2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第5章 第1节　平面向量的概念及线性运算 .doc

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1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在备考中一般为2个客观题.2.考查内容(1)对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档.(2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题.3.备考策略(1)深刻理解并掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量的模及夹角的运算.(2)掌握复数的概念、复数的模、共轭复数、复数的几何意义及四则运算.第一节平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表

2、示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义(对应学生用书第82页)1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量规定零向量的相反向量仍是零向量(6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行2向量的线性运算向量运算定

3、义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)() a；()aa a；(ab)ab3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.1若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则

4、()2.(，为实数)O不在直线AB上，若点A，B，C共线，则1.3一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量4与非零向量a共线的单位向量为.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(3)若ab，bc，则ac.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如图， ABCD的对角线交于点M，若a，b，用a，b表示为()A.a

5、bB.abCabDabD由题意可知ba，又2，(ba)ba，故选D.2对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件3已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)baab如图，ba，ab.4在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_矩形如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形(对应学生用书第83页)考点1平面向量的概念辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的

6、关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中正确命题的个数为()A1B2C3D4A错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，无论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可

7、以是任意向量2给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab或ab；若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；其中真命题的序号是_错误两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反正确因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形错误当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件(1)只要不改变向量a的大小和方向，可以

8、自由平移a，平移后的向量与a相等(2)在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧考点2平面向量的线性运算向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解向量的线性运算(1)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C.D.(2) (2019皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC

9、，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()ABCD(1)A(2)B(1)()，故选A.(2)根据平面向量的运算法则得，.因为，所以，故选B.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解根据向量线性运算求参数(2019山西师大附中模拟)在ABC中，P是直线BN上一点，若m，则实数m的值为()A4B1 C1D4B，5.又m，m2，由B，P，N三点共线可知，m21，m1.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三

10、角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值1.(2019西宁模拟)如图，在ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，则用向量，表示为()A.B.C.D.B由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得().2(2019枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A2B3 C2D3D由可知()，又，解得3，故选D.3在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.()xy，x，y.考点3共线向量定理的应用共线向量定理的三个应用证明向量共线对于向量a，b，若存在实数，使ab(b0)，则a与b共线证明三点共线若存在实数，使，则A，B，C三

11、点共线求参数的值利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.母题探究若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解(amb)3(ab)4a(m3

12、)b，即4a(m3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使.即4a(m3)b(ab)解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线利用向量共线定理解决问题应注意两点(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线1.在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对C由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形2已知向量e10，R，ae1e2，b2e1，若向量a与向量b共线，则()A0Be20Ce1e2De1e2或0D因为向量e10，R，ae1e2，b2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得akb，所以e1e22ke1，所以e2(2k1)e1，所以e1e2或0.3已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A.B.C.D.B设E是BC边的中点，则()，由题意得，所以()，又因为B，O，D三点共线，所以1，解得t，故选B.