2022年高考数学二轮专题复习三角函数 .pdf

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1、三角函数【考纲解读 】1. 了解任意角的概念, 了解弧度制的概念, 能实行弧度与角度的互化; 理解任意角的三角函数( 正弦、余弦、正切）的定义. 2. 能利用单位圆中的三角函数线推导出2,的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,sintancosxxx. 3. 能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象 , 了解三角函数的周期性;2. 理解正弦函数, 余弦函数在区间0,2 上的性质 ( 如单调性 , 最大值和最小值以及与x 轴的交点等 ), 理解正切函数在区间(-2,2) 内的单调性 .4. 了解函数sin()yAx的物理意义；能画

2、出sin()yAx的图象，了解,A对函数图象变化的影响.5. 会用向量的数量积推导两角差的余弦公式; 能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式 , 了解它们的内在联系. 6. 能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能使用上述公式实行简单的恒等变换( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测 】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()yAx的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为

3、背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理 】1. 知识点：弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2. 三角函数中常用的转化思想及方法技巧：(1) 方程思想：sincos,sincos,sincos三者中 , 知一可求二 ; (2) “1”的替换：22sincos1; (3) 切弦互化：弦的齐次式可化为

4、切；(4) 角的替换：2()(),()22; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页(5) 公式变形：21cos2cos2,21 cos2sin2, tantantan()(1tantan); (6) 构造辅助角 ( 以特殊角为主) ：22sincossin()(tan)bababa. 3. 函数sin()yAx的问题：(1) “五点法”画图：分别令0 x、2、32、2，求出五个特殊点；(2) 给出sin()yAx的部分图象 , 求函数表达式时, 比较难求的是, 一般从“五点法” 中取靠近y轴较近的已知点代入突破; (

5、3) 求对称轴方程：令x2k()kZ, 求对称中心：令xk()kZ; (4) 求单调区间：分别令22kx22k()kZ; 22kx322k()kZ, 同时注意A、符号 . 4. 解三角形：(1) 基本公式：正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；(2) 判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线 】考点 1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：考查使用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式水平，以及求三角函数的值的基本方法. 考 查 使 用 诱 导 公 式 、 倍 角 公 式 ， 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 以 及 利 用 三 角 函 数 的 有 界

6、 性 来 求 的 值故f(x)的定义域为.Z,2|Rkkxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页（）由已知条件得.54531cos1sin22aa从而)2sin()42cos(21)(aaafaaacos4sin2sin4coscos21aaaaaaacoscossin2cos2cossin2cos12.514)sin(cos2aa【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理水平，以及求角的基本知识. 【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关

7、键. 练习 1：（ 2019 年高考福建卷文科9) 若（ 0，2），且2sin1cos24，则tan的值等于 () A.22B.33C.2D.3【答案】 D 【解析】 因为（ 0，2），且2sin1cos24，所以2sin221cossin4, 即21cos4, 所以cos=12或12( 舍去 ), 所以3, 即tan3, 选 D. 考点 2 考查sin()yAx的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型. 此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活使用，会用数形结合的思想来解题. 【备考提示】： 三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一, 熟练

8、其基础知识是解答好本类题的关键.练习 2.(2019年高考江苏卷9) 函数,(),sin()(wAwxAxf是常数，)0,0 wA的部分图象如图所示，则_)0(f【答案】62【解析】 由图象知： 函数( )sin()f xAwx的周期为74()123，而周期2Tw，所以2w，由五点作图法知：23，解得3，又A=2，所以函数( )2sin(2)3f xx，所以(0)f62sin32. 考点 3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合, 解答过程中 , 向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

9、3 页，共 18 页例 3. （2009 年高考江苏卷第15 题）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abcrrr（1）若ar与2bcrr垂直，求tan()的值；（2）求|bcrr的最大值 ;（3）若tantan16，求证：arbr.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本水平. 【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习 3. （天津市十二区县重点中学2019 年高三联考二理）（本小题满分13 分）已知向量2(3sin,1)

