2022年双曲线 .pdf

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1、9.6 双曲线1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P M|MF1|MF2|2a ，|F1F2| 2c，其中 a、c 为常数且a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时， P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21 (a0， b0)y2a2x2b21 (a0，b0)图形性质范围xa 或 x a， yRxR，y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)， A2(a,0)A1(0， a)，A2(0，a)渐近线ybaxyab

2、x离心率eca，e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识拓展 巧设双曲线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页(1)与双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2 t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2my2n1 (mn0)表示焦点在x 轴上的双曲线()

3、(3)双曲线方程x2m2y2n2 (m0，n0， 0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2y2b21(a0， b0)与x2b2y2a21(a0， b0)的离心率分别是e1， e2， 则1e211e221(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1若双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ()A.5 B5C.2 D2答案A解析由题意得b2a，又 a2b2c2，5a2c2.e2c2a25，e5.2设双曲线x2a2y29 1 (a0)的渐近线方程为3x2 y

4、0，则 a 的值为 ()A4 B 3 C2 D1答案C解析渐近线方程可化为y 32x.双曲线的焦点在x 轴上， 9a2 322，解得 a 2. 由题意知a0， a2.3(2013 福建 )双曲线x24y21 的顶点到其渐近线的距离等于()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页A.25B.45C.2 55D.4 55答案C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线 y12x 的距离 d252 55.4已知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)与双曲线C2：x24y2161 有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5， 0)，则

5、 a_， b_.答案12解析与双曲线x24y2161 有相同渐近线的双曲线的方程可设为x24y216 ，即x24y2161.由题意知c5，则 4 16 5? 14，则 a21，b24.又 a0，b0，故 a 1，b2.5(2014 北京 )设双曲线C 的两个焦点为 (2， 0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为 _答案x2y21解析由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且 c2，a1，则 b2c2a21，所以双曲线C 的方程为x2y21.题型一双曲线的定义及标准方程例 1(1)与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点M(2， 2)的双曲线方程为_(2)已知圆 C1：(x3)

6、2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆C1及圆 C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 _ 思维点拨解(2)时，考虑定义法答案(1)y22x241(2)x2y281(x 1)解析(1)设与双曲线x22y21 有公共渐近线的双曲线方程为x22y2k，将点 M(2，2)代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页得 k222(2)2 2.所以双曲线方程为y22x241.(2)如图所示，设动圆M 与圆 C1及圆 C2分别外切于A 和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB

7、|，因为 |MA| |MB|，所以 |MC1|AC1| |MC2|BC2|，即|MC2|MC1| |BC2|AC1|2，所以点 M 到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与C1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为x2y281(x1)思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2y2b2 ( 0)(2)定义法：

8、依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值(1)(2014 天津 )已知双曲线x2a2y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()A.x25y2201 B.x220y25 1C.3x2253y2100 1 D.3x21003y2251(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C2的标准方程为 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页

9、A.x242y2321 B.x2132y2521C.x232y2421 D.x2132y21221答案(1)A(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为ybax，因为一条渐近线与直线y2x10 平行，所以ba2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10 上，所以 2c100.所以 c5.由ba 2，ca2b25得a25，b220.故双曲线方程为x25y2201.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线 C2上的一点P，则 |PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b 3.故曲线 C2的标准方程为x242y2321.题型二双曲线的几何性质例 2(1)(2013 浙江

10、 )如图， F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线C2的公共焦点， A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ()A.2 B.3 C.32D.62(2)(2014广东 )若实数 k 满足 0k9，则曲线x225y29k1 与曲线x225ky291 的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等思维点拨(1)依题意可求出a、c 的值(2)分别表示出两方程对应的a、b、c 的值比较即可答案(1)D(2)A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页解析(1)

11、|F1F2| 23.设双曲线的方程为x2a2y2b21.|AF2| |AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2| 2a，|AF1|2a.在 RtF1AF2中， F1AF290 ，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(23)2，a2，eca3262.故选 D.(2)因为 0k0，b0)的离心率为52，则 C的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy 12xDy x(2)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若 FB2FA，则此双曲线的离心率为()精选学习资料 - - - - - - - - -

