2022年高考数学复习圆锥曲线 .pdf

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1、学习必备欢迎下载椭圆思想方法：一、函数与方程的思想、待定系数法1在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决2求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论3求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状， 设出其标准方程， 然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数 要注意解题过程中， 设而不求 、整体处理 的策略和 恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解4焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形习惯上称作焦点三角形， 在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：定义

2、正、余弦定理三角形面积二、解题技巧1求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2my2n1(m0，n0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便3求椭圆的离心率时，常常要列出a，b，c 的一个齐次方程，结合b2a2c2，两边同除以 a2化为 e(eca)的二次方程求解4椭圆上点 M 到焦点距离的最大值为ac，最小值为 ac. 命题方向 1：椭圆的标准方程例 1 已知椭圆x210my2m21 的焦距为 4，则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D

3、以上都不对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载变式练习：椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ( ) A.14B.12C2 D4 命题方向 2：椭圆的定义例 2 (2011 新课标全国高考 )在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为22.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 _变式练习：已知点 M(3，0)，椭圆x24y21 与直线 yk(x3)交于点 A、B，

4、则ABM 的周长为 ( ) A4 B8 C12 D16 命题方向 3：椭圆的离心率例 3：已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( ) A.32B.22C. 21 D.2变式练习：已知 F1、F2是椭圆x2k2y2k11 的左、右焦点，弦AB 过 F1，若ABF2的周长为 8，则椭圆的离心率为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载命题方向 4：椭圆中的最值问题例 4 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角

5、形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为 ( ) A1 B.2 C2 D2 2变式练习：设 P 是椭圆x225y291 上一点， M、N 分别是两圆： (x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则 |PM|PN|的最小值、最大值分别为 ( ) A9,12 B8,11 C8,12 D10,12 点评： 圆外一点 P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC|r，最小值为 |PC|r，其中 C 为圆心， r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心 M 、N，直线PM、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|PN|两圆半径和，最小值为 |PM|PN|两圆半径和 . 命题方向 5：椭圆与其

6、它知识的交汇例 5 曲线x210my26m1 (m6)与曲线x25ny29n1 (5n0? m23k21. xPxMxN23mk3k21，从而 yPkxPmm3k21， kAPyP1xPm3k213mk，又 |AM|AN|， AP MN，则m3k213mk1k，即 2m3k21.把代入得 m22m，解得 0m0，解得 m12. 综上求得 m 的取值范围是12m0，b0)的渐近线方程为ybax，而双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为yabx(即 xbay)应注意其区别与联系3平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点二、解题技巧1巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，

7、可设双曲线方程为mx2ny21(mnb0)的焦点相同，则可设其方程为x2a2y2b21(b20，b0)的一个焦点与抛物线y24x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为 ( ) A5x24y251 B.x25y241 C.y25x241 D5x25y241 变式练习 ：已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2) ，它们在 x 轴上有共同的一个焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是_ 命题方向 3：离心率例 3 已知 sin cos 15，双曲线 x2sin y2cos 1 的焦点在 y 轴上，则双曲线 C 的离心率 e_. 分析： 双曲线焦点的位置与方程中系数的正负有关

8、，焦点在 x 轴(或 y 轴)上，x2(或 y2)系数为正，非标准形式的方程求几何量时要先化为标准形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载变式练习： 若 kR，则方程x2k3y2k21 表示焦点在 x 轴上的双曲线的充要条件是 ( ) A3k2 Bk3 Ck2 Dk2 命题方向 4：双曲线的几何性质例 4 (2011 福州质检 )若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5 B5 C. 2 D2 变式练习：已知双曲线x2a2y2b21(a

9、0 ，b0) 和椭圆x216y291 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_ 命题方向 5：综合应用例 5设 F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF2|F1F2|，且 cosPF1F245，则双曲线的渐近线方程为( ) A3x 4y0 B3x 5y0 C4x 3y0 D5x 4y0 分析： 由双曲线定义知 |PF1|PF2|2a，由条件 |PF2|2c，依据cos PF1F245利用余弦定理可建立a与 c 的方程，结合 a2b2c2可求ba. 解析： 在 PF1F2中，由余弦定理得cos PF1F2

10、|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|PF1| |F1F2|PF1|24c |PF1|PF1|4c45. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载变式练习 ：过双曲线x2a2y2b21(a0 ，b0) 的左焦点 F1(c,0)(c0) ，作圆： x2y2a24的切线，切点为 E， 直线 F1E交双曲线右支于点P， 若OE12(OF1OP)，则双曲线的离心率为 ( ) A.10 B.105C.102D. 2 解析： 如图所示 OE12(OF1OP)， E 为 PF1的中点，又 PF1与O 相切， OE

