2022年线性代数matlab上机模板及答案复习资料 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1利用函数rand 和函数 round 构造一个5 5的随机正整数矩阵A 和 B。（1）计算 AB，A B 和 6A A = round(rand(5)*10) 10 8 6 4 1 2 5 8 9 4 6 0 9 9 8 5 8 7 4 0 9 4 2 9 1 B=round(rand(5)*10) B = 2 0 4 8 5 2 7 8 0 7 6 4 5 7 4 3 9 2 4 3 2 5 7 8 2 C=A+B C = 12 8 10 12 6 4 12 16 9 11 12 4 14 16 12 8 17 9 8 3 11 9 9 17 3 D=

2、A-B D = 8 8 2 -4 -4 0 -2 0 9 -3 0 -4 4 2 4 2 -1 5 0 -3 7 -1 -5 1 -1 E=6*A E = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思60 48 36 24 6 12 30 48 54 24 36 0 54 54 48 30 48 42 24 0 54 24 12 54 6 （2）计算TAB，TTB A和100AB (A*B) ans = 86 97 109 80 67 121 168 157 120 122 149 13

3、4 143 127 103 146 140 211 105 130 144 112 109 121 110 (B)*(A) ans = 86 97 109 80 67 121 168 157 120 122 149 134 143 127 103 146 140 211 105 130 144 112 109 121 110 (A*B)100 ans = 1.0e+278 * 3.0801 4.8507 4.5531 5.0819 4.1045 3.1319 4.9322 4.6296 5.1673 4.1734 3.4774 5.4763 5.1404 5.7374 4.6338 2.653

4、5 4.1788 3.9224 4.3780 3.5359 2.5268 3.9792 3.7351 4.1690 3.3671 （3）计算行列式A，B和AB det(A) ans = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5972 det(B) ans = 12221 det(A*B) ans = 72983812 （4）若矩阵A 和 B 可逆，计算1A和1B inv(A) ans = -0.0012 -0.1654 0.0759 0.0765 0.0561 0.4208 0.3

5、925 -0.2316 -0.4720 -0.1381 -0.3830 -0.3369 0.2112 0.5728 0.0414 -0.1700 0.0114 -0.0012 0.0959 0.1338 0.6229 0.4903 -0.1681 -0.8098 -0.2391 inv(B) ans = -0.1218 -0.0184 0.2713 -0.0582 -0.0866 -0.0384 0.0002 -0.0570 0.1208 0.0278 -0.0916 0.0688 0.0347 -0.1425 0.1325 0.0901 -0.0731 -0.0475 0.0491 0.05

6、20 0.1778 0.0692 -0.0602 0.0588 -0.1545 （5）计算矩阵A 和矩阵 B 的秩。 rank(A) ans = 5 rank(B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ans =（6）生成一个6 行 5 列秩为 3 的矩阵，并求其最简阶梯形。 round(rand(6,5)*10) ans = 2 4 8 3 4 7 9 6 5 7 3 9 8 7 5 5 6 7 3 4 2 5 3 8 7 7 9 3 6 6 A=2,4,8,3,4;7,9,6

7、,5,7;3,9,8,7,5;4,8,16,6,8;6,12,24,9,12;8,16,32,12,16 A = 2 4 8 3 4 7 9 6 5 7 3 9 8 7 5 4 8 16 6 8 6 12 24 9 12 8 16 32 12 16 rank(A) ans = 3 rref(A) ans = 5 1.0000 0 0 -0.4767 0.6512 0 1.0000 0 0.8953 0.0698 0 0 1.0000 0.0465 0.3023 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2求解下列方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

8、总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（1）求非齐次线性方程组1234123412341234224514171278776652921710 xxxxxxxxxxxxxxxx的唯一解。 A=2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7 A = 2 1 2 4 -14 17 -12 7 7 7 6 6 -2 -9 21 -7 B=5;8;5;10 B = 5 8 5 10 X=AB X = -0.8341 -0.2525 0.7417 1.3593 （2）求非齐次线性方程组123451234512345

9、123455972844228252398881266977xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx的通解。 A=5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7 A = 5 9 7 2 8 4 22 8 25 23 1 8 1 8 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 6 6 9 7 b=4;9;1;7 b = 4 9 1 7 B=A b B = 5 9 7 2 8 4 4 22 8 25 23 9 1 8 1 8 8 1 2 6 6

