2022年经济数学基础综合练习及参考答案8 .pdf

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1、1 / 13 经济数学基础综合练习及参考答案第二部分积分学一、 单项选择题1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（）Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2 x + 2Dy = 4 x2. 若10d)2(xkx= 2，则 k =（）A1B- 1 C0D213下列等式不成立的是（） A)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx4若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. A .2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x 5.)d(exx（）Acxxe Bcxxxee Ccxxe Dcxxxee6. 若cx

2、xfxx11ede)(，则 f (x) =（）Ax1B-x1C21xD-21x7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba 8下列定积分中积分值为0 的是（）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd )sin(2 9下列无穷积分中收敛的是（）A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx10设R(q)=100- 4q，若销售量由10 单位减少到5单位，则收入R的改变量是（）A-550 B-350 C 3

3、50 D以上都不对 11下列微分方程中，（）是线性微分方程 Ayyyxln2Bxxyyye2Cyyxye Dxyyxyxlnesin 12微分方程0)()(432xyyyy的阶是（）.A. 4 B.3 C. 2 D. 1 二、 填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 / 13 1xxded2 2函数xxf2sin)(的原函数是3若cxxxf2)1(d)(，则)(xf.4若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=.5e12dx)1ln(ddxx. 61122d)1(xxx7无穷积分02d)1(1xx是（判别

4、其敛散性）8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3 q，且 R (0) = 0 ，则平均收入函数为9.0e)(23yyx是阶微分方程 . 10微分方程2xy的通解是三、计算题xxxd1sin2 2xxxd23xxxdsin 4xxxd1)ln(5xxxd)e1 (e3ln02 6xxxdlne172e11d1lnxxx 8xxxd2cos209xxd) 1ln(1e010求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解11求微分方程0e32yyxy满足初始条件3) 1( y的特解12求微分方程xxyyln满足11xy的特解 . 13求微分方程yyxylntan的通解14求微分方程xxyy

5、xln的通解 . 15求微分方程yxy2的通解16求微分方程xxyyxsin的通解四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为)(xC=2x + 40( 万元 /百台 ). 试求产量由4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2已知某产品的边际成本C(x)=2（元 /件），固定成本为0，边际收益R(x)=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为R(x)=100- 2x（万元 /百台），其中x 为产量，精选学习

6、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 / 13 问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？4已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元 /百台 )，x 为产量 (百台 )，固定成本为18(万元 )，求最低平均成本 . 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元 )，其中 x 为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？试卷答案一、单项选择题1. A 2A 3

7、. D 4. D 5. B 6. C7. B8. A 9 . C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1.xxde22. -21cos2x + c ( c 是任意常数 ) 3.) 1(2 x4.cFx)e(5. 06. 0 7.收敛的 8. 2 + q239. 2 10.cxy33三、计算题 解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin22解cxxxxxx22ln2)(d22d23解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin4解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(21225解xxxd)e1 (e3ln02=3ln

8、02)ed(1)e1(xx= 3ln03)e1 (31x=3566解)(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=) 13(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 / 13 8解xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120=202cos41x=219解法一xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0=

9、1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则uuuuuuuxxd1lndlnd)1ln(e1e1e11e0=11eeee1u10解因为xxP1)(，1)(2xxQ用公式d1)e(ed12d1cxxyxxxxd1)e(eln2lncxxxxxcxxcxxx24241324由4712141)1(3cy， 得1c所以，特解为xxxy124311解将方程分离变量：xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件3)1(y代入，得c33e31e21，c =3e61所以，特解为：33ee2e32xy12解：方程两端乘以x1，得xxxyxyln2即xxxyln)(两边求积分，得

10、cxxxxxxxy2ln)(lndlndln2通解为：cxxxy2ln2由11xy，得1c所以，满足初始条件的特解为：xxxy2ln213解将原方程分离变量xxyyydcotlnd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 / 13 两端积分得 lnln y = lnC sinx通解为y = eC sinx14. 解将原方程化为：xyxyln11，它是一阶线性微分方程，xxP1)(，xxQln1)(用公式( )d()de( )edP xxP xxyQ xxcdeln1ed1d1cxxxxxxdeln1elnlncxxxx

11、dln1cxxxx)ln(lncxx15解 在微分方程yxy2中，xxQxP2)(,1)(由通解公式)de2(e)de2(eddcxxcxxyxxxx)e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx)e22(xcx16解：因为xxP1)(，xxQsin)(，由通解公式得)desin(ed1d1cxxyxxxx =)desin(elnlncxxxx =)dsin(1cxxxx =)sincos(1cxxxx四、应用题1解当产量由4百台增至6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0