10、,(cos,cos)444xxxmnu rr，( )f xm nu rr（I ）若( )1f x, 求cos()3x值；（II ）在ABC中，角,A B C的对边分别是, ,a b c，且满足(2)coscosacBbC，求函数()fA的取值范围 . 【解析】 （I ）( )f xm nu r r23sincoscos444xxx-1分=311sincos22222xx-3分=1sin()262x-4分( )1f x1sin()262x2cos()1 2sin ()326xx=12-6分（II ）(2)coscosacBbC，由正弦定理得(2sinsin)cossincosACBBC-8分2s

11、insincossincosAcosBCBBC2sincossin()ABBC-9分ABCsin()sinBCA，且sin0A1cos,2B0B3B-10分203A-11分1,sin()16262 226AA-12分131sin()2622A( )fA1sin()262A3(1, )2-13分考点 4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活使用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例 4.(2019年高考安徽卷文科16) 在VABC中， a，b，c 分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC上的高 . 精选学习资料 - - - - - - - -

12、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页【解析】 A BC180，所以BC A，又12cos()0BC，12cos(180)0Ao，即1 2cos0A，1cos2A，又 0A0) 在 区 间0,3上 单 调 递 增 ， 在【答案】 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页【解析】若( )()6f xf对xR恒成立，则()sin()163f，所以,32kkZ，,6kkZ. 由()()2ff，（kZ），可知sin()sin(2)，即sin0，所以72,6kkZ，代入( )sin(2)f x

13、x，得7( )sin(2)6f xx，由7222262kxk剟，得563kx k剟，故选 C. 4. (2019 年高考辽宁卷理科4) ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a则ba（）(A)2 3(B)2 2(C)3(D)2【答案】 D 【解析】由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA ，即 sinB （sin2A+cos2A） =2sinA ，故 sinB=2sinA ，所以2ba；5. (2019 年高考辽宁卷理科7) 设 sin1+=43（），则sin2（）(A)79(B)19(C)19(D)79【答案】 A 【

14、解析】217sin 2cos 22sin121.24996. (2019年高考浙江卷理科6) 若02，02- ，1cos()43，3cos()423，则cos()2（）（A）33（B）33（C）5 39（D）69【答案】 C 【解析】()()2442Qcos()cos()()2442sin()sin()4421322634 35 3333399, 故选 C. 7. (2019年高考全国新课标卷理科5) 已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线xy2上，则，2cos（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18

15、 页A54B53C32D43【答案】 B 【解析】因为该直线的斜率是tan2k，所以，53tan1tan1cos22. 8. (2019 年高考全国新课标卷理科11) 设函数( )sin()cos()(0,)2f xxx的最小正周期为，且()( )fxfx，则（）（A）( )f x在0,2单调递减（ B）( )f x在3,44单调递减（C）( )f x在0,2单调递增（D ）( )f x在3,44单调递增【答案】 A 【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(xxf，2,2T又因为该函数是偶函数，所以，xxf2cos2)(4，所以，该函数在2,0上是减函数。故选A 9.(2019年 高 考 天

16、 津 卷 理 科6)如 图 ， 在 ABC中 ，D是 边AC上 的 点 ， 且,23,2ABADABBD BCBD，则sinC的值为（）A33B36C63D 66【答案】 D 【 解 析 】 设BDa, 则 由 题 意 可 得 ：2 ,BCa32ABADa, 在ABD中 , 由 余 弦 定 理 得 ：222cos2ABADBDAAB AD22232432()2aaa=13，所以sin A=21cos A2 23，在ABC中，由正弦定理得，sinsinABBCCA，所以322sin2 23aaCa，解得sinC=66，故选 D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

