2022年柯西不等式各种形式的证明及其应用 .pdf

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1、柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,naa ab bc bd令，得二维形式22222bdacdcba等号成立条件：dcbab

2、cad/扩展：2222222221231231 12233nnnnaaaabbbba ba ba ba b等号成立条件：1122000:,1,2,3,iiiinniiabababababab in当或时，和 都等于 ，不考虑二维形式的证明：22222222222222222222222, , ,220=abcda b c dRa cb da db ca cabcdb da dabcdb cacbdadbcacbdadbcad bc等号在且仅在即时成立三角形式222222abcdacbdadbc等号成立条件：三角形式的证明：222111nnnkkkkkkkaba b精选学习资料 - - - -

3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页22222222222222222222222222222222-2abcdabcdabcdabcdacbdaaccbbddacbdabcdacbd注： 表示绝对值两边开根号，得向量形式123123=,2=nna aaab b bbnN nR，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：1231231 1223322222222123123222222221 12233123123=,cos,cos,cos,1nnnnnnnnnnma a aanb b bbm na ba ba ba bm nm naaaabbb

4、bm nm naba ba ba baaaabbbbu rrLLu r ru r ru r rLu r rLLu r rQLLL令一般形式211212nkkknkknkkbaba1122:nniiabababab等号成立条件：，或、均为零。一般形式的证明：211212nkkknkknkkbaba证明：222222=/ 2=/ 2ijjiiijjjjiia ba bnaba ba babnLLLL不等式左边共项不等式右边共项用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。推广形式 (卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和

5、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页12121212121111111231111,mnnmmmnmmmmmmmmiiiiniiiixxxxxxxxxxxxxm nNLLLLL其中，或者 ：111111,mmmnnmijijjijiijxxm nNxR其中，或者11221111nnnnnnxyxyxyxyxxyLLLLLL注：表示， ， ，x 的乘积，其余同理推广形式的证明：推广形式证法一：111222112112121212112112121212112,+nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxyAxyAxy

6、xxxxAAAx xxnA AAA AAyyyyAAAy yynA AAA AAnxA AALLLLLLLLLLLLL LL记由平均不等式得同理可得上述 个不等式叠加，得11121111112112211+nnnnnnnnnnnnnnyA AAxyA AAxyxyxyxyxyLLLLLLLLLL即即，证毕精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下：111111221111111111111111111mmjjnnmjjjii

7、immjjnnmjjjiiimmjnjnnnmjjjijiiimmnjknkjjiimjkjmnjiijxxmxxjixxmxxjixxmxxxxxxL L由均值不等式同理有以上各式相加得上式也即11111111,1mnkmmnnmjkjikijjxxm该式整理，得：得卡尔松不等式，证毕付：柯西（ Cauchy ）不等式相关证明方法：22211nnbababa222221222221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（ k 为常数，ni2 ,1）现将它的证明介绍如下：证明 1：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=222221

8、21 122122nnnnnnaaaxa ba ba bxbbbLLL22120nnaaaQL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页0fx恒成立222221 1221212440nnnnnna ba ba baaabbbQLLL即222221 1221212nnnnnna ba ba baaabbbLLL当且仅当01,2iia xbxinL即1212nnaaabbbL时等号成立证明（ 2）数学归纳法（1）当1n时左式 =21 1ab右式 =21 1ab显然左式 =右式当2n时，右式222222222212121 122

9、2112aabba ba ba ba b2221 12212 1212222aba ba a bba ba b右式仅当即2112a ba b即1212aabb时等号成立故1,2n时 不等式成立（2）假设nk,2kk时，不等式成立即222221 1221212kkkkkkaba ba baaabbbLLL当iikab，k 为常数，1,2inL或120kaaaL时等号成立设22212kaaaL22212kbbbL1 122kkCa ba ba bL则2222211111kkkkkabbab22221111112kkkkkkCCababCab22222222121121kkkkaaaabbbbLL2

