2022年数学三大危机相关内容整理.docx

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1、2022年数学三大危机相关内容整理 数学发展史中的三次“危机” 数学经常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科, 但在数学的发 展史中,却经验了三次危机。下面给大家带来一些关于数学三大危机相关内容整理，希望对大家有所帮助。 一.数学三大危机 数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。 危机一，希巴斯(Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右)发觉了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即2的2次方根)恒久无法用最简整数比(不行公度比)来表示，从而发觉了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的闻名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发觉而把希巴斯抛入大海。 危机二，

2、微积分的合理性遭到严峻质疑，险些要把整个微积分理论推翻。 危机三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗?用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎!”问小明究竟撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深学问，它很简洁，却可以轻松摧毁集合理论。 二.第一次危机 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的闻名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神奇主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的闻名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

3、然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。 毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希巴斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发觉这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希巴斯的发觉导致了数学史上第一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它干脆动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。事实上，这一宏大发觉不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时全部古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都

4、可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今日，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的。可是为我们的阅历所确信的，完全符合常识的论断尽然被小小的的存在而推翻了。这应当是多么违反常识，多么荒谬的事。它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无方法。这就在当时干脆导致了人们相识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 三.其次次危机 出现其次次数学危机导源于微积分工具的运用。伴随着人们科学理论与实践相识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锋利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发觉。这一工具一问世，就显示

5、出它的非凡威力。许很多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 解决经过柯西(微积分收官人)用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌漂亮。 四.第三次危机 出现 十九世纪下半叶，康托尔创立了闻名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到很多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广阔数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发觉，

6、从自然数与康托尔集合论动身可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发觉使数学家们为之沉醉。1900年，国际数学家大会上，法国闻名数学家庞加莱就曾兴致勃勃地宣称：“借助集合论概念，我们可以建立整个数学大厦今日，我们可以说肯定的严格性已经达到了” 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的闻名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢?依据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有

7、意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。假如S属于S，依据S的定义，S就不属于S;反之，假如S不属于S，同样依据定义，S就属于S。无论如何都是冲突的。 其实，在罗素之前集合论中就已经发觉了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发觉了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的很多困难理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的留意。罗素悖论则不同。它特别浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大振动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后难过地说：“一个科学家所遇到

8、的最不合心愿的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的什么是数的本质和作用一文的再版。可以说，这一悖论就像在安静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 解决 解除悖论 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来解除悖论，这就须要建立新的原则。“这些原则必需足够狭窄，以保证解除一切冲突;另一方面又必需充分广袤，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其

9、他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴实集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。 公理化集合系统 胜利解除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的须要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的探讨。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围围着数学基础之争，形成了现代数学史上闻名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。 数学三大危机相关内容整理第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页