17、 - - - - - -第 8 页，共 18 页10(2019 年高考湖北卷理科3) 已知函数( )3sincos ,f xxx xR ，若()1fx，则 x 的取值范围为 () A. |,3x kxkkzB. |22,3xkkkzC.5|,66x kxkkzD.5|22,66xkxkkz【答案】 B 【解析】由3sincos1xx，即1sin()62x，解得522,666kxkkz, 即22,3kxkkz，所以选B. 11(2019 年高考陕西卷理科6) 函数( )cosf xxx在0,)内() （A）没有零点（B）有且仅有一个零点（ C ）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点【答案】 B

18、【解析】令1yx，2cosyx，则它们的图像如图故选B 12. (2019年高考重庆卷理科6) 若ABC的内角,A B C所对的边, ,a b c满足22()4abc，且060C，则ab的值为 () （A）43(B)84 3(C)1(D)23【答案】 A 【解析】由22()4abc得22224ababc，由060C得222421cos222abcabCabab，解得43ab. 13. (2019 年高考四川卷理科6) 在ABC中222sinsinsinsinsinBCBC. 则 A的取值范围是() (A)(0 ，6(B)6，)(c)(0，3(D)3，) 【答案】 C 精选学习资料 - - -

19、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页【 解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得222abcbc， 由 余 弦 定 理 ， 得2222cosabcbcA， 则1cos2A,0AQ,03A. 14. (2019年高考辽宁卷理科16) 已知函数f （x）=Atan （x+）（0，2）， y=f （x）的部分图像如下图，则f （24）=_. 【答案】3【解析】函数 f(x)的周期是32882， 故22， 由tan1,3tan 20,8AA得,14A.所以( )tan 24f xx，故tan 2324244f. 15. (2019 年高考安徽卷理科14

20、) 已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC的面积为 _ 【答案】15 3【 解 析 】 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为4, ,4aa a， 最 大 角 为， 由 余 弦 定 理 得222(4)(4)2 (4)cos120aaaa ao， 则10a， 所 以 三 边 长 为6,10,14. ABC 的 面 积 为16 10 sin12015 32So. 16. (2019 年高考全国新课标卷理科16) 在ABC中，60 ,3BACo，则2ABBC的最大值为。【答案】72【解析】在三角形ABC中，由正弦定理得260sin3sinsinCBCAAB其

21、中，53tan，又因为RA，所以最大值为7217. (2019年高考浙江卷理科18) （本题满分14 分）在ABCV中，角. .ABC所对的边分别为a,b,c已知sinsinsin,ACpB pR且214acb. （）当5,14pb时，求,a c的值； ( ) 若角B为锐角，求 p 的取值范围；【解析】 （） 由正弦定理得sin,sin,sin222abcABCRRR，55224 24acbacRRR即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页又211,44acbacQ联立解得114114aacc或( ) 由（）可知ac

22、pb，由余弦定理得222cosbacacB22()22cosacacacB222211cos22p bbbB即231cos22pB(0,1)Q cosB23(,2)2p由题设知0p所以622p18.(2019年高考天津卷理科15) （本小题满分13 分）已知函数( )tan(2),4f xx，（）求( )f x的定义域与最小正周期；（）设0,4，若()2cos2 ,2f求的大小【解析】 （）由2,42xkkZ得,82kxkZ所以( )f x的定义域为|,82kxR xkZ.( )fx的最小正周期为2. （）由()2cos 2 ,2f得tan()42cos2 ,即22sin()42(cossin

23、)cos()4, （2）若 a2+b2=4(a+b)-8 ，求边 c 的值【解析】由22sincos12sin1sin2222CCCC，即sin(2cos2sin1)0222CCC，因为sin02C，所以1sincos222CC，两边平方得3sin4C（2）由1sincos222CC得sincos22CC，所以422C，所以2C，由3sin4C得7cos4C，由余弦定理得22272()4cabab，又224()8abab，即22(2)(2)0ab，所以2,2ab，所以282 7c，所以71c20. (2019 年高考湖南卷理科17) （ 本小题满分12 分） 在ABC中， 角CBA，所对的边分