12、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页A.2 B.3 C2 D.5答案(1)C(2)C解析(1)由 eca52知， a2k，c5k(kR)，由 b2 c2 a2k2知 bk.所以ba12.即渐近线方程为y12x.故选 C.(2)如图， FB2FA，A 为线段 BF 的中点， 23.又12， 260 ，batan 603，e21(ba)24，e2.题型三直线与双曲线的位置关系例 3已知双曲线C：x2y21 及直线 l：ykx1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A，B 两点， O 是坐标原点，且AOB 的面积为2，

13、求实数 k 的值解(1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组x2y21，ykx1有两个不同的实数根，整理得 (1 k2)x22kx20.1 k2 0， 4k28 1k20，解得2k|x2|时，SOABSOADSOBD12(|x1|x2|)12|x1x2|；当 A，B 在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD12(|x1| |x2|)12|x1x2|.SOAB12|x1x2|2，(x1 x2)2(22)2，即(2k1k2)281k28，解得 k0 或 k62.又2k0，b0)由已知得： a3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，精选学习资料 - - - - - -

14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页双曲线 C 的方程为x23y21.(2)设 A(xA，yA)、 B(xB，yB)，将 ykx2代入x23y21，得， (13k2)x262kx90.由题意知13k20， 36 1k20，xAxB6 2k13k20，解得33k1.当33k1 时， l 与双曲线左支有两个交点(3)由 (2)得： xAxB6 2k13k2，yAyB(kxA2)(kxB2)k(xAxB)2 2221 3k2.AB 的中点 P 的坐标为 (3 2k13k2，21 3k2)设直线 l0的方程为： y1kxm，将 P 点坐标代入直线l0的方程，得m

15、4213k2.33k1，213k20.m2 2.m 的取值范围为 (， 22)忽视“判别式”致误精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页典例：(12 分)已知双曲线x2y221，过点 P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？易错分析由于 “判别式 ”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误规范解答解设点 A(x1，y1)，B(x2， y2)在双曲线

16、上，且线段AB 的中点为 (x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意2 分设经过点P 的直线 l 的方程为y1k(x1)，即 ykx1k.3 分由ykx 1k，x2y221，得(2 k2)x22k(1k)x (1k)220 (2k20)6 分 x0 x1x22k 1k2 k2.由题意，得k 1k2k21，解得 k2.8 分 当 k2 时，方程 成为 2x24x30. 1624 80)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2By21 (AB0，b0)的渐近线方程是y bax，y2a2x2b21 (a0，b0)的渐近线方程是 yabx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说

17、明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组专项基础训练(时间： 45 分钟 )1(2013 北京 )若双曲线x2a2y2b21 的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay2 xBy 2xCy 12xDy22x答案B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页解析由 e3，知 c3a，得 b2a.渐近线方程为ybax，y 2x.2(2013 湖北 )已知 0 0，b0)，由于直线l 过

18、双曲线的焦点且与对称轴垂直， 因此直线l 的方程为： xc 或 x c，代入x2a2y2b21 得 y2b2(c2a21)b4a2，yb2a，故|AB|2b2a，依题意2b2a4a，b2a22，c2a2a2e212，e3.4(2014 江西 )过双曲线C：x2a2y2b2 1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过A，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线C 的方程为 ()A.x24y2121 B.x27y291C.x28y281 D.x212y241答案A解析由xa，ybax，得xa，y b，A(a， b)由题意知右焦点到原点的距离

19、为c4，a42 b24，即 (a4)2b216.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页而 a2 b216，a2， b23.双曲线 C 的方程为x24y2121.5已知点 F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1， ) B(1,2)C(1,12) D(2,12)答案B解析由题意易知点F 的坐标为 (c,0)， A(c，b2a)，B(c，b2a)， E(a,0)

20、， ABE 是锐角三角形，EA EB0，即EA EB(ca，b2a) (ca，b2a)0，整理得 3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选 B.6(2014 北京 )设双曲线C 经过点 (2,2)，且与y24 x2 1 具有相同渐近线，则C 的方程为_；渐近线方程为_答案x23y2121y2 x解析设双曲线C 的方程为y24x2 ( 0)，将点 (2,2)代入上式，得 3，C 的方程为x23y2121，其渐近线方程为y2 x.7(2014 浙江 )设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(

