2022年高考数学基础突破-导数与积分-第10讲-微积分的应用 .pdf

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1、1 2017年高考数学基础突破导数与积分第 10 讲 定积分与微积分基本定理【知识梳理】1定积分的概念与几何意义(1) 定积分的定义如果函数( )f x在区间 a，b 上连续，用分点将区间a，b 等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n) ，作和式i 1nf(i) x=i 1nban f(i) ，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数( )f x在区间 a，b 上的定积分，记作( )baf x dx，即1( )lim()nbianibaf x dxfn在( )baf x dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b 叫做积分区间，函数( )f x叫做被积函

2、数，x叫做积分变量，( )f x dx叫做被积式2定积分的几何意义f(x)abf(x)dx的几何意义f(x) 0表示由直线xa，xb，y0 及曲线yf(x) 所围成的曲边梯形的面积f(x) 0表示由直线xa，xb，y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x) 在a，b 上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2定积分的性质(1) ( )( )bbaakfx dxkf x dx (k为常数 ) ；(2) 1212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx；(3) ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf

3、 x dx( 其中ac2( 单位： N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位： m)处，则力F(x) 做的功为 _焦9求曲线yx，y2x，y13x所围成图形的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 2017 年高考数学基础突破导数与积分第 10 讲 定积分与微积分基本定理学生版，后附教师版【知识梳理】1定积分的概念与几何意义(1) 定积分的定义如果函数( )f x在区间 a，b 上连续，用分点将区间a，b 等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n) ，作和式i 1nf(i) x=i

4、 1nban f(i) ，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数( )f x在区间 a，b 上的定积分，记作( )baf x dx，即1( )lim()nbianibaf x dxfn在( )baf x dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b 叫做积分区间，函数( )f x叫做被积函数，x叫做积分变量，( )f x dx叫做被积式2定积分的几何意义f(x)abf(x)dx的几何意义f(x) 0表示由直线xa，xb，y0 及曲线yf(x) 所围成的曲边梯形的面积f(x) 0表示由直线xa，xb，y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x) 在a，b 上

5、有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2定积分的性质(1) ( )( )bbaakfx dxkf x dx (k为常数 ) ；(2) 1212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx；(3) ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx( 其中ac0)所围成的曲边梯形的面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 0k(kxx2)dxk2x213x3k0k3213k343，即k38，k2. 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积

6、的步骤：(1) 画出图形； (2) 确定被积函数；(3) 确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4) 运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积 . 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值( 极限值 ) ，可为正， 可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正 . 变式训练3. 1如下列图，曲线yx2和直线x 0，x1 及y14所围成的图形( 阴影部分 ) 的面积为 ( ) A.23 B.13 C.12 D.14(2) 由曲线y2x2，直线y 4x 2，直线x1 围成的封闭图形的面积为_答案1 D (2)163解析1由x214，得x12

7、或x12( 舍) ，则阴影部分的面积为S?120(14x2)dx?112(x214)dx(14x13x3)|120 (13x314x)|11214. 2解析由y2x2，y 4x2，解得x 1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为?11(2x2 4x2)dx(23x32x22x)|1 1(231321221) 23( 1)32( 1)22( 1) 163. 考点 3. 定积分在物理中的应用【例3】 (2016武汉调研) 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) 73t251t(t的单位： s，v的单位： m/s) 行驶至停止 .在此期间汽车继续行驶的距离 ( 单位： m)是

8、( ) A.125ln 5 B.825ln 113 C.425ln 5 D.4 50ln 2 答案C 解析令v(t) 0，得t4 或t83( 舍去 ) ，汽车行驶距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 s0473t251tdt7t32t225ln 1t40 28 24 25ln 5 4 25ln 5(m). 【基础练习稳固】1定积分 ?10(2xex)dx的值为 ( ) Ae2 B e1 C e D e1 答案C 解析?10(2xex)dx(x2ex)|10e. 故选 C. 2由曲线ysin x，ycos x与直

9、线x0，x2所围成的平面图形的面积是( ) A1 B.4 C.223D 222 答案D 解析由 sin xcos x(x(0，2) ，解得x4. 故图中阴影部分的面积S40(cos xsin x)dx24(sin x cos x)dx(sin xcos x)40|( cos xsin x)24|sin4cos4cos 0 ( cos2sin2) ( cos4sin4) 222. 3一物体在变力F(x) 5x2( 力单位： N，位移单位：m)作用下，沿与F(x) 成 30方向作直线运动，则由x 1 运动到x2 时，F(x) 做的功为 ( ) A.3 J B.233 J C.433 J D23 J

10、 答案C 解析?21F(x)cos 30dx?2132(5 x2)dx5x13x33221433，F(x) 做的功为433 J. 4. 已知二次函数yf(x) 的图象如下列图，则它与x轴所围成的面积为( ) A.25 B.43 C.32D.2答案B 解析根据f(x) 的图象可设f(x) a(x1)(x 1)(a2( 单位： N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4( 单位： m)处，则力F(x) 做的功为 _焦答案36 解析由题意知，力F(x) 所做的功为W?40F(x)dx?205dx ?42(3x4)dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 52 (32x24x)|4210324244 (322242) 36( 焦) 9求曲线yx，y2x，y13x所围成图形的面积解由yx，y2x得交点A(1,1)；由y2x，y13x得交点B(3 ， 1) 故所求面积S?10 x13xdx?312x13xdx23x3216x2|10 2x13x2|31 231643136. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页