对数与对数的运算.ppt

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1、对数与对数运算对数与对数运算问题问题1实例实例1：截止到截止到1999年底，我国人口约年底，我国人口约13亿亿.如果今如果今后能将人口年平均增长率控制在后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过，那么经过20年年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到年我国的人口数将达到18亿？亿？ 13 (11)x18，求，求x=? 假设假设2002年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长亿元，如果每年平均增长8%，那么经，那么经过多少年国民生产总值是过多少年国民生产总值是2002年的年的2倍？倍？问题问题2如何列方

2、程？如何列方程？ 2%)81 (aax如何求出如何求出x的值的值?208.1 x即? x这是已知底数和幂的值，求指数的问题。这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式即指数式 中，已知中，已知a 和和N.求求b的的问题。（这里问题。（这里 a0且且a1 ）Nab 一般地，如果一般地，如果a(a0, 且且a1)的的b次幂次幂等于等于N，就是，就是abN ，那么，那么数数b叫做以叫做以a为底为底N的对数的对数，记作，记作logaNb.其中其中a叫底数叫底数,N叫真数叫真数.即即定义：定义：)10(logaabNNaab且Nab叫做叫做指数式指数式 ,bNalog叫做叫做对数式对数式. . 当当0

3、, 1, 0Naa时，时， NabbNalog底底底底指数指数对数对数幂幂真数真数指数式与对数式的互化常用的两种对数：常用的两种对数： 我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数. 为了简便，为了简便，N的常用对数的常用对数log10N,简记作简记作lgN.1、 常用对数：常用对数： 在科学技术中使用以无理数在科学技术中使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫为底的对数叫自然对数自然对数.为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数logeN,简记作简记作lnN2、 自然对数：自然对数：1、将下列指数式转化为对数式：、将下列指数式转

4、化为对数式：探究活动探究活动log31=0log81= 00log0.51=0log2.91=你发现你发现了什么了什么?“1”的对数等于零,即loga1=o(1) 30=1(2)80=1(3)0.50=1(4)2.90=1对数的性质对数的性质(1) log22=1(2) log1616=11(3) log0.50.5=1(4) log99=你发现你发现了什么了什么?底数的对数等于“1”,即logaa=1探究活动二：（1）负数与零没有对数负数与零没有对数 （2）01loga（3）1logaa（4）对数恒等式：对数恒等式： NaNalog2.几个常用的结论几个常用的结论 ：axN logaNx.注

5、意：注意： 底数底数a的取值范围的取值范围真数真数N的取值范围的取值范围(0, 1)(1, )；(0, ).6255)1(4 6412)2(6 273)3( a73. 5)31()4( m例例1:将下列指数式写成对数式将下列指数式写成对数式:4625log5 6641log2 a 27log3m 73. 5log31解：解：416log)1(21 7128log)2(2 201. 0lg)3( 303. 210ln)4( 16214 12827 01. 0102 10303. 2 e例例2:将下列对数式写成指数式将下列对数式写成指数式:解：解：解：解：（1 1） （4 4） （3 3） （2

6、2） 25log5225log25110lg101. 0lg21000lg3001. 0lg3（5 5） （6 6） 求下列各式的值求下列各式的值练习练习 （1 1） （4 4） （3 3） （2 2） 25log2510lg01. 0lg1000lg001. 0lg（5 5） （6 6） 25log5例例3:求下列各式中的求下列各式中的x的值的值:32log)1(64 x68log)2( x223233164(4 )416x解解:(1)(2)611136628,08(2 )22xxx求底数求底数求真数求真数210010,100102xx解解:(3)例例3:求下列各式中的求下列各式中的x的值的

7、值:x 100lg)3(xe 2ln)4(求对数求对数2,ln22xeexex(4)求对数求对数请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？1 1对数的定义对数的定义2 2掌握指数式与对数式的互化掌握指数式与对数式的互化一般地一般地, ,如果如果a( (a0,0,a1)1)的的 x 次幂等于次幂等于N, N, 即即ax=N,=N,那么数那么数x叫做叫做以以a为底为底N N的对数的对数, , 记作记作loglogaN N= =x ( (式中的式中的a叫做对数的叫做对数的底数底数, ,N N叫做叫做真数真数).).NaxNxalog3 3会由指数运算求简

8、单的对数值会由指数运算求简单的对数值(a0,a1)(a0,a1)思考思考:指数的运算法则有几个指数的运算法则有几个?分别是什么分别是什么?),(Rnmaaanmnm ),()(Rnmaamnnm ).()(Rnbaabnnn maM 设naN nmaNM 则mMalognNalognmNMa)(logNMNMaaaloglog)(log你能类似地得出下列公式吗？你能类似地得出下列公式吗？NMNMaaalogloglog证明：证明：设设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即证得即证得 NM)(2NlogMlog

9、NMlogaaa证明：证明：设设 ,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paM npnaMnpMna log即证得即证得 )(3R)M(nnlogMlogana1积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果a0，且，且a1，M0，N0有：有：) 3( loglog)2(logloglog) 1 (loglog)(logR)(nMnMNMNMNMMNanaaaaaaa“积的对数对数的和积的对数对数的和” 有时逆向运用公式：有时逆向运用公式： 真数的取值范围必须是真数的取值范围必须是 (0, ). 对公式容易错误记忆，要特别注意：对公式容易错误记忆，要特别注意：

