2020届高考数学（理）课标版二轮复习训练习题：重难考点专题五第3讲第1课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题 .docx

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1、第3讲圆锥曲线的综合问题第一课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题解答题1.(2019河北九校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于M,N两点,且|MN|=8.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l为抛物线C的切线,且lMN,P为l上一点,求PMPN的最小值.解析(1)由题意可知Fp2,0,则直线MN的方程为y=x-p2,代入y2=2px(p0)得x2-3px+p24=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3p,|MN|=8,x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l的

2、方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0,直线l为抛物线C的切线,=0,解得b=1,直线l的方程为y=x+1.由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1,设P(m,m+1),则PM=(x1-m,y1-(m+1),PN=(x2-m,y2-(m+1),PMPN=(x1-m)(x2-m)+y1-(m+1)y2-(m+1)=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4,y12-y22=4(x1-x2),y1+y2=4x1-x2y1-y2=4,PMPN=1-6m+m2-4-4(m+1)+(

3、m+1)2=2(m2-4m-3)=2(m-2)2-7-14,当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,PMPN取得最小值-14.2.(2019河南洛阳尖子生联考)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值为M,|BF|的最小值为m,满足Mm=34a2.(1)若线段AB垂直于x轴时,|AB|=32,求椭圆的方程;(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记GFD的面积为S1,OED的面积为S2,求S1S2的取值范围.解析(1)由题意得F(-c,0),则根据椭圆的性质得,M=a+c,m=

4、a-c,又Mm=34a2,a2-c2=34a2,即a2=4c2,a=2c.又|AB|=2b2a=32,且a2=b2+c2,a=1,b2=34,椭圆的方程为x2+4y23=1.(2)由(1)可知a=2c,则b=a2-c2=3c,椭圆的方程为x24c2+y23c2=1.由题意知直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB的方程为y=k(x+c)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则由y=k(x+c),x24c2+y23c2=1消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0,x1+x2=-8ck24k2+3,y1+y2=k(x1+x2+2c)=6ck4k2+3,G-4ck24k2+3,3ck4k2+3.DGAB,设D(xD,0),3ck4k2+3-4ck24k2+3-xDk=-1,xD=-ck24k2+3.易得RtFGD与RtEOD相似,S1S2=GD2OD2=-4ck24k2+3+ck24k2+32+3ck4k2+32-ck24k2+32=9+9k29.故S1S2的取值范围是(9,+).