2022年根轨迹法习题和答案 .pdf

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1、多练出技巧巧思出硕果第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为)4s)(2s)(1s(K) s(H) s(G*试证明3j1s1在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。解若点1s在根轨迹上，则点1s应满足相角条件)12()()(ksHsG，如图所示。对于31js，由相角条件)s(H)s(G11) 13j1(0)43j1()23j1(6320满足相角条件，因此311js在根轨迹上。将1s代入幅值条件：143j123j113j1KsH)s(G*11）（解出：12K*，238KK*4-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b时系统的

2、闭环传递函数。（1）)bs)(4s(02) s(G（2）)bs)(2s(s)b2s(01)s(G解(1) )4j2s)(4j2s()4s(b20s4s)4s(b)s(G228s6s20)s(G1)s (G)s(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果(2) )10s2s( s)20s2s(b) s(G22=)3 j1s)(3 j1s( s)19j1s)(19j1s(b40s14s4s)4s(10) s(G1)s(G)s(234-3已知单位反馈系统的开环传递函数)bs)(4s(s2)s(G，试绘制参数

3、b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2 这一点对应的闭环传递函数。解)6s(s)4s(b) s(G根轨迹如图。2s时4b，)8s)(2s (s216s10ss2)s(24-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。) 1s5. 0)(1s2 .0( sk) s(G(2) )1s2( s)1s(k)s(G(3) )3s)(2s( s)5s(k)s(G*(4) ) 1s(s)2s)(1s(*k)s(G解 )2s)(5s(sK10) 1s5.0)(1s2.0( sK)s(G三个开环极点：0p1,2p2,5p3 实轴上的根轨迹：5, 0,2 渐近线：,33)1k2(373520a

4、a 分离点：02d15d1d1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果解之得：88.0d1，7863.3d2(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为0k10s10s7s) s(D23令010)j (DIm0k107)j (DRe32解得7k10与虚轴的交点（0，j10） 。根轨迹如图所示。)21s( s2) 1s(K) 1s2( s) 1s(K) s(G根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：1, 0 ,5 .0 分离点：1d15.0d1d1解之得：707.1d,293.0d。根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下：

5、实轴上的根轨迹：3, 5, 0 ,2 渐近线：22)12(02)5(320kaa 分离点：5131211dddd用试探法可得886.0d。根轨迹如图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,-1,-2 分离点：2d11d11d1d1求解得：37. 1d37. 0d21，根轨迹如图所示。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为) 101s.0)(102s.0(sk)s(G要求： (1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值；

6、(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。解(1) )100s)(50s(sk5000)1s01.0)(1s02.0( sk)s (G 实轴上的根轨迹：0, -50,-100,- 分离点：0100d150d1d1求解得87.78d13.21d21， 渐近线：ooaa1806050，根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时150k750000k*，(3) 系统临界阻尼比时62. 9k5.48112k*，4-6 已知系统的开环传递函数为)20s8s(sk) s(H) s(G2*，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

7、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果解)20s8s( sK) s(H) s(G2实轴上的根轨迹：0,渐近线：,33) 1k2(383)2j4()2 j4(0aa分离点：02j4d12j4d1d1解之得：33.3d,2d。与虚轴交点：ks20s8s)s(D23把js代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：020)j (DIm(08k)j (DRe(32解得：0k0160k52起始角：由相角条件632p，633p。根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k8.14*所以8.0k74.04-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s74()

8、1s()1s2(k) s(G2，试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：4/75. 0 ， 渐近线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果22)1k2(812)5.0(4/711aa 与虚轴交点：闭环特征方程为01ks)710k2(s71s74)s(D23把js代入上方程，令074)710K2()j (DIm(0711K)j (DRe(32解得：1K0，79K2根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为79K1。4-8 已知控制系统的开环传递函数如

9、下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。22)9s4s(2sK) s(H) s(G）（解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2, 渐近线：,33) 1k2(323)2(5j25j2aa 分离点：2d15j2d25j2d2解之得：29.3d71.0d(舍去 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果与虚轴交点：闭环特征方程为02sK)9s4s() s (D22）（把js代入上方程，令08)K72()j (DIm(0K28134)j (DRe(324解得：96K21起始角：）（）（1k29022901p

10、解出135,4521pp根轨迹如图所示。4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和 T 为变化参数的根轨迹。(1) )1s(s)as(4/1)s(G2，0a；(2) )1T s)(11s.0(s6 .2) s(G，0T解 (1) 2)5.0s( s4/a)s(G 实轴上的根轨迹：)0(， 渐近线：ooaa180603/1， 分离点：6/1d根轨迹如图所示。(2) 26s10s)10s(T s)s(G22 实轴上的根轨迹：)0(， 起始角终止角：oop11o180)90(51tg)51tg180(2解得起始角op7 .78o11oz180)51tg51tg(02解得终止角oz90根轨迹

11、如图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。)18s() 1s() 1s(k) s(H) s(G2解实轴上的根轨迹： 118，分离点：22.4d1，28. 6d2渐近线：5. 7a，oa90与虚轴交点：j86.1s2, 1，7.37k*根轨迹如图所示。6.116kd*1处，6 .117kd*2处，18/kk*结论：53.6k48.6时所有根为负实根，095.2k时系统稳

12、定。4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。解：s20sTs100)s(G23作等效开环传递函数32*s)100s20s(T1) s(G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果根轨迹绘制如下：（注意：)T/1k* 实轴上的根轨迹：10,(,0,10 分离点：10d2d3解得30d。根据幅值条件，对应的015.0T。 虚轴交点：闭环特征方程为0100s20sT s)s(D23把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：0T20)j (

13、DIm(0100)j (DRe(32解得：2. 0T10 起始角：601p参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！) 从根轨迹图可以看出，当015.0T0时，系统阶跃响应为单调收敛过程；2.0T015.0时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：100s20sT s)s(G23三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点 实轴上的根轨迹：10,(,0,10 分离点：10d2d3解得30d。其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10 处为两个开环极点，原点处为3 个开环零点，根轨迹

14、方向与图中一样。4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(0k*)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果解此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。实轴上的根轨迹：2, 1 分离点：1d12d3解得5.0d 起始角：根据相角条件，n1jjm1iik2得601p，602p，1803p。根轨迹如图所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为)2s( s) s1(k)s(G，试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的k值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 实轴上的根轨迹：,0,

15、 2), 1； 分离点：1d12d1d1解得：732.0d1, 732. 2d2将732.0ds1, 732.2ds2代 入幅值条件得：54. 0K1d, 46.7K2d 与虚轴交点：闭环特征方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果0) s1(K)2s( s)s(D把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：0)K2()j (DIm(0K)j (DRe(2解得：0K02K41.1根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆。系统产生重实根的K为 0.54，7.46，产生纯虚根的K为 2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果Ok 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页