2022年绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。常利用绝对值的代数意义和几何意义。2、解绝对值不等式常用的同解变形 |f(x)|g(x)|f2(x)g2(x) |f(x)|g(x)f(x)g(x) 或 f(x)-g(x) |f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x) 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。3、绝对值三角不等式等号成立的条件：取等号取等号取等号取等号经典例题透析类型一：含

2、有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（ 1）； （ 2）； （3）解析：（ 1）由原不等式可得,得, 原不等式的解集是；（ 2）原不等式可化为,得或整理得,或原不等式的解集是；（ 3）由原不等式可得或整理得或原不等式的解集是总结升华： 不等式的解集为；不等式的解集为. 举一反三：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载【变式】（ 2011山东， 4）不等式 |x-5|+|x+3|10 的解集是（ A） -5,7 (B)-4,6(C)(- ,-57， +) （D）(-， -46,+) 【答案

3、】D2、解不等式|x2+4x-1|4 解析： 原不等式-4x2+4x-14 -5x-3 或-1x4. 【答案】 原不等式的解集是（-,-5） (-3,-1) (1, +）3、解不等式1|2x-1|5. 解析：法一： 原不等式等价于 或解得： 1x3 ；解得： -2 x 0. 原不等式的解集为x | -2 x 0 或 1x3 法二： 原不等式等价于12x-15 或 52x-1-1 即 22x6 或 42x0. 解得 1x3 或 2x0. 原不等式的解集为x|-2x0 或 1x2x+1. 思路点拨： 关键是去掉绝对值符号。解析：法一： 根据绝对值的定义去掉绝对值符号原不等式等价于，即， x2 或

4、x2 或 x2x+14x-32x+1 或 4x-32 或 x2 或 x2x.【答案】 原不等式x2-32xx2+2x-30 -3x1 或 x3x3. 即原不等式的解集（-， 1）（ 3，+） . 【变式 2】|4x-3|2x+1. 【答案】 原不等式-(2x+1)4x-32x+1x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载原不等式的解集为x|x2. 类型二：含有二个及以上不等式符号的绝对值不等式的解法5、解不等式.解析：法一：分类讨论法由、得零点：和等价于（ I）；（ II）；（ III ）. 原不等式

5、的解集为. 法二：图象法将原不等式转化为构造函数，即作出函数的图象：它是分段函数，函数的零点是-3，2从图象可知，当时，有 y 0，即所以原不等式的解集是法三：几何解法如图，设数轴上与-2，1 对应的点分别是A，B，那么 A、B 两点的距离是3，因此区间 一 2，1上的数都不是原不等式的解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A，B 的距离之和为5 的点将点A 向左移动1 个单位到点，这时有；同理，将点B 向右移动1 个单位到点，这时也有从数轴上可以看到，点与之

6、间的任何点到点A，B 的距离之和都小于5；点的左边或点的右边的任何点到点A，B 的距离之和都大于5所以，原不等式的解集是总结升华： 利用、的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之，体现了分类讨论思想从中可以发现，以绝对值的“零点为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号（ 1）方法一为了去掉绝对值符号，首先利用、的解，将数轴分为三个区间，(一 2，1)，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，先分别在这三个区间上讨论不等式的解的情况，然后求它们的解集的并集即可，体现了分类讨论的思想.这

7、种方法通常叫做分类讨论法或零点分段法，一般步骤为：令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根（找零点）；把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间（分区间）；在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得不等式在这个区间上的解集；把各个区间上的解集并在一起（即求它们的并集），就得到原不等式的解集。（ 2）方法二首先构造函数，然后画出函数的图象，由函数的零点求出不等式的解集利用了函数图象，方程的根与不等式解集之间的关系，充分体现了函数、方程与不等式结合的思想。（ 3）方法三首先找到两式、的零点和，在数轴上标出与一2、1 对应的点A、B，那么不等式的解就是数轴上到A，B 两点的距离