10、9 7 7 C=rref(B) C = 1.0000 0 0 -4.1827 -0.8558 -1.6635 0 1.0000 0 1.3269 1.0577 0.1346 0 0 1.0000 1.5673 0.3942 1.5865 0 0 0 0 0 0 对应齐次方程组的基础解系为：x1=(4.1827 ) -1.3269 -1.5673 1.0000 0 X2=(4.1827 0.8558) -1.3269 -1.0577 -1.5673 -0.3942 1.0000 0 0 1.0000 非齐次方程组的特解为：m=【 -1.6635，0.1346， 1.5865，0】 精选学习资料

11、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思所以，方程组的通解为X=k1x1+k2x2+m 3已知向量组134083，211022，160323，212394，50822110，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。 format rat A=3,1,2,9,0;4,1,3,3,8;0,0,0,2,-2;8,2,6,1,21;3,2,1,2,10 A = 3 1 2 9 0 4 1 3 3 8 0 0 0 2 -2 8 2 6 1 21 3 2 1 2 10 B=rref(A) B

12、= 1 0 1 0 2 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, 2, 4 是向量组的一个最大无关组。且有3= 1- 2 ， 5=21+32 34求向量空间3R中向量325在基1231230 ,1 ,2001下的坐标 A=1,2,3;0,1,2;0,0,1 A = 1 2 3 0 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0 0 1 inv(A) ans = 1 -2 1 0 1 -2 0 0 1 B=3;2;5 B = 3 2

13、5 C=ans*B C = 4 -8 5 5求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。（1）1232563625A A=1,2,3;2,5,6;3,6,25 A = 1 2 3 2 5 6 3 6 25 format rat V ,D=eig(A) V = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思160/171 445/1357 1377/10567 -751/2135 1596/1781 417/1541 -301/10736 -712/2381 909/953 D = 25/

14、158 0 0 0 3767/1010 0 0 0 3145/116 即特征值25/158 对应特征向量（160/171,-751/2135,-301/10736 ） ,特征值3767/1010 对应特征向量（ 445/1375,1596/1781,-712/2381 ） ,特征值 3145/116 对应特征向量（1377/10567,417/1541,909/953 ）因为 A 的特征值均为正数，所以A 正定。（2）203131061622B B=-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22 B = -20 3 1 3 -10 -6 1 -6 -22 V ,D=eig(B) V = -

15、357/937 4822/5323 500/2703 1060/2647 -19/1019 3681/4018 7996/9595 699/1652 -1609/4524 D = -20323/802 0 0 0 -7348/375 0 0 0 -544/77 特征值与特征向量的对应关系如上，因为B 的特征向量均为负数，所以B 负定。6用正交变换法将下列二次型化为标准形。222123123112213323,23fx xxxxxk x xk x xk x x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进

16、 ,熟读而精思其中“123k k k”为自己学号的后三位。 A=1,0,1;0,2,1/2;1,1/2,3 A = 1 0 1 0 2 1/2 1 1/2 3 V ,D=eig(A) V = 1979/2184 67/281 791/2264 467/3368 -962/1015 554/1929 -623/1559 431/2035 2153/2414 D = 1682/3009 0 0 0 338/179 0 0 0 842/237 L1=sqrt(V(:,1)*V(:,1) L1 = 1 L2=sqrt(V(:,2)*V(:,2) L2 = 1 L3=sqrt(V(:,3)*V(:,3)

17、 L3 = 1 Q1=V(:,1)/L1 Q1 = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1979/2184 467/3368 -623/1559 Q2=V(:,2)/L2 Q2 = 67/281 -962/1015 431/2035 Q3=V(:,3)/L3 Q3 = 791/2264 554/1929 2153/2414 Q=Q1,Q2,Q3 Q = 1979/2184 67/281 791/2264 467/3368 -962/1015 554/1929 -623/1559

18、 431/2035 2 二、应用题1在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示，而4,321,TTTT表示钢板内部四个节点的温度。 若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如1233040/ 4TTT。请计算该钢板的温度分布。20303040401010201234CCCCCCCC153/2414 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精

19、思1、4/)321020(44/)411040(34/)412030(24/)324030(1TTTTTTTTTTTTA = 4 -1 -1 0 70 -1 4 0 -1 50 -1 0 -4 -1 50 0 -1 -1 4 30 所以解为 17.5000 18.7500 -18.7500 7.5000 2 下表给出了平面坐标系中六个点的坐标。x 0 1 2 3 4 5 y 2 6 0 26 294 1302 请过这六个点作一个五次多项式函数23455012345( )pxaa xa xa xa xa x，并求当6x时的函数值56p。解： A = 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

