2022年经典讲义二次函数在闭区间上的最值 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fxaxbxca( )()20，求fx( )在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x( )配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上fx( )的最值：（ 1） 当bamn2，时 ，fx( )的 最 小 值 是fbaacbaf x2442， ( )的 最 大 值 是f mf n()( )、中的较大者。（2）当bamn2

2、，时若bam2，由fx( )在mn，上是增函数则f x( )的最小值是f m()，最大值是f n( )若nba2，由fx( )在mn，上是减函数则fx( )的最大值是f m()，最小值是f n( )当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（ 3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。例 1. 函数yx

3、x242在区间 0，3上的最大值是 _，最小值是 _。练习 . 已知232xx，求函数f xxx( )21的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 2. 如果函数f xx( )()112定义在区间tt，1上，求fx( )的最小值。例 3. 已知2( )23f xxx，当1()xtttR，时，求( )f x的最大值观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而

4、有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabm

5、fxf)(2)()(2)2()(2)()(543m i n如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbamnf nbamn( )( )()()( )()()min，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值

6、”。例 4. 已知x21，且a20，求函数f xxax( )23的最值。例 5. (1) 求2f ( x)x2ax1在区间 -1,2 上的最大值。(2) 求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 6. 已知24 ()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中

7、参数的取值。例 7.已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为4，求实数a 的值。例8.已知函数2( )2xf xx在区间, m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。例 9. 已知二次函数2f ( x )ax( 2a1)x1在区间3,22上的最大值为3， 求实数 a的值。三、巩固训练1函数y12xx在1 , 1上的最小值和最大值分别是（）)(A1 ,3 )(B43,3（C）21,3 （D）41, 32函数242xxy在区间4, 1上的最小值是（）)(A7)(B4)(C2)(D2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

8、-第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3函数5482xxy的最值为（）)(A最大值为 8，最小值为0)(B不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0, 不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值4若函数4,0,422xxxy的取值范围是_ 5已知函数f xaxaxa( )()()22130322在区间，上的最大值是1，则实数 a的值为6如果实数yx,满足122yx，那么)1)(1(xyxy有（）(A) 最大值为1 , 最小值为21(B) 无最大值，最小值为43（C）)最大值为1, 无最小值(D) 最大值为1，最小值为437已知函数322xxy在闭区间,0m上有最大值

9、3，最小值2，则m的取值范围是（）(A) ), 1 (B) 2 ,0(C) 2, 1(D) 2,(8若12,0,0yxyx，那么232yx的最小值为 _ 9设21,xxRm是方程01222mmxx的两个实根，则2221xx的最小值 _ 10设),(1,44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。11已知)(xf22aaxx，在区间 1 ,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。12.（2009 江苏卷）设a为实数，函数2( )2() |f xxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求( )f x的最小值；(3)设函数( )( ),( ,)h xf x

10、xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x的解集 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2010 二次函数一 . 选择题1.(2010兰州 ) 二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是( ) A （ -1 ，8） B （1， 8） C （-1，2） D （1，-4 ）2.(2010兰州 ) 抛物线cbxxy2图像向右平移2 个单位再向下平移3 个单位，所得图像的解析式为322xxy，则 b、 c 的值为 ( ) A . b=2， c=2 B. b=2， c=0 C .

11、 b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 3.(2010 河北 )如图，已知抛物线cbxxy2的对称轴为2x，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 ( ) A （2，3）B （3，2）C （3，3）D （4，3）4.(2010 陕西 )将抛物线C：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移到 C/。若两条抛物线C,C/关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）A 将抛物线C 向右平移52个单位B 将抛物线C 向右平移3 个单位C 将抛物线C 向右平移5 个单位D 将抛物线C 向右平移6 个单位5. （2010 遵义）如

12、图，两条抛物线12121xy、12122xy与分别经过点0, 2,0, 2且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（） 8 6 10 4 6.(2010 莱芜 )二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数abxy的图象不经过( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7.（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中， BAD=ACB=90 ，AB=AD，AC=4BC，设 CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为y，则 y 与 x 之间的函数关系式是( )A2225yxB2425yxC225yxD245yxx y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