8、之和不小于5 的点所对应的实数所以，我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解这种解法利用绝对值不等式的几何意义，再给绝对值不等式以准确的几何解释，得出不等式的解，体现了数形结合思想注： 分类讨论的方法具有普遍性，但较麻烦，几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况，三种方法各有千秋，都应熟练掌握。举一反三：【变式 1】【答案】 由、得零点：和将不等式等价转化为三个不等式组（I）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载（II）；（III ）. 原不等式的解集为即. 【变式 2

9、】 解不等式： |x-3|-|x+1|1. 【答案】方法一： 零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）原不等式等价于或或，解的解集为 ，的解集为 x|x. 方法二： 数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|. 6、解不等式 |2x1|2x3|解析：法一：零点分段讨论法（略）法二：数形结合把 2x 当作数轴上的动坐标，则|2x1|2x3|表示 2x 到 1 的距离大于2x 到 3 的距离，则 2x 应当在 2 的右边，从而2x2 即 x1所以原不等式的解集为x|x 1 法三：两边同时平方法原不等式同解于(2x1)2(2x3)2，即 4x24x14x212x 9，即 8x 8，得 x1所

10、以原不等式的解集为x|x 1 总结升华： 解形如 |ax+b|-|cx+d|0 的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。举一反三：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载【变式 1】解不等式 |x+2|-|x-1|0。【答案】 原不等式同解于|x+2|x-1|(x+2)2(x-1)2故原不等式的解集为。【变式 2】求解关于x 的不等式：【答案】法一：，将之视为多绝对值问题，将数轴按0，分成三段：（ 1）， （ 2）， （ 3）， 原不等式

11、解集：. 法二：当时, ，不等式两边同乘，得两边平方得即，解得：或 二次不等式解集即原不等式解集为：. 类型三：利用绝对值不等式求最值7、求的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载思路点拨： 根据绝对值的几何意义求最小值，或利用绝对值不等式性质，或转化为函数，然后利用函数图象求解. 解析：法一：根据绝对值的意义就是数轴上表示的点 P 和表示 -2 的点 A 的距离与点P和表示 1 的点 B 的距离之和。易知，表示 -2 的点 A 与表示 1 的点 B 的距离是3，当表示的点 P 在 B 点的右侧或

12、在A 点的左侧时， P、A距离与 P、B 的距离之和大于A、B 的距离；当点P 落在线段AB 的内部（包括端点）时，P、A 的距离与P、B的距离之和恰好等于A、B 的距离。对数轴上任意一点P总有 PA+PBAB ，当 P在线段 AB 内部（包括端点）时取等号。的最小值是3（当且仅当时）. 法二：依据绝对值不等式性质（当且仅当即时）的最小值是3. 法三：利用函数图象将原不等式转化为构造函数，即作出函数的图象(如图 )，它是分段函数，从图象可知，当时，的最小值为3 故当时，的最小值为3. 总结升华：1. 方法一和方法二的应用较形象、直接、简单，但只能在绝对值符号里的字母系数相同时才能使用；当绝对值

13、符号里的字母系数不相同时，一般使用方法三。2方法二在应用性质时，要保证中为常数 . 举一反三：【变式】求的最值【答案】 由得：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载的最小值为，最大值为3. 类型四：含有参数的绝对值不等式8、已知 a0，b0，解不等式 |ax-b|x。解析： 显然 x0，故原不等式等价于当时，则得因为，所以；当时，则得，所以；当时，则得因为，所以综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，其解集为总结升华： 含绝对值的不等式中，若含有参数，则先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行

14、分类讨论。举一反三：【变式】解关于的不等式. 【答案】 原不等式化为：, 当 a+10 即 a-1 时，由于任何实数的绝对值非负，解集为. 当 a+10 即 a -1 时， - (a+1)2x+3 x . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载综上得：. 9、已知关于x 的不等式 |x2|x3|a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_思路点拨： 可以根据对 |x2|x3|的意义的不同理解，获得多种方法解析：法一：当 x 2 时，不等式化为x 2x3a即 2x1a 有解，而 2x 15， a5当 2

15、x3 时，不等式化为x2x 3a 即 a5当 x3 时，不等式化为x2x3 a即 2x1a 有解，而2x1 5， a5综上所述： a5 时不等式有解，从而解集非空法二：|x2|x3|表示数轴上的点到表示2 和 3 的两点的距离之和，显然最小值为3( 2)5故可求 a 的取值范围为a5法三：利用 |m|n|m n|得 |x 2|x3|(x2)(x3)|5所以 a 5 时不等式有解举一反三：【变式 1】不等式对恒成立，则实数的取值范围是；【答案】 设，则对恒成立，的最小值为，实数的取值范围是. 【变式 2】不等式对恒成立，则常数的取值范围是；【答案】 设，则对恒成立，画出的图象，可以得到，所以.