24、别为cba，且满足CaAccossin. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页求角C的大小；求4cossin3BA的最大值，并求取得最大值时角BA，的大小 . 【解析】由正弦定理得CAACcossinsinsin因为A0，所以0sinA. 从而CCcossin. 又0cosC，所以1tanC，则4C由知，AB43，于是4cossin3BA=AAcossin3=AAcossin3=6sin2A因为430A，所以121166A. 从而当26A，即3A时，6sin2A取最大值2. 综上所述，4cossin3BA的最大值2

25、，此时3A，125B. 【高考冲策演练】一、选择题：1. （2019 年高考全国卷I 理科 2） 记cos( 80 )k, 那么tan100() A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk3（ 2019 年高考福建卷理科1）cos13oo计算 sin43cos43oo-sin13的值等于（）A.12B.33C.22D.32【答案】 A 【解析】原式=1sin(43 -13 )=sin 30 =2ooo，故选 A。4（2019 年高考安徽卷理科9）动点,A x y在圆221xy上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周。已知时间0t时，点A的坐标是13(,)22，则当012t时

26、，动点A的纵坐标y关于t（单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页位：秒）的函数的单调递增区间是() A、0,1B、1,7C、7,12D、0,1和7,12【答案】 D 【解析】画出图形，设动点A 与x轴正方向夹角为，则0t时3，每秒钟旋转6，在0,1t上,32，在7,12上37,23，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的. 5.(2019年高考天津卷理科7) 在 ABC 中，内角A、 B、C 的对边分别是a、b、c，若223abbc，sinC=23sinB ，则 A=() （A）30（ B）60（ C ）120（ D

27、）150【答案】 A 【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得：2 3cb，所以因为余弦定理得：2(2 3 )32 322 3bbbbb32，所以 A=30，选 A. 6（ 2019 年高考四川卷理科6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是() （A）sin(2)10yx（B）sin(2)5yx（C）1sin()210yx（D）1sin()220yx【答案】 C 8（ 2019 年高考陕西卷理科3） 对于函数( )2sincosfxxx，下列选项中准确的是（）（A）( )f xf （x）

28、在（4，2）上是递增的（B）( )f x的图像关于原点对称（C）( )f x的最小正周期为2（D）( )f x的最大值为2 【答案】 B 【解析】xxf2sin，易知xf在2,4上是递减的，选项A错误 . xxf2sin，易知xf为奇函数，xf的图象关于原点对称，选项B准确 . xxf2sin，22T，选项C错误 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页xxf2sin，xf的最大值为1，选项D错误 . 9(2019 年高考全国2 卷理数7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像 (

29、) （A）向左平移4个长度单位（B）向右平移4个长度单位（C）向左平移2个长度单位（D）向右平移2个长度单位【答案】 B 【解析】sin(2)6yx=sin 2()12x，sin(2)3yx=sin2()6x，所以将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像，故选B. 10（ 2019 年高考上海市理科15）“24xkkZ”是“tan1x”成立的（）（A）充分不必要条件. （ B）必要不充分条件. （C）充分条件 . （D）既不充分也不必要条件. 【答案】 A 11. (2019年高考重庆市理科6) 已知函数sin(),(0,|)2yx的部分图象如题(6) 图所示

30、，则（）（A）1,6（B）1,6（C）(D) 【答案】 D 2T, 由五点作图法知232，=-6. 【 解 析 】12（2009 年高考广东卷A 文科第 9 题） 函数1)4(cos22xy是（）A最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数 D. 最小正周期为2的偶函数【答案】 A 【解析】因为22cos ()1cos 2sin 242yxxx为奇函数 ,22T, 所以选 A. 二填空题：13. (2019 年高考安徽卷江苏7) 已知, 2)4tan(x则xx2tantan的值为 _【答案】492,6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