20、 1 2 4 8 16 32 1 3 9 27 81 243 1 4 16 64 256 1024 1 5 25 125 625 3125 （ 2 6 0 26 294 1302） = x = 2.0000 5.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 1.0000 所以解得：)6(5p=3.9560e+003 。3. 李博士培养了一罐细菌，在这个罐子里存放着A、B、C 三类不同种类的细菌，最开始 A、B、C 三种细菌分别有810、2810、3810个。但这些细菌每天都要发生类型转化，转化情况如下： A 类细菌一天后有5的变为B 类细菌、 15的变为C 细菌； B 类细菌一天后有

21、30的变为A 类细菌、10的变为C 类细菌；C 类细菌一天后有30的变为A 类细菌、20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的变为 B 类细菌。请利用MATLAB软件分析：（1）一周后李博士的A、B、C 类细菌各有多少个？（2）两周后和三周后李博士的A、B、C 类细菌各有多少个？（3）分析在若干周后，李博士的各种细菌的个数几乎不发生变化的原因。解： A B C A 0.80 0.05 0.15 B 0.30 0.60 0.10 C 0.30 0.20 0.50 一天后： (A

22、B C)= (230000000 185000000 185000000) 一周后： 1.0e+008 * （3.5797 1.1256 1.2948）两周后： 1.0e+008 *（3.5998 1.1002 1.2999）三周后1.0e+008 * （3.6000 1.1000 1.3000）原因： 0.80 0.05 0.15 0.30 0.60 0.10 0.30 0.20 0.50 所以矩阵可对角化V,D=eig(A) V = 0.5774 0.4264 -0.3581 0.5774 -0.6396 0.0716 0.5774 -0.6396 0.9309 D = 1.0000 0

23、0 0 0.5000 0 0 0 0.400 X=V(-1)*D(n)*V 对 X对角线上的元素取极限，可得定值1.0e+008 * （ 3.6000 1.1000 1.3000）4. 一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表所示。表 11.3 混凝土的配方型号 1 混凝土型号 2 混凝土型号 3 混凝土水10 10 10 水泥22 26 18 砂32 31 29 石子53 64 50 灰0 5 8 （1）分析这三种混凝土是否可以用其中的两种来配出第三种？（2）现在有甲、乙两个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：24，52，73，133，12

24、和 36，75，100，185，20。那么，能否用这三种型号混凝土配出满足甲和乙要求的混凝土？如果需要这两种混凝土各500 吨，问三种混凝土各需要多少？4、A =10 10 1022 26 18 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思32 31 29 53 64 50 0 5 8 R,s=rref(A) R = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 s = 1 2 3 三个列向量线性无关这三种混凝土不可以用其中的两种来配出第三种（2）第一种水泥进行配比需三种

25、混凝土分别为：125，500/3，625/3 R,s=rref(A,B) R = 1.0000 0 0 0.6000 0 1.0000 0 0.8000 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 RrefA,C= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 第二种不能进行配比5. 在某网格图中，每个中间节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系：右右左左下下上上TkTkTkTkT。其中系数上k，下k，左k，右k，网格图的上下、左右四个节点的值如图所示。如231TbTaT，请计算该网格节点 1，2，3，4 的值。精选学习资

26、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5、dcT 4T 3T 2bcT 4-T3T 1daT 4-T 2T 1baT3T 21TT1=-(-1+q*p+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+b*p)+q*(1-q*p+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+d*q)-n*(-q*p-1+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m

27、2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+b*p)+2*n*q/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+d*q) T2=m*(1-q*p+n*p)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+b*p)-(-1+q*p+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+d*q)+n*(p+m)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+b*p)-n

28、*(-1-m*q+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+d*q) T3=-m*(-1-m*q+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+b*p)+2*m*q/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+d*q)-(-1+m*n+m*q)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+b*p)+q*(1-m*q+m*n)/(1-q*p-2*m

29、*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+d*q) T4=m*(p+m)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+b*p)-m*(-q*p-1+m*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(a*m+d*q)+(p-m*q*p+m2*n)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m*q*n*p+m2*n2)*(c*n+b*p)-(-1+m*n+m*q)/(1-q*p-2*m*n-m*q+m*q2*p-m2*n*q-m

30、*q*n*p+m2*n2)*(c*n+d*q) 6. 假如一个数据库包含以下10 种图书： B1：高等代数， B2:线性代数， B3：工程线性代数，B4：初等线性代数，B5：线性代数及其应用，B6： MATLAB在数值线性代数中应用，B7：矩阵代数及其应用，B8：矩阵理论，B9：线性代数及MATLAB 入门， B10：基于 MATLAB 的线性代数及其应用。而检索的6 个关键词按拼音字母次序排列为：“代数，工程，矩阵，MATLAB ，数值， 应用” 。读者 1 的检索策略为：“代数， MATLAB ” ；读者 2 的检索策略是：“代数， 应用”。2 1 3 4 a a C C b b d d

