2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第13章 第1节 绝对值不等式 .doc

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1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分2.考查内容 (1)含绝对值不等式主要考查其解法及利用不等式恒成立求参数的值或范围；(2)不等式的证明主要考查用均值不等式、柯西不等式证明不等式3.备考策略从2019年高考试题可以看出，试题难度较前几年有所提升，注重了逻辑思维和等价转化能力的考查.第一节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xa|xb|c

2、.1绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想2绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|b

3、c|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7)B(2,1(4,7C(2，14,7)D(2,14,7)D由题意得 即 解得 不等式的解集为(2,14,7)2不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)A当x1时，原不等式等价于1x(5x)2，即4

4、2，恒成立，x1.当1x5时，原不等式等价于x1(5x)2，即x5时，原不等式等价于x1(x5)2，即42，无解综合知x4.3若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.2|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.4若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_2,4利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为2a4.考点1含绝对值不等式的解法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不

5、等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解 (1)(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围(2)(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)当a1时，求不等式f(x)0的解集；若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(

6、x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1(2)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0所以a的取值范围是1，)(1)解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，选用几何法或图像法求解较为简单若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍；(2)不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问

7、题解决1.已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，由f(x)g(x)，得|2x1|x|.两边平方整理，得3x24x10，解得x1或x.所以原不等式的解集为(，1.(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x|.令h(x)|2x1|x|，则h(x)由分段函数图像可知h(x)minh，从而所求实数a的取值范围为.2已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)由题意得f(x)故yf(x)的图像如图所示(2)由f(x)的

8、表达式及图像可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为.考点2绝对值不等式性质的应用1.求含绝对值的函数最值，常用的3种方法(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法2利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式 (1)若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值(2)(2018全国卷)设

9、函数f(x)5|xa|x2|.当a1时，求不等式f(x)0的解集；若f(x)1，求a的取值范围解(1)由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，得|2x3y1|的最大值为7.(2)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，) 对于求y或y型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y的函数只有最小值，形如y的函数既有最大值又有最小值教师备选例题1若a2，xR，证明：|x1a|xa|3.证明因为|x1a|xa|

10、(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，即|x1a|xa|3成立2对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对于x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)1.解(1)f(x)0，当x0，得x0，所以无解；当0x时，x(2x1)10，得x0，所以0时，x(2x1)10，得x2，所以x2.故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|

11、2|xy1|2y1|2a有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解(1)(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.求不等式f(x)1的解集；若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围(2)(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.画出yf(x)的图像；当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2

12、|x2x.故m的取值范围为.(2)f(x)yf(x)的图像如图所示由知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5. (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法1.(2019武汉模拟)已知f(x)|xa|x3|.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)3的解集非空，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x3|x1x3|2，f(x)的最小值为2，当且仅当1x3时取得最小值(2)xR时，恒

13、有|xa|x3|(xa)(x3)|3a|，又不等式f(x)3的解集非空，|3a|3，0a6.a的取值范围为0,62设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 019时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得，当a2 019时，f(x)因为f(x)在2 019，)上单调递增，所以f(x)的值域为2 019，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a3.即a的取值范围是(，3)(1，)