2021高三数学北师大版（文）一轮课后限时集训：69 不等式的证明 .doc

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1、不等式的证明建议用时：45分钟1(1)已知a，b，c均为正实数，且abc1，证明9；(2)已知a，b，c均为正实数，且abc1，证明.证明(1)因为abc1，所以11139，当abc时等号成立(2)因为.又因为abc1，所以c，b，a，.当abc时等号成立，即原不等式成立2已知函数f(x)|xm|(m1)(1)当m2时，求不等式1的解集；(2)设g(x)f，记p(x)f(x)g(x)，证明：p(x)3.解(1)m2，f(x)|x2|，不等式1，即为1，即0，上述不等式同解于，即x0，或即2x，或即x2，由得不等式的解集为.(2)证明：g(x)f，p(x)|xm|，|xm|，p(x)，m1，p(

2、x)2m，h(m)2m在区间1，)上是增函数，h(m)3，p(x)3.3已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，求证：f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意，|x1|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210

3、，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立4(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.