2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：考前冲刺 必备三 解题陷阱妙破 .docx

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1、必备三解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设置障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念理解概念抓本质例1若z=sin -35+cos-45i是纯虚数,则tan-4的值为.易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan-4的值为多个,从而错解.答案-7正确解析由

2、纯虚数的概念,可知sin-35=0,cos-450,由,得sin =35,故cos =1-sin2=1-352=45,而由,可得cos 45,故cos =-45,所以tan =sincos=-34,则tan-4=tan-tan41+tantan 4=-34-11+-341=-7.跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数、纯虚数、实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(,1),R,设a与b的夹角为.若为锐角,则的取值范围是.陷阱二错用结论公式定理要记准例2将函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移6个单位长度,

3、再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f 4=.易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案6+22正确解析将函数g(x)=4sin xcos x=2sin 2x的图象向左平移6个单位长度后得到函数y=2sin 2x+6=2sin2x+3的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin122x+3=2sinx+3.所以f4=2sin4+3=2sin4cos3+cos4

4、sin3=22212+2232=6+22.跳出陷阱解决三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin2x+6-cos2x+3+2cos2x.(1)求f12的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sin x的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三忽视验证特例情况要谨记例3已知椭圆y29+x28=1的半焦距为c,曲线上的任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大c.(1)求曲线的方程;(2)直线l过点F,交曲线于A,B两点,过

5、A,B分别作曲线的切线交于点P,判断 PFAB是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x-1),k0的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析(1)因为椭圆y29+x28=1的半焦距为c,所以c=9-8=1,因为曲线上的任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,所以曲线上的任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线为抛物线.设曲线的方程为y2=2px(p0),所以p2

6、=1,解得p=2,所以曲线的方程为y2=4x.(2)PFAB为定值.证明如下:当过点F的直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PFAB,所以PFAB=0.当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k0,由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以=-(2k2+4)2-4k2k2=16k2+160,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y10,y20),得y=2x,y=1x,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=1x1(x-x1),即y=xx1+x1;由y2=4x(yb0)与直线l

7、:x=m(mR),四点(3,1),(3,-1),(-22,0),(3,3)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线lMN.证明:直线l过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四讨论漏解参数标准要恰当例4已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(aR).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)当0a0,此时f (x)0,函数f(x)单调递减;当x(1,+)时,g(x)0,函数f(x)单调递增.当0a10,所以当x(0,1)时,g(x)0,此时f (

8、x)0,函数f(x)单调递减;当x1,1a-1时,g(x)0,函数f(x)单调递增;当x1a-1,+时,g(x)0,此时f (x)0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当0a0时,求f(x)的单调增区间;(2)若对任意的x12, f(x)2eb-1(bR),求ba的最大值;(3)若f(x)的极大值为-2,求不等式f(x)+ex0的解集.陷阱五条件遗漏细心审题不遗漏例5在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,ABC的面积为203,则ABC中最大角的正切值是.易错分析本题易忽视锐角三角形这一条件.

9、答案533正确解析由题意得203=12810sin Csin C=32C=3或C=23(舍),由余弦定理得,c2=82+102-281012=84,因为a=8,b=10,所以a2c20的图象在区间-3,3上的交点个数为.易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.答案6正确解析由可得f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称;由可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据先作出函数f(x)在-1,1上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在-3,-1上的图象,再作其关

10、于点(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在-3,3上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在-3,3上有6个交点.跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2019扬州期末,13)已知函数f(x)=a+3+4x-|x+a|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数列,则实数a的值为.陷阱八推理跳步步骤过程要合理例8(2019南通通州、海门联考,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AC,A1B1的

11、中点,且AB=BC.求证:(1)平面BMN平面ACC1A1;(2)MN平面BCC1B1.正确证明(1)因为M为棱AC的中点,且AB=BC,所以BMAC,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1A平面ABC,因为BM平面ABC,所以A1ABM,又因为AC,A1A平面ACC1A1,且ACA1A=A,所以BM平面ACC1A1,因为BM平面BMN,所以平面BMN平面ACC1A1.(2)如图,取BC的中点P,连接B1P,MP.因为M,P分别为棱AC,BC的中点,所以MPAB,且MP=12AB,因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1AB,A1B1=AB,且N为棱A1B1的中点,所以B1NB

12、A,且B1N=12BA,所以B1NPM,且B1N=PM,所以四边形MNB1P是平行四边形,所以MNPB1,又因为MN平面BCC1B1,PB1平面BCC1B1,所以MN平面BCC1B1.跟踪集训8.(2019南京六校联考,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC底面ABCD,点E为侧棱PB的中点.求证:(1)PD平面ACE;(2)平面PAC平面PBD.陷阱九转化不当由此及彼要等价例9f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x,aR.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)当aa恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在