31、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思请用矩阵运算来为这两位读者检索图书。6、A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 （1） B=1;1;1;0;0;0; A*B =1 1 1 1 1 2 1 0 2 2; B6：MATLAB 在数值线性代数中应用,B9 ：线性代数及MATL

32、AB 入门，B10：基于 MATLAB的线性代数及其应用（2） C=1;0;0;1;0;0; A*C =1 1 2 1 1 1 2 1 1 1; B3：工程线性代数，B7：矩阵代数及其应用7 某城市有如图所示的9 节点交通图， 每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。若针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量1,2,12ixi。若已知 AB 段和 FO 段在修路，即：80 x，120 x，又已知10300 x，11660 x。求此时各个路段的交流流量。ABOFGH12080350300100266500 x1x2x3x4x5x6

33、x7x8x9x12CDEx10 x1110023440050100单行道 9 节点交通流图A = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共

34、 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 B=200;300;166;350;0;-500;150;-400;-100;0;300;660;0; 解得： X=(200,200,34,534,400,140,10,10,360,300,660,0) 8用 MATLAB 软件实现以下操作：（1）构造一个直角三角形刚体矩阵X；（2）先对刚体逆时针转动4，然

35、后再向下移动20，向右移动20；（3）先对刚体向下移动20，向右移动20，然后对刚体逆时针转动4。8、(1) close all X=-1,1,-1,-1;1,1,4,1;ones(1,4); M=1,0,20;0,1,-20;0,0,1; R=cos(pi/4),-sin(pi/4),0;sin(pi/4),cos(pi/4),0;0,0,1; Y1=M*R*X; plot(X(1, : ),X(2, : ); hold on axis equal fill(Y1(1, : ),Y1(2, : ),black); grid on hold off (2) close all X=-1,1,-

36、1,-1;1,1,4,1;ones(1,4); M=1,0,20;0,1,-20;0,0,1; R=cos(pi/4),-sin(pi/4),0;sin(pi/4),cos(pi/4),0;0,0,1; Y1=M*R*X; plot(X(1, : ),X(2, : ); hold on axis equal fill(Y1(1, : ),Y1(2, : ),black); grid on hold off 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思9 （1）甲方收到与之有秘密通信往来

37、的乙方的一个密文信息，密文内容如下：WOWUYSBACPGZSA VCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP 已知密钥为12A=03能否知道这段密文的意思？（2）甲方截获了一段密文：OJWPISWAZUXAUUISEABAUCRSIPLBHAAMMLPJJOTENH 经分析这段密文是用2Hill密码编译的，且这段密文中的字母UCRS 依次代表字母TACO，问能否破译这段密文的内容呢？9 （）、 alpha =1 8 0 9 A = 13 9 21 10 1 7 1 20 9 9 7 1 5 7 15 9 14 0 9 1 16 14 25 14 Columns 13 th

38、rough 23 7 9 24 14 8 9 9 5 8 25 14 10 14 9 7 1 4 8 19 9 1 14 WOW UYS BACPG ZSA VCO VKPE WCPA Mei guo jiang zai tai ping yang DKP PABU JCQ LY XQ EZA ACPP jin xing hai di he shi yann 美国将在太平洋进行海底核试验（）A=20 1 3 15 因为 det(A)(mod26)=10, 所以原矩阵在模意义下线性相关，所以无法将译文破解10如图所示，求向量1,2,3u、3,1,0v、0,5,1w所构成的四面体体积。uvwxyz

39、O三个 3 维向量所构成的四面体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 1 2 3 3 0 1 0 5 1 V=det(X)=34 三、请你对“用MA TLAB 及建模实践改造高等代数课程”提出看法与建议。看法： Matlab 是解决高等代数问题的一种有效工具，可以加深学生对线性代数理论知识得理解， 可以更高效地利用高等代数解决实际问题。建模实践可以有效地促进高等代数思想的应用，提高学生应用线性代数解决实际问题的能力。建议：应该在高等代数课堂中多讲高代的思想，提高学生利用高等代数解决问题的能力，拓展学生解决问题的思路和方法，注重培养学生的创新能力，激发学生学习的兴趣，将经典理论与现代计算手段相结合，将抽象概念形象化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页