12、361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小.2解因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500 件增加至 550 件时，利润改变量为5505002550500)01. 010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25 元. 3. 解L(x) =R(x) -C(x) = (

13、100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 / 13 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元 .4解：因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当 x= 0 时， C(0)= 18，得 c =1

14、8 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0182)(2xxA， 解得 x = 3(百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(A(万元 /百台 )5解： (1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知，x= 7 为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7 百吨增加至8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98

15、 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1 万元 .经济数学基础综合练习及参考答案第一部分微分学一、 单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（）A1xB0 xC0 xD1x且0 x2若函数)(xf的定义域是 0， 1，则函数)2(xf的定义域是 ( )A1,0 B)1,( C0,( D)0,(3下列各函数对中，（）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B11)(2xxxf，xxg)(+ 1 C2ln xy，xxgln2)(Dxxxf22cossin)(，1)(xg4设11)(xxf，则)(xff=（）A11xxBxx1 C111xDx115下列函数中为奇函数的是（）Axxy2B

16、xxyeeC11lnxxyDxxysin6下列函数中，（）不是基本初等函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 / 13 A102yBxy)21(C)1ln(xyD31xy7下列结论中，（）是正确的A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数8. 当x0时，下列变量中（）是无穷大量A .001.0 xB.xx21C.xD.x2 9. 已知1tan)(xxxf，当（）时，)(xf为无穷小量 . A .x0B.1xC.xD.x10函数sin,0( ),

17、0 xxf xxkx在 x = 0 处连续，则k = ( )A - 2 B- 1 C1 D2 11. 函数0, 10, 1)(xxxf在 x = 0 处（）A . 左连续 B. 右连续C. 连续 D. 左右皆不连续 12曲线11xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）A21B21C3) 1(21xD3) 1(21x13. 曲线xysin在点 (0, 0)处的切线方程为（）A . y = xB. y = 2xC. y = 21xD. y = - x 14若函数xxf)1(，则)(xf=（）A21x B-21xCx1 D-x1 15若xxxfcos)(，则)(xf（）AxxxsincosBxxxs

18、incosCxxxcossin2Dxxxcossin2 16下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）Asinx Be xCx 2 D3 - x 17下列结论正确的有（）Ax0是 f (x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0) = 0Bx0是 f (x)的极值点，则x0必是 f (x)的驻点C若f(x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点D使)(xf不存在的点x0，一定是 f (x)的极值点18. 设需求量q 对价格 p 的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（）App32Bpp32C32ppD32pp二、 填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

19、结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 / 13 1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是2函数xxxf21)5ln()(的定义域是3若函数52)1(2xxxf，则)(xf4设函数1)(2uuf，xxu1)(，则)2(uf5设21010)(xxxf，则函数的图形关于对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2 q，则当产量q = 50 时，该产品的平均成本为7已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中 p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 8.xxxxsinlim. 9已知xxxfsin1)(，当时，)(xf为无穷小量10. 已知

20、1111)(2xaxxxxf，若fx( )在),(内连续，则a.11. 函数1( )1exf x的间断点是 .12函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是13曲线yx在点)1, 1 (处的切线斜率是14函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为15已知xxf2ln)(，则 )2( f= 16函数yx312()的驻点是 .17需求量q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep 18已知需求函数为pq32320，其中 p为价格，则需求弹性Ep =.三、计算题1423lim222xxxx 2231lim21xxxx30sin 2lim11xxx 42343limsin(3)xxxx

21、52)1tan(lim21xxxx 6) 32)(1()23()21(lim625xxxxxx7已知yxxxcos2，求)(xy8已知)(xfxxxlnsin2，求)(xf9已知xycos25，求)2(y；10已知 y =32lnx，求yd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 / 13 11设xyx5sincose，求yd12设xxy2tan3，求yd13已知2sin2cosxyx，求)(xy14已知xxy53eln，求)(xy15由方程2ee)1ln(xyxy确定y是x的隐函数，求)(xy16由方程0esinyx

22、y确定y是x的隐函数，求)(xy.17设函数)(xyy由方程yxye1确定，求0ddxxy18由方程xyxye)cos(确定y是x的隐函数，求yd四、应用题 1设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625.0100)(2（万元） , 求：（ 1）当10 x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？ 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为60 元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？3设某工厂生产某产品的固定成本为50000 元，每生产一个