21、m,0)满足 |P A|PB|，则该双曲线的离心率是_答案52精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页解析双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为ybax.由ybax，x 3ym0得 A(am3ba，bm3ba)，由ybax，x 3ym0得 B(ama3b，bma3b)，所以 AB 的中点 C 的坐标为 (a2m9b2a2，3b2m9b2 a2)设直线 l：x3ym0(m0)，因为 |PA|PB|，所以 PCl，所以 kPC 3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以 eca52.8 (2013 湖南

22、)设 F1， F2是双曲线C：x2a2y2b21(a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点， 若|PF1|PF2| 6a 且 PF1F2的最小内角为30 ，则双曲线C 的离心率为 _答案3解析不妨设 |PF1|PF2|，则|PF1| |PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1| 4a，|PF2|2a.又在 PF1F2中， PF1F230 ，由正弦定理得，PF2F190 ，|F1F2|23a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页双曲线 C 的离心率e23a2a3.9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2

23、在坐标轴上，离心率为2，且过点 (4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：点M 在以 F1F2为直径的圆上；(3)在 (2)的条件下求F1MF2的面积(1)解离心率 e2，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2 ( 0)，则由点 (4，10)在双曲线上，可得 42(10)26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点 M(3，m)在双曲线上，32m2 6，m23，又双曲线x2y26 的焦点为F1(23，0)，F2(23，0)，MF1 MF2(233， m) (2 33， m)(3)2(23)2 m29 123 0，MF1MF2，点 M 在以 F1F2为直径的圆上(

24、3)解SF1MF21243 |m|6.10已知椭圆C1的方程为x24y2 1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线 l： y kx2与双曲线C2恒有两个不同的交点A 和 B， 且OA OB2(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为x2a2y2b21 (a0，b0)，则 a2 3，c24，再由 a2b2c2，得 b21.故 C2的方程为x23y21.(2)将 ykx2代入x23y21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

25、5 页，共 19 页得(13k2)x262kx90.由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得13k20， 6 2k236 13k236 1k20，k213且 k22，得 x1x2 y1y22，3k273k212，即3k293k210，解得13k23.由 得13k20，b0)的两焦点， 以线段 F1F2为边作正三角形MF1F2，若边 MF1的中点 P 在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42 3 B.31C.3 12D.31答案D解析因为 MF1的中点 P 在双曲线上，|PF2|PF1|2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3cc 2a，所以 eca23 131，故选 D.精选学习资

26、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页12(2013 重庆 )设双曲线C 的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60 的直线 A1B1和 A2B2，使 |A1B1|A2B2|，其中 A1、B1和 A2、B2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.2 33，2B.2 33，2C.2 33，D.233，答案A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或 y 轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30 且小于等于 60 ，即

27、 tan 30batan 60 ，13b2a23.又 e2(ca)2c2a21b2a2， 43e24，2330，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1| 4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 _答案53解析由定义，知 |PF1| |PF2|2a.又|PF1| 4|PF2|， |PF1|83a，|PF2|23a.在PF1F2中，由余弦定理，得 cosF1PF2649a249a24c2283a23a17898e2.要求 e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当 cosF1PF2 1 时，得 e53，即 e 的最大值为53.16已知离心率为45的椭圆的

28、中心在原点，焦点在 x 轴上， 双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2 34.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接 BP 交椭圆于点M，连接 PA 并延长交椭圆于点N，若 BM MP，求四边形ANBM 的面积解(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为x2a2y2b21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页且满足a2b2a45，2a2b2234，解方程组得a2 25，b2 9.椭圆的方程为x225y291，双曲

29、线的方程为x225y291.(2)由 (1)得 A( 5,0)， B(5,0)， |AB| 10，设 M(x0，y0)，则由 BMMP得 M 为 BP 的中点，所以 P 点坐标为 (2x05,2y0)将 M、 P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得x2025y2091，2x052254y2091，消去 y0，得 2x205x0250.解之，得x052或 x05(舍去 )y0332.由此可得M(52，332)， P(10,33)当 P 为 (10,33)时，直线 PA 的方程是y3 3105(x5)，即 y335(x5)，代入x225y291，得 2x215x250.x52或 5(舍去 )，xN52，xNxM，MN x 轴S四边形 ANBM2SAMB212103 32153.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页