2021高三数学北师大版（文）一轮课后限时集训：56 圆锥曲线中的定点与定值问题 .doc

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1、圆锥曲线中的定点与定值问题建议用时：45分钟1(2019威海模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t，2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为，证明直线MN过定点，并求出定点的坐标解(1)设Q(x0,4)，由抛物线的定义，得|QF|x0，又|QF|2|PQ|，2x0x0，解得x0，将点Q代入抛物线C的方程，得p4.(2)由(1)知抛物线C的方程为y28x，点T的坐标为，设直线MN的方程为xmyn，点M，N，由得y28my8n0，y1y28m，

2、y1y28n，kMTkNT，解得nm1，直线MN的方程为x1m(y1)，过定点(1，1)2(2019郑州模拟)已知F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且(4,0)(1)求抛物线C的方程(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2x1|3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问ABN的面积是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由解(1)设M(x0，y0)，由题知F，所以(4,0)，所以则将其代入x22py(p0)中，得16p2，解得p4或p4(舍去)，所以抛物线C的方程为x28y.(2)由题意知，直线AB的

3、斜率存在，设直线AB的方程为ykxb.联立整理得x28kx8b0，则x1x28k，x1x28b，所以y1y2k(x1x2)2b8k22b，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2b)，由条件设切线的方程为ykxt(tb)，联立整理得x28kx8t0.因为直线l与抛物线C相切，所以64k232t0，所以t2k2.则x28kx16k20，解得x4k，所以y2k2.所以切点N的坐标为(4k,2k2)又点Q的坐标为(4k,4k2b)所以NQx轴，所以|NQ|4k2b2k22k2b，因为|x2x1|3，(x2x1)2(x2x1)24x1x264k232b，所以2k2b.所以SABN|NQ|x2x1

4、|(2k2b)|x2x1|，所以ABN的面积为定值，且定值为.3(2019黄山模拟)椭圆C：1(ab0)的两个焦点F1(c,0)，F2(c,0)，设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)当bc时，A，B为椭圆C上的动点，且PAPB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由解(1)依题意，四边形PF1QF2的面积为2，则4bc2，即bc，四边形PF1QF2的内切圆周长为，设内切圆半径为r.由2r，得r，由bcar，得a2，又a2b2c24，且bc，所以或所以椭圆C的方程为1或y21.(2)因为bc，所以椭圆C的方程为1，则P(0，)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm，联立消去y，得(4k23)x28kmx4m2120，则x1x2，x1x2，64k2m24(4k23)(4m212)0(*)，由PAPB，可得0，即(x10)(x20)(y1)(y2)0，即x1x2y1y2(y1y2)30，又y1kx1m，y2kx2m，所以m22m30，整理得0，解得m(舍去)或m.因为m满足(*)式，所以直线AB的方程为ykx.故直线AB恒过定点.