23、单位产品，成本增加100 元又已知需求函数pq42000，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（ 2）最大利润是多少？4某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14- 0.01q（元 /件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365. 0)(2qqqC（元） . 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102（万元）问：要使

24、平均成本最少，应生产多少件产品？试卷答案二、单项选择题1D 2C 3D 4A 5C 6 C 7C 8. B 9. A 10. C11. B 12. A 13. A 14. B15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题1.-5 ，2 2. (- 5, 2 ) 3.62x4.435. y 轴 6. 3.67. 45q 0.25q 28. 1 9.0 x 10. 2 11.0 x12.)1,(，)2,1(，), 2( 13.(1)0.5y 14.(0, +) 15. 0 16.x117.2p18.10pp三、极限与微分计算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

25、结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 / 13 1解423lim222xxxx=)2)(2() 1)(2(lim2xxxxx = )2(1lim2xxx= 412解：231lim21xxxx=) 1)(2)(1(1lim1xxxxx =21) 1)(2(1lim1xxx3解0sin2lim11xxx=0(11)sin2lim(11)(1 1)xxxxx=xxxxx2sinlim) 11(lim00=22 = 4 4解2343limsin(3)xxxx=3(3)(1)limsin(3)xxxx= 333limlim(1)sin(3)xxxxx= 2 5解)1)(2()1ta

26、n(lim2)1tan(lim121xxxxxxxx1)1tan(lim21lim11xxxxx311316解) 32)(1()23()21(lim625xxxxxx=)32)(11()213()21(lim625xxxxxx =2323)2(657解：y( x)=)cos2(xxx=2cossin2ln2xxxxx=2cossin2ln2xxxxx8解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(9解因为5ln5sin2)cos2( 5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y10解因为)(ln)(ln3231xxy331ln32)(ln32

27、xxxx所以xxxydln32d311解因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 / 13 所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin12解因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d32213解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx14解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln315解在

28、方程等号两边对x 求导，得)e()e( )1ln(2xyxy0)(e1)1ln(yxyxyxyxyxyxyyxyyxxe1e)1ln(故e)1)ln(1(e)1 (xyxyxxxyxyy16解对方程两边同时求导，得0eecosyxyyyyyyyxye)e(cos)(xy=yyxyecose.17解：方程两边对x 求导，得yxyyyeeyyxye1e当0 x时，1y所以，0ddxxyee01e1118解在方程等号两边对x 求导，得)()e( )cos(xyxy1e1)sin(yyyxy)sin(1)sin(eyxyyxy)sin(e)sin(1yxyxyy故xyxyxyyd)sin(e)sin(

29、1d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 / 13 四、应用题1解（ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC625.0100)(2625.0100)(xxxC，65 .0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C，116105 .0)10(C（ 2）令025.0100)(2xxC，得20 x（20 x舍去）因为20 x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小.2解（ 1）成本函数C q( )= 60q+2

30、000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）因为利润函数Lq() =R q( )- C q( ) =1001102qq-( 60q+2000) = 40q-1102q- 2000且 Lq() =(40q-1102q- 2000)=40- 0.2q令 Lq() = 0，即 40- 0.2q= 0，得q= 200，它是 L q() 在其定义域内的唯一驻点所以，q= 200 是利润函数L q() 的最大值点，即当产量为200 吨时利润最大3解（1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000

31、- 4p) =250000- 400pR(p) =pq = p(2000- 4p)= 2000p- 4p 2利润函数L( p) = R(p) - C(p) =2400p- 4p 2 -250000，且令)(pL=2400 8p = 0得 p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300 元时，利润最大.（ 2）最大利润1100025000030043002400)300(2L（元）4解（1）由已知201. 014)01. 014(qqqqqpR利润函数22202.0201001. 042001. 014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点25

32、0q.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（ 2）最大利润为1230125020250025002. 02025010)250(2L（元）5. 解 因为C q( )=C qq( )=0 5369800. qq（q0）C q( )=(.)0 5369800qq=0 598002.q令C q( )=0，即0 598002.q=0，得q1=140，q2= - 140（舍去） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 / 13 q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确

33、实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140 件. 此时的平均成本为C()140=0 5140369800140.=176 （元 /件）6解（ 1）因为C q( )=C qq( )=2502010qqC q( )=()2502010qq=2501102q令C q( )=0，即25011002q，得q1=50，q2=- 50（舍去），q1=50 是C q( )在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50 是C q( )的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页