 L 交椭圆与A、B两点。若

4、线段AB 的中点为M，求直线OM 的斜率（用ab、表示） ；若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长；在的条件下，设椭圆的左焦点为1F，求1ABF的面积。点评： 常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。二、 “是否存在”问题例 （14 分）已知定点A（-2，-4） ，过点 A 作倾斜角为45 度的直线L，交抛物线22ypx（p0）于 B、C 两点，且线段 BC 长为2 10。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页（ I）求抛物线的方程；（ II）在（ I）中的抛物线上是否存在点D，使得 DB=D

5、C 成立？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由。（答：22yx。存在点D（2，2）或（ 8，-4） ）例. 【北京理数】在平面直角坐标系xOy 中，点 B与点 A （ -1,1 ）关于原点O对称， P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于. ( ) 求动点 P的轨迹方程；( ) 设直线 AP和 BP分别与直线x=3 交于点 M,N，问：是否存在点P使得 PAB与 PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。三、过定点、定值问题例、 （14 分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC 所

6、在直线L 的方程为 4x+y-20=0. ( ) 求抛物线 S 的方程 ; ( ) 若 O 是坐标原点， P、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足OPOQ。试说明动直线PQ 是否过一个定点。（答：216yx，定点为M（16，0） ）例.(14 分 )已知椭圆C：22221xyab（ab0） ，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。( ) 求椭圆的方程; ( ) 过点 Q（ 1，0）的直线 L 交椭圆于 A、B 两点，交直线x = 4 于点 E，设AQQB，AEEB。求证：为定值，并计算出该定值。点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比

7、如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。例 （14 分）过抛物线24yax（a0）的焦点 F 作任意一条直线分别交抛物线于A、B 两点，如果AOB（O 为原点）的面积是S，求证：2SAB为定值。（答：3a）点评： 证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。四最值问题例 （14 分）定长为3 的线段 AB 的两个端点在抛物线2yx上移动，记线段AB 的中点为M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并

8、求此时点M 的纵坐标。（答：最短距离为54，M 的纵坐标为22）点评： 最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。五、求参数范围问题。常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。常用建立不等式的途径：(1) 直线与曲线有交点时判别式大于等于零；圆锥曲线中变量X、Y 的取值范围；点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页已知题设中有的范围；正弦函数、余弦函数的有界性；均值

9、不等式；焦半径的取值范围；函数的值域 ; 三角形图形中两边之和大于第三边。例： 1.若直线 y=kx+1 与焦点在x 轴上的椭圆2215xyt恒有公共点，则t 的取值范围为_.（答：1,52 【福建文数】 若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为（）A2 B3 C6 D8 【答案】 C（利用圆锥曲线中变量X、Y的取值范围； ）3设a1，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e 的取值范围为 _;（答：2,5）4若1F、2F是双曲线22221xyab的左右焦点，过1F作垂直于x 轴的直线交双曲线于A、B 两点，若2ABF为锐角三角形，则

10、双曲线的离心率的取值范围为_;（答：1,12）5.若 M 是椭圆22194xy上的任意一点，1F、2F是椭圆的左、右焦点，则12MFMF的最大值为 _;（答： 9） （利用均值不等式）6若点 P是抛物线22yx上的一个动点，则点P 到点（ 0，2）的距离与点P 到准线的距离之和的最小值为_;（答：172） （利用三角形两边之和大于第三边）六、规范解题解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程； （提醒 ：设直线时分斜率存在

11、与不存在；设为y=kx+b 与 x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒 : 之所以要设是因为不去求出它, 即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“以弦AB为直径的圆过点0”OAOB121KK（提醒： 需讨论 K是否存在）0OA OB12120 x xy y“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”1212x xy y0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK） ；“共线问题” （如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：

12、距离转化法）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页（如： A、 O、 B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 七、站在系统的高度探究问题的本原“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。请证明以下命题：案例一： 抛物线22ypx（p0） ，过焦点F（2p，0

13、）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（1x，1y） 、B（2x，2y） 。如图（一）有关定值问题：（1）221212,4px xy yp；（2）4OAOBkk（3）234OAOBP（4）112FAFBP；（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦 AB ，CD ，则1112ABCDP；（二）与数列有关的问题（1）AB为焦点弦， T 为准线上任意一点，则TA、TF、TB的斜率成等差数列；（2）AB为焦点弦，过点A 、 B的切线相交于点M ，则MA、MF、MB成等比数列；（三）有关圆的问题（1）以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切；以11A B为直径的圆与抛物线的弦AB相切；（2）以 AF为直径的圆

14、与y 轴相切；以BF为直径的圆与y 轴相切；（3）其中性质（ 1）抛物线的准线与x 轴的交点 E在以 AB为直径的圆外。（四）有关共线问题（1）A、O 、1B三点共线；（2）B 、 O 、1A三点共线；（五）有关平分问题：EF平分AEB0AEBEKK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页（六）有关面积问题（1）22sinOABPS；（2）238OABSPAB； （3）111124A FBFBBFAASSS；（七）有关定点问题符合以上任一条性质的弦AB过一定点F（即抛物线的焦点） 。案例二： 抛物线22ypx（p0） ，过

15、点P（2 p，0）作一条弦AB交抛物线于A 、 B两点，其中A（1x，1y） 、B（2x，2y） 。则（一）OAOB；（二）以AB为直径的圆经过原点；（三）OABS的最小值为24p，此时ABx轴；（四）当ABx轴时，以 AB为直径的圆的面积最小；（五）过O作OMAB，垂足为M ，则 M点必在一个圆的圆周上；（答：222()xpyp，除原点外） ；案例三： 抛物线22ypx（p0） ，过点 M （p，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点， 其中 A （1x，1y） 、B （2x，2y） 。（一）2OA OBP；（二）222111PMAMB；（三）111124A FBFBBFAASSS。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页