10、1 12211kkkka ba ba babL当iikab，k 为常数，1,2inL或120kaaaL时等号成立即1nk时不等式成立综合（ 1） （2）可知不等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例 1：设 a、b、c 为正数且互不相等。求证：2222abbc acabcf. abcQ 、 、均为正数111292=abcabbcacabcabbcacf为证结论正确，只需证:而为证结论正确，只需证：又29(1 1 1)Q只需证 :211121111 1 19abcabbca

11、cabbcacabbcac又abcQ 、 、互不相等，所以不能取等原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例 2：354 9yxx求函数的最大值。函数的定义域为5， 9,0y f354 93242252 95*21045=3 96.44yxxxxxxx函数仅在，即时取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点00,xy及直线:l0 xyC220设点 p 是直线l上的任意一点，则0 xxC（1）22120101p pxxyy（2）点12p p两点间的距离12p p就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有222201010101xxyyxxyy0011xyCxyC精选学习资料 - -

12、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页由（ 1） （2）得：221200p pxyCg即001222xyCp p（ 3）当且仅当0101:yyxx12p pl（3）式取等号即点到直线的距离公式即001222xyCp p4、 证明不等式例 3 已知正数, ,a b c满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abca ab bc c222333222abcabc2333abcabc1abcQ又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc2

13、2223332223abcabcabc?Q故2223333abcabc5、 解三角形的相关问题例 4 设p是ABCV内的一点，, ,x y z是p到三边, ,a b c的距离，R是ABCV外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页111xyzaxbyczabc111axbyczabcg记S为ABCV的面积，则2242abcabcaxbyczSRRg122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。6、 求最值例 5 已知实数,

14、 ,a b c ,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd时等号成立，代入111,36bcd时，max2a211,33bcd时min1a7、利用柯西不等式解方程例 6 在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：由柯西不等式，得222222286248624xyzxyyQ2222228624xyz2964364 144394又22862439xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

15、- - - - - - -第 8 页，共 11 页222222286248624xyzxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数12211()()niiinniiiixxyyxxyyr=，并指出1r且r越接近于 1，相关程度越大，r越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记iiaxx，iibyy，则，12211niiinniiiiababr=，由柯西不等式有，1r当1r时，222111nnniiiiiiia

16、bab此时，iiiiyybkxxa，k为常数。点,iix yni2, 1均在直线yyk xx上，r当1r时，222111nnniiiiiiia bab即2221110nnniiiiiiia bab而22221111nnniiiiijjiiiiijna baba ba b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页210ijjiijnaba b0ijjiaba b,iibk ka为常数。此时，此时，iiiiyybkxxa，k为常数点,iix y均在直线yyk xx附近，所以r越接近于1，相关程度越大当0r时，,iia b不具备

17、上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点,iix y都在直线yyk xx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。9、关于不等式22222)()(bdacdcba的几何背景几何背景 ：如图，在三角形OPQ中，QOPdcQbaP),(),(，则,2222dcOQbaOP Q（c，d）.)()(22dbcaPQ O P（a，b）将以上三式代入余弦定理cos2222OQOPOQOPPQ，并化简，可得2222cosdcbabdac或.)()(cos222222dcbabdac因为1cos02，所以，1)()(22222dcbabdac，于是22222)()(bdacdcba. 柯西不等式的相关内容简

18、介（1）赫尔德 (Holder)不等式)111()()(2211121121qpbabababbbaaannqqnqqppnpp当2qp时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）22222112222122221)()()(nnnnbabababbbaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页可以借助其二维形式22221122212221)()(bababbaa来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式

19、的正确性。该不等式的一般形式ppnnppppnppppnppbabababbbaaa12211121121)()()()()(称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种 “距离”的基础上得到的， 即对于点),(),(2121nnyyyyxxxx，定义其距离为pnipiiyxyx1)(),(. 闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页