31、 - - - - - -第 14 页，共 18 页【 解 析 】 因 为22tan()4tan2()41tan ()4xxx2221243, 而tan(2)2x=-cot2x,所 以3tan24x, 又因为tan1tan()241tanxxx, 所以解得1tan3x, 所以xx2tantan的值为49. 14 (2019年高考北京卷理科9) 在ABC中。若b=5，4B， tanA=2 ，则sinA=_ ；a=_ 。【答案】102552【解析】由tanA=2 得 sinA=2 55，由正弦定理容易求得2 10a. 15(2019 年高考福建卷理科14) 如图， ABC中， AB=AC=2 ，BC

32、=2 3，点 D在BC边上， ADC=45 ，则 AD的长度等于 _。【答案】2【解析】由正余弦定理容易求出结果. 16 (2019 年高考上海卷理科6) 在相距 2 千米的AB两点处测量目标C， 若0075 ,60CABCBA，则A、C两点之间的距离是千米。【答案】6【解析】由正弦定理得2sin60sin 45ACoo，解得 AC=6. 三解答题：17. (2019年 高 考 重 庆 卷 理 科16) 设2,cossincoscos2aR fxx axxx满 足()(0)3ff，求函数( )fx在11,424上的最大值和最小值【解析】22sincoscossinsin2cos22afxaxx

33、xxxx, 由()(0)3ff得311222ag，解得：2 3a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页所以3sin2cos22sin26fxxxx当,4 3x时，2,632x，fx为增函数，当11,324x时，32,624x，fx为减函数，所以fx在11,424上的最大值为()23f, 又因为()34f，11224f, 所以fx在11,424上的最小值为11224f. 18(2019 年高考北京卷理科15) 已知函数( )4cos sin()16f xxx。（）求( )f x的最小正周期：（）求( )f x在区间,6

34、4上的最大值和最小值。【解析】（）因为1)6sin(cos4)(xxxf所以)(xf的最小正周期为（）因为.32626,46xx所以于是，当6,262xx即时，)(xf取得最大值2；当)(,6,662xfxx时即取得最小值1. 19(2019 年高考福建卷理科16) 已知等比数列an 的公比 q=3，前 3 项和 S3=133。（I ）求数列 an的通项公式；（II ）若函数( )sin(2)(0,0)f xAxAp在6x处取得最大值，且最大值为a3，求函数 f （x）的解析式。20（2019 年高考山东卷理科17）已知函数211sin 2 sincoscossin0222fxxx ，其图象过

35、点（6,12）（）求的值；（）将函数yfx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数gyx的图象，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页求函数g x在0,4 上的最大值和最小值【解析】（）因为已知函数图象过点（6,12），所以有112221sin 2sincoscossin06622，即有331sincoscos022=sin(+)6，所以+62，解得3。（）由（）知3，所以211sin 2 sincoscossin0233223fxxx =2311sin2x+cos x-424=311+ cos2x

36、1sin2x+-=42241sin (2x+)26，所以g x=1sin(4x+)26，因为 x0,4 ，所以4x+67,66，所以当4x+62时，g x取最大值12；当4x+676时，g x取最小值14。21（2019 年高考福建卷理科19）O某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西30o且与该港口相距20 海里的 A 处，并以30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里 / 小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最

37、高航行速度只能达到30 海里 / 小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得10 3,AC=10,ACOCOC ACAC故且对于线段上任意点 P有OPOC，而小艇的最高航行速度只 能 达 到30海 里 / 小 时 ， 故 轮 船 与 小 艇 不 可 能 在A、 C（ 包 含C） 的 任 意 位 置 相 遇 ， 设COD=(0 90 ),10 3 tanRt CODCDoo则在中，OD=10 3cos，因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1010 3 tan30t和10 3costv，所以1010 3 t

38、an3010 3cosv，解得15 33,30,sin( +30 )sin( +30 )2vvoo又故，从而3090 ,30tanooo由于时，取得最小值，且最小值为33，于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页当30o时，1010 3 tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30o，航行速度为30 海里 / 小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 22 （ 2009年 高 考 北 京 卷 理 科 第15题 ） 在ABC中 ， 角,A B C的 对 边 分 别 为, , ,3a b c B，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页