10、 .loglog)(logNMNMaaa . 110log2log5log101010 如：如：NMMNaaaloglog)(log ) 3( loglog)2(logloglog) 1 (loglog)(logR)(nMnMNMNMNMMNanaaaaaaa例1 解解（1） 解解（2） 用用 ,log xa,log yazalog表示下列各式：表示下列各式： 23;(2)log(1)logaaxyxyzzzxyzxyaaalog)(loglog3121232log)(loglogzyxzyxaaazyxaaalogloglog31212logloglogzyxaaazyxaaalog31lo

11、g21log2例例2、计算（1）)24(log572(2)5100lg(5)18lg7lg37lg214lg1919522 250lg2lg)5(lg)4(25lg20lg)3(1 10 0（1） 18lg7lg37lg214lg练习练习计算：计算： 解法一解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二解法二： （2） 计算：计算： 9lg243lg3lg23lg525解： 1023lg)10l

12、g(32lg)3lg(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(2213213253lg3lg9lg243lg)2(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(12lg23lg) 12lg23(lg23233.3.对数换底公式对数换底公式 aNNccalogloglog( a 0 ,a 1 ，c 0 ,c 1,N0) 如何证明呢如何证明呢? ?证法证法1:NaNalog两边取两边取以以c c为底的为底的对数对数即得即得: :证法证法2:Nax若两边取两边取以以c c为底的为底的对数对数即得即得: :Nxalog则2. 换底公式的推论换底公式的推论1. 对数换底公式：对数换底公式：aNNcca

13、logloglog1loglogabba1logloglogacbcbaaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca证明证明：设：设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,paN 即证得即证得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog换底公式换底公式其他重要公式其他重要公式1:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba证明证明:由换底公式由换底公式 取以取以b为底的对数得：为底的对数得： 还可以变形还可以变形,得得 , 1logbbaNNccalogloglogabbbba

14、logloglogabbalog1log1loglogabba23454839(1)loglog(2)log 3 log 4 log 5 log 2(3)(log 3log 3)(log 2log 2)acca(1)loglogaccalglg1;lglgcaac解解: :2345(2)log 3 log 4 log 5 log 2lg3 lg4 lg5 lg21;lg2 lg3 lg4 lg5练习练习2.2.利用对数的换底公式化简下列各式利用对数的换底公式化简下列各式4839(3)(log 3log 3)(log 2log 2)232lg3lg3lg2lg2()()lg2lg2lg3lg3l

15、g3lg3lg2lg2()()2lg23lg2lg32lg35lg3 3lg25.6lg2 2lg34lg3lg3lg2lg2()()lg4lg8lg3lg9其他重要公式其他重要公式2:NmnNanamloglog证明证明：设：设 ,logpNnam由对数的定义可以得：由对数的定义可以得： ,)(pmnaN 即证得即证得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 练习练习 （1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值：求下列各式的值：15log5log332lg5lg 31log3log553log6log2236log22log21)25lg( 10lg1)

16、313(log51log50155log3133log12. 用用lg，lg，lg表示下列各式：表示下列各式：练习练习 （1） （4） （3） （2） )lg(xyzzxy2lgzxy3lgzyx2lg21lglglg；lglglg；lglg lg； zyxlglg2lg21例题与练习例题与练习例例1、计算：计算： 827log 9 log 321)3log12 . 05)24219432log2log3log)3151591023练习：练习：1求值：求值： )5 . 0log2)(log2 . 0log5(log255422若若 ,求求m2loglog8log4log4843m3若若log

17、8 3 = p , log 3 5 = q , 用用p,q表示表示 lg 5 413pqpq313_loglog,log,log. 423yxzzyxaaaa表示用_5lg2lg825lg4lg:. 522计算.,lglg)2lg(2. 6的值求已知yxyxyxzyxaaalog3log2log42)(log)(log)(logxxxaaaxa2log注意：注意：注意：注意：真数大于真数大于0计算计算:logloglog1.( , ,(0,1)(1,),0)abcbcNaa b cN2 123422.log( 21)2lg12log 10log 10log (log)3.1,1,logpbbb

18、aabpaa627log 16a12练习：1.已知log，求的值。2.已知：已知：632236abc求证：求证：123abc3.已知已知a,b,c是是ABC的三边的三边,且关于且关于x的方的方 程程有等根有等根,判断判断ABC的形状的形状.2222lg()2lg10 xxcba 小结小结 :积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca1lo

19、glogabba), 1 () 1 , 0(,ba例例3 20世纪世纪30年代，年代，克里特克里特制定了一种表明制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级氏震级M，其计算公式为，其计算公式为:M=lgA-lgA0，其中，其中，A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0是是“标准地震标准地震”的振幅的振幅 （使用标准地震振（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造

20、成的幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。偏差）。（1）假设在一次地震中，一个距离震中假设在一次地震中，一个距离震中100千千米的测震仪记录的地震最大振幅是米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标，此时标准地震的振幅是准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级，计算这次地震的震级（精确到（精确到0.1）。）。例例3 20世纪世纪30年代，年代，克里特克里特制定了一种表明制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里

21、地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级氏震级M，其计算公式为，其计算公式为M=lgA-lgA0，其中，其中，A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0是是“标准地震标准地震”的振幅的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。距实际震中的距离造成的偏差）。（2）5级地震给人的震感已比较明显级地震给人的震感已比较明显,试计算试计算7.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的级地震的最大振幅的多少倍多少倍? (精确到精确到1)例例3 生物机体内碳生物机体内碳1414的半衰期为的半衰期为57305730年年, ,湖南湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳长沙马王堆汉墓女尸出土时碳1414的残余量约占的残余量约占原始含量的原始含量的76.7%,76.7%,试推算马王堆汉墓的年代试推算马王堆汉墓的年代. .