2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的综合应用 .doc
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1、第七节正弦定理、余弦定理的综合应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)图图2方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.()(3)
2、方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为_m.50由正弦定理得,又B30,AB50(m)2.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30,沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60,则山高h_米a由题图可得PAQ30,BAQ15,PAB中,PAB15,又PBC60,BPA(90)(90)30,
3、PBa,PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a.3.如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DCa,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB_.a由已知得DAC30,ADC为等腰三角形,ACa,所以在RtACB中,ABACsinACBa.考点1解三角形中的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解(4)检验检验上述所求的解
4、是否符合实际意义,从而得出实际问题的解(1)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距_m.(2)如图,高山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚 B处看索道AC,发现张角ABC120;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角ADC150;从D处再攀登800米可到达C处,则索道AC的长为_米(1)10(2)400(1)如图,OMAOtan 4530(m),ONAOtan 303010(m),在MON中,由余弦定理得,MN10(m)(2)在ABD中,B
5、D400米,ABD120.因为ADC150,所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理,可得,所以,得AD400(米)在ADC中,DC800米,ADC150,由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213,解得AC400(米)故索道AC的长为400米(1)实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB,BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB,ADB,CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB,ACb,BCa用余弦定理AB河两岸ACB,ABC,CBa用正弦定理AB求水平距离
6、河对岸ADC,BDC,BCD,ACD,CDa在ADC中,AC;在BDC中,BC;在ABC中,应用余弦定理求AB(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图),并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)1.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15的方向上,这时船与灯塔的距离为_km.30如图,由题意知,BAC30,ACB105,B45,AC60,由正弦定理得,BC30(km)2.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏
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