2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第9章 第10节 圆锥曲线中的范围、最值问题 .doc

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1、第十节圆锥曲线中的范围、最值问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想.3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题考点1范围问题求参数范围的4种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解(2019山师附中模拟)已知椭圆C：1，直线l：ykxm(m0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点(1)若|m|，求实数k的取值范围；(

2、2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求OAB的面积的取值范围解(1)联立方程1和ykxm，得(23k2)x26kmx3m260，所以(6km)24(23k2)(3m26)0，所以m23，即k2，解得k或kb0)过点，且椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)过点作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围解(1)椭圆C过点，1，椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点，a2c，a2b2c2，b2a2，由得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方

3、程为xmy.由方程组消去x，并整理得4(3m24)y212my450.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)y1y2，y0，x0my0，k.当m0时，k0当m0时，k，当m0时，4m8，0.0k，当m0时，4m8，k0.k且k0.综合、可知，直线MA的斜率k的取值范围是.1.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为

4、方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2|.因为x1(1x0b0)的焦距为4，且过点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围解(1)椭圆C：1(ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0,2)，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，2)，8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将

5、直线l的方程代入椭圆C的方程得到：(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448，因为010，所以82，综上所述，的取值范围是8,2考点2最值问题圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围利用基本不等式求最值已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求

6、线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(

7、2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为2yx40.利用函数性质求最值在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|.(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解(1)点A

8、在C上，|AO|AF|，p2，C的方程为x24y.(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，y1y24k22b，线段PQ的中点的纵坐标为1，2k2b1，OPQ的面积Sbb(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增，b1时，OPQ的面积的最大值为2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等教师备选例题如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F

9、的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G点坐标解(1)由抛物线的性质可得：1，p2，抛物线的准线方程为x1；(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)，令yA2t，t0，则xAt2，由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得：y2y40，2tyB4，即yB，B(，)，又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)，重心在x轴上，2tyC0，C，G，直线AC的方程为y2t2

10、t(xt2)，得Q(t21,0)，Q在焦点F的右侧，t22，2，令mt22，则m0，2221，当m时，取得最小值为1，此时G(2,0)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.