16、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载基础达标1、不等式 8-3x 0 的解集是（）A.B.RC.(1,-1) D.2、设 A= x| |x-2|3 ，B= x| |x-1|1，则 AB 等于（）A. x|-1x 5 B. x|x或 x2 C. x|-1 x0 D. x|-1x0 或 2x5 3、设集合，则中的元素个数是（）A.11B.10C.16 D.15 4、已知集合M=,集合 N=，则 MN=（ ）A.B. C.D.5、实数 a，b 满足 ab0，那么（）A|ab|a|b| B|ab|ab| C

17、|ab|ab| D|ab|a| |b| 6、设不等式 |x a| b 的解集为 x| 1x2，则 a，b 的值为（）Aa1，b3 Ba 1，b3 Ca 1，b 3 7、 （2011江西， 4）若则0 的解集为AB. C. D. 8、不等式的解集是 _；不等式的解集是 _；不等式 |x+2| |x|的解集是 _；不等式的解集是 _。9、根据数轴表示a,b,c 三数的点的位置，化简|a+b|+|a+c|-|b-c|=_. 10、解下列不等式（ 1）4|13x|7 （ 2）2 5-3x 9 （ 3）|x1|2x（ 4）|3x4| 1+2x. （ 5） |x+7|-|x-2|4. （ 7）（8） x-

18、a b能力提升：11、不等式的解集是（）（ A）（B）（C）（D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载12、对于任意实数x，不等式 |x+1|+|x2|a 恒成立，则a 的取值范围是_. 13、已知关于x的不等式 |x+2|+|x3|a 的解集是非空集合，求实数a 的取值范围 . 14、的最小值是 _；15、的最大值是 _，最小值是 _。16、解下列不等式（ 1）|log3x|+|log3(3-x)| 1（2）x2 - 2 x-30 （ 3）（4） x-5 -2x+3 1 （ 5） x -2x+1

19、1 17、解下列关于x 的不等式：（1）x2+mx-6m20 （ 2）（3）|2x 1|2m1(mR) 综合探究：18、解关于的不等式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载参考答案：基础达标：1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、D； 7、 C。8、； x0 x4 ；。9、0 10、解下列不等式：（ 1）（ 2）（ 3）解法一：对2x 的取值分类讨论解之原不等式等价于：由得 x2 解法二：利用绝对值的定义对|x1|进行分类讨论解之原不等式等价于：（ 4）（ 5）(-,-1) （ 6）

20、x | x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载（ 7）. 原不等式的解集为. （ 8）当 b0 时，解集为R；当 b=0 时，解集为 xxR 且 xa ；当 b0 时，解集为 xx a-b 或 xa+b. 能力提升：11、D 12、a5；14、12 ；15、 -2 ， 2 16、解下列不等式（1） （0，3） ；提示：首先求定义域（0，3） ，其次求出二零点1、2，分三个区间（0，1， （1，2， （2， 3）解即可 . （ 2）（3）（ 4）（ 5）17、解下列关于x 的不等式：（ 1）当

21、m0 时，原不等式的解集是x|-3mx2m；当 m=0 时，原不等式的解集是；当 m0 时,原不等式的解集是x|2mx-3m. （ 2）由当时，解集是R；当时，解集是（3）综合探究：18、方法一： 分段去绝对值号，原不等式等价于(I),(II),(III)的并集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载(I)当时，解集. 时解为。(II)(III)时，. 时，. 综上原不等式解为：时，解集为；时，解集为：。方法二：设，则，与的图象如右图。，时不等式解集为：, 时不等式解集为：. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页