13、 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8.（2010 丽水）下列四个函数图象中，当x0 时， y 随 x 的增大而增大的是( ) 9.(2010 成都 )把抛物线2yx向右平移1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（）（A）21yx（B）2(1)yx（C）21yx（D）2(1)yx10.(2010 兰州 ) 抛物线cbxaxy2图像如图所示， 则一次函数24bacbxy与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图像大致为( ) 11.（2010 济南）二次函数22yxx的图象如图所示，则函数值y 0 时 x 的取值范围是（）Ax 1 Bx2 C 1

14、x2 Dx 1 或 x 2 12. （ 2010 杭州）定义 , ,a b c为函数2yaxbxc的特征数 , 下面给出特征数为2m，1 m , 1m 的函数的一些结论： 当 m = 3 时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； 当 m 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； 当 m 41时， y 随 x 的增大而减小； 当 m 0 时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（）A. B. C. D. x x x x x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思13.(

15、2010 舟山 )已知二次函数131232xxy，则函数值y 的最小值是（）A. 3 B. 2 C. 1 D. -114.(2010 咸宁 )已知抛物线2yaxbxc（a0）过 A（2，0） 、O（0，0） 、B（3，1y） 、C（3，2y）四点，则1y与2y的大小关系是 ( ) A1y2yB1y2yC1y2yD不能确定15.(2010 桂林 )将抛物线221216yxx绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（）A221216yxxB221216yxxC221219yxxD221220yxx二填空题1. (2010 成都 )如图，在ABC中，90B，12mmAB，24mmBC，动点P从点A

16、开始沿边AB向B以2mm /s的速度移动（不与点B重合） ，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm /s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 _秒，四边形APQC的面积最小2.（2010 浙江金华）若二次函数kxxy22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022kxx的一个解31x，另一个解2x；3. （2010 郴州）将抛物线 y=x2 +1 向下平移2 个单位，?则此时抛物线的解析式是_4（2010 天津）已知二次函数2yaxbxc (0a)中自变量 x 和函数值y的部分对应值如下表：x321120 121 32y542942540 74则该二次函数的解

17、析式为5.(1)(2010 义乌 )将抛物线y12x2向右平移2 个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；（2）如图， P 是抛物线 y2对称轴上的一个动点，直线xt 平行于 y 轴，分别与直线yx、抛物线 y2交于点 A、 B若 ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直角三形，求满足条件的t 的值，则t6.(2010 玉溪 ) 如图是二次函数)0(2acbxaxy在平面直角坐标系中的图象， 根据图形判断c0； a+b+c0； 2a-b0；b2+8a4a c中正确的是（填写序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

18、10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三解答题1.（2010 宁波）如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2， 0） 、B（0， 6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结 BA 、BC ，求 ABC 的面积。2.（2010 浙江金华）已知二次函数y=ax2 bx3 的图象经过点A（2， 3） ，B（ 1， 0） （ 1）求二次函数的解析式；（ 2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移个单位3.（ 2010 绍兴）如图 , 设抛物线C1:512xay, C2:512xay, C1与 C2的交点为A,

19、 B, 点 A 的坐标是)4, 2(, 点 B 的横坐标是 2. （1）求a的值及点B 的坐标；（2）点 D在线段 AB上, 过 D作 x轴的垂线 , 垂足为点 H, 在DH 的右侧作正三角形DHG.记过 C2顶点的直线为l, 且l与x轴交于点 N. 若l过 DHG 的顶点 G, 点 D 的坐标为(1, 2)，求点 N 的横坐标； 若l与 DHG 的边 DG相交 , 求点 N的横坐标的取值范围.y x C A O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4.(2010 玉溪 )

20、在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （1，3） ，AOB的面积是3. （1）求点 B的坐标；（2）求过点A、 O 、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使 AOC的周长最小？若存在，求出点 C的 坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（ 2）中，x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点 P作x轴的垂线，交直线AB 于点 D，线段 OD把 AOB分成两个三角形. 使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 5.（2010 宜宾） 将直角边长为6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点C、A 分别在 x、 y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C 及点 B( 3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点P 作 AB 的平行线交AC 于点 E，连接 AP，当 APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使 AGC 的面积与（ 2）中 APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由yxCBOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页