13、,说明理由.易错分析该题易出现的问题是直接把 f(x2)-f(x1)x2-x1a转化为函数f(x)的导数的范围,即f (x)a,导致错解.正确解析f (x)=x-2ax+a-2=(x-2)(x+a)x(x0).(1)当a=1时, f(1)=-12, f (x)=(x-2)(x+1)x, f (1)=-2,所以所求的切线方程为y-12=-2(x-1),即4x+2y-3=0.(2)当-a=2,即a=-2时,f (x)=(x-2)2x0, f(x)在(0,+)上单调递增.当0-a2,即-2a0时,因为0x2时, f (x)0;-ax2时, f (x)2,即a-2时,因为0x-a时, f (x)0;当

14、2x-a时, f (x)0,所以f(x)在(0,2),(-a,+)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.(3)假设存在这样的实数a满足条件,不妨设x1a恒成立,知f(x2)-ax2f(x1)-ax1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=12x2-2aln x-2x,则函数g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)=x-2ax-20,即2ax2-2x=(x-1)2-1在(0,+)上恒成立,因为(x-1)2-1在(0,+)上的最小值为-1,所以a-12,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为-,-12.跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式

15、子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“f(x2)-f(x1)x2-x1”,其几何意义是曲线上两点(x1, f(x1)与(x2, f(x2)连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-bx,g(x)=2aln x.(1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a的值;(2)若a0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x1,x2(0,1(x1

16、x2),都有|F(x1)-F(x2)|31x1-1x2恒成立,求a的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x1,x2,其中x10,13,求G(x1)-G(x2)的最小值.陷阱十新定义不明用新定义要明确例10(2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a(aR),试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明理由;(2)若f(x)=2x+m是定义在区间-1,1上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;(3)若f(x)=4x-2x+1

17、m+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.易错分析对新定义“局部奇函数”理解不透彻或理解有误导致错误.正确解析f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内有解.(1)f(x)是“局部奇函数”.对于f(x)=ax2+x-4a(aR),方程f(x)+f(-x)=0即2a(x2-4)=0,解得x=2,所以f(x)为“局部奇函数”.(2)对于f(x)=2x+m, f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0,因为f(x)的定义域为-1,1,所以方程2x+2-x+2m=0在-1,1上有解.令t=2x,t12,2,则-2m=t+1t,设g(t)=t+

18、1t,则g(t)=1-1t2=t2-1t2,当t(0,1)时,g(t)0,故g(t)在(1,+)上为增函数.所以t12,2时,g(t)2,52.所以-2m2,52,故m-54,-1.(3)对于f(x)=4x-2x+1m+m2-3, f(x)+f(-x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.令t=2x+2-x,t2,+),则4x+4-x=t2-2,从而t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8,当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解,由F(2)0,即2m2-4m-40,解得1-3

19、m1+3;当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解,等价于=4m2-4(2m2-8)0,m2,F(2)0,解得1+3m22.综上,所求实数m的取值范围为m|1-3m22.跟踪集训10.(2019苏州期初,20)若对任意的实数k,b,函数y=f(x)+kx+b的图象与直线y=kx+b总相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.(1)判断函数f(x)=x2是不是“恒切函数”;(2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,求实数m,n满足的关系式;(3)若函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,求证:-14-12且2解析因为为锐角,所以0cos 0且2+

20、152+11,所以2+10,2+152+1,解得-12,2,所以的取值范围是-12且2.陷阱二错用结论公式定理要记准跟踪集训2.解析(1)f(x)=sin2x+6-cos2x+3+2cos2x=32sin 2x+12cos 2x-12cos 2x+32sin 2x+cos 2x+1=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+6+1,f12=2sin212+6+1=3+1.(2)令2k-22x+62k+2(kZ),解得k-3xk+6(kZ);令2k+22x+62k+32(kZ),解得k+6xk+23(kZ).f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ),f(x)的单调递减区间为k+6,k

21、+23(kZ).(3)变换步骤:(答案不唯一)y=sin x y=sin 2x y=sin2x+6 y=2sin2x+6 y=2sin2x+6+1.陷阱三忽视验证特例情况要谨记跟踪集训3.解析(1)由题意知有三个点在椭圆C上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,即9a2+1b2=1(ab0),若点(-22,0)在椭圆C上,则点(-22,0)必为椭圆C的左顶点,而322,则点(-22,0)一定不在椭圆C上,故点(3,3)在椭圆C上,点(-22,0)在直线l上,所以3a2+3b2=1,联立可解得a2=12,b2=4,所以椭圆C的方程为x212+y24=1.(2)证明:由(

22、1)可得直线l的方程为x=-22,设P(-22,y0),y0-233,233,当y00时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1x2,联立x1212+y124=1,x2212+y224=1,则x12-x2212+y12-y224=0,即y1-y2x1-x2=-13x1+x2y1+y2,又PM=PN,即点P为线段MN的中点,故直线MN的斜率为-13-22y0=223y0,又直线lMN,所以直线l的方程为y-y0=-3y022(x+22),即y=-3y022x+423,显然直线l过定点-423,0;当y0=0时,直线MN为x=-22,此时直线l为x轴,亦过点-423,0.综上所述,直线l过