11、PF1. 连接 PF2，则 PF1 PF2，|PF2|2|OE|a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 6 双曲线的中心为原点O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1、l2于 A、B 两点已知 |OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且 BF与FA同向(1)求双曲线的离心率；(2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解析： (1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c2a2b

12、2. 又BF与FA同向，故AOF 12 AOB ，所以2tan AOF1tan2 AOF43. 解得 tan AOF12，或 tan AOF2(舍去 )因此ba12，a2b，ca2b25b. 所以双曲线的离心率eca52. (2) 由a 2b知 ， 双 曲 线 的 方 程 可 化 为x2 4y2 4b2 由 l1的斜率为12，c5b知，直线 AB 的方程为y2(x5b) 将代入并化简，得15x232 5bx84b20. 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x1， y1)， (x2， y2)， 则 x1x232 5b15，x1 x284b215AB 被双曲线所截得的线段长l1 22 |x1x

13、2|5 x1x224x1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载将代入，并化简得l4b3，而由已知 l4，故 b3，a6.所以双曲线的方程为x236y291.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载抛物线解题技巧1由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论抓准抛物线的开口方向及p 的几何意义是准确迅速求解的关键2抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题

14、，常考虑应用定义求解(1)若抛物线 y22px(p0)的焦点弦为 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论： |AB|x1x2p；y1y2p2；x1x2p24. (2)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 Fp2，0 时，常设 l：xmyp2以简化运算3韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、 弦的中点、 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算4关于抛物线的最值问题(1)A 为抛物线弧内一定点， F 为焦点， P为抛物线上任一点，求 |PA|PF|的最小值问题常用定义转化，由A 向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的 P 点(2)直线 l 与抛物线

15、无公共点，求抛物线上的点到l 的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便典型例题：命题方向 1：抛物线的定义例 1 已知点 P为抛物线 y22x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影是 M，点A 的坐标是 A(72，4)，则|PA|PM|的最小值是 ( ) A.112B4 C.92D5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载变式练习 ：已知点 M(1,0)，直线 l：x1，点 B 是 l 上

16、的动点，过点 B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P，则点 P 的轨迹是 ( ) A抛物线B椭圆C双曲线的一支D直线命题方向 2：抛物线的标准方程例 2 (2010 北京西城区抽检 )抛物线 yax2的准线方程为 y1，则实数a的值是 ( ) A. 14B. 12C14D12变式练习 ：点 M(5,3)到抛物线 x2ay(a0)的准线的距离为 6，则抛物线的方程是_ _ 命题方向 3：抛物线的几何性质例 3 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点， A，B 是该抛物线上的两点， |AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( ) A.34B1 C.54D.74变式练习

17、：已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|12，P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为 ( ) A18 B24 C36 D48 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载命题方向 4：抛物线的焦点弦问题例 4 (2010 泰安市模拟 )如图，过抛物线y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线 l，交抛物线于 A、B 两点，且|FA|3，则抛物线的方程是 _变式练习： 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点

18、 F，且和 y 轴交于点 A.若OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线方程为 ( ) Ay2 4x By2 8x Cy24x Dy28x 命题方向 5：综合应用例 5设 F(1,0)，M 点在 x 轴上， P点在 y 轴上，且 MN2MP，PMPF. (1)当点 P在 y 轴上运动时，求N 点的轨迹 C 的方程；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上的三点，且 |AF|、|BF|、|DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与x 轴交于 E(3,0)时，求 B 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、- - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载课题巩固1、若椭圆x22y2m1 的离心率为12，则 m( ) A.3 B.32C.83D.83或322、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为 F1，且直线 MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于( ) A.31 B23C.22D.323、设 F1、F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是F1P 的中点， |OM|3，则 P点到椭圆左焦点距离为 _4、已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的长轴长为 4. (1)若以原点为圆心、 椭圆短半轴为半径的圆与直线yx

20、2 相切，求椭圆 C的焦点坐标；(2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于 M，N 两点，记直线 PM，PN 的斜率分别为kPM、kPN，当 kPM kPN14时，求椭圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载双曲线1若点 P(2,0)到双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为 ( ) A.2B.3C 22 D2 32已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上则双曲线的方程为

21、( ) A.x236y2108 1 B.x29y227 1 C.x2108y236 1 D.x227y291 3如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为 _4已知二次曲线 Ck的方程：x29ky24k1(kN*)(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线 Ck与直线 yx1 有公共点且实轴最长，求双曲线方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载抛物线1动点 P 到直线 xy40 的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点 P 的轨迹是 ( ) A 直 线B 抛 物 线C 椭 圆D双曲线2 从抛物线 y24x 上一点 P引抛物线准线的垂线， 垂足为 M， 且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则 MPF 的面积为 ( ) A5 B10 C20 D.153 已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且 |AB|9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OCOA OB，求 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页