23、定点,且该定点的坐标为-423,0.陷阱四讨论漏解参数标准要恰当跟踪集训4.解析(1)f(x)的定义域为(0,e-1)(e-1,+).f (x)=2ax(1+lnx)-ax21x(1+lnx)2=2ax12+lnx(1+lnx)2,令f (x)0,因为a0,所以xe-12,因为e-12e-1,所以f(x)的单调增区间是(e-12,+).(2)当a0时, f(1)=a00时,令f (x)0,得0xe-1或e-1x0,则babeb.设g(b)=beb(b0),则g(b)=1-beb.当0b0;当b1时,g(b)0时, f(x)无极大值,不符合题意.当a0时, f(x)在(0,e-1)和(e-1,e

24、-12)上单调递增;在(e-12,+)上单调递减,所以f(x)在x=e-12处取极大值,且f(e-12)=2ae=-2,故a=-e.设F(x)=f(x)+ex,即F(x)=ex-ex21+lnx,当x(0,e-1),1+ln x0;当x(e-1,+),F(x)=ex-ex(1+2lnx)(1+lnx)2,由(2)知,exex,又1+2ln x(1+ln x)2,所以F(x)0,且F(x)不恒为零,所以F(x)在(e-1,+)上单调递增.不等式f(x)+ex0,即F(x)0=F(1),所以e-1x1,即不等式的解集为(e-1,1).陷阱五条件遗漏细心审题不遗漏跟踪集训5.答案(2,+)解析不妨设

25、ABC,则abc,A+C=2B=-B,B=3,0A3,2C=23-A0A6,0tan A32,m=ca=sinCsinA=sin23-AsinA=32cosA+12sinAsinA=12+32tanA2,即实数m的取值范围是(2,+).陷阱六推理不当归纳类比要合理跟踪集训6.解析(1)若a1,a2,anR,a1+a2+an=1,则a12+a22+an21n.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,则f(x)=nx2-2(a1+a2+an)x+a12+a22+an2=nx2-2x+a12+a22+an2,对一切xR,恒有f(x)0,=4-4n(a12+a22

26、+an2)0,从而得a12+a22+an21n.陷阱七画图不准数化“形”要准确跟踪集训7.答案116或-1-332解析由f(x)=a+3+4x-|x+a|=0,得4x+3=|x+a|-a,原函数有三个零点,即函数y=4x+3与y=|x+a|-a=x,x-a,-x-2a,x-a的图象有且仅有三个交点,设三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1x20,所以a0,b=-1时,F(x)=x2+1+2aln x,F(x)=2x+2ax0,所以F(x)在(0,1上递增.不妨设0x1x21,原不等式F(x2)-F(x1)31x1-1x2,即F(x2)+3x20,所以00),由题意知x1,x2是x2+2

27、ax+1=0的两根,x1x2=1, x1+x2=-2a,x2=1x1,2a=-x1-1x1,G(x1)-G(x2)=G(x1)-G1x1=2x1-1x1-x1+1x1ln x1.令H(x)=2x-1x-x+1xlnx,H(x)=21x2-1ln x=2(1+x)(1-x)lnxx2.当x0,13时,H(x)0,所以H(x)在0,13上单调递减,H(x)的最小值为H13=20ln3-163,即G(x1)-G(x2)的最小值为20ln3-163.陷阱十新定义不明用新定义要明确跟踪集训10.解析(1)函数f(x)=x2为“恒切函数”.设切点为(x0,y0).则f(x0)+kx0+b=kx0+b,f

28、(x0)+k=k,f(x0)=0,f (x0)=0.对于函数f(x)=x2, f (x)=2x,x02=0,2x0=0,解得x0=0.f(x)=x2是“恒切函数”.(2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,设切点为(x0,y0),f (x)=mx+n,mln x0+nx0=0,mx0+n=0,解得ln x0=1,即x0=e.实数m,n满足的关系式为m+ne=0.(3)证明:函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,设切点为(x0,y0).f (x)=(2ex-x-2)ex,(ex0-x0-1)ex0+m=0,(2ex0-x0-2)ex0=0,m=-(ex0-x0-1)ex0,2ex0=x0+2.求方程2ex=x+2的解,设g(x)=2ex-x-2.g(x)=2ex-1,令g(x)=0,解得x=-ln 2.当x(-,-ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增.g(x)min=g(-ln 2)=ln 2-10,g(-1)=2e-10,g(x)=2ex-x-2在(-,-ln 2)上有唯一零点x0(-2,-1).又m=-(ex0-x0-1)ex0=14x0(x0+2),m-14,0.当x(-ln 2,+)时,g(0)=0,g(x)=2ex-x-2在(-ln 2,+)上有唯一零点0,m=0.综上可知,-14m0.