2019年度河北衡水市全国普通高级中学高三四月大联考数学(文)试题(解析版).doc

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1、2019届河北省衡水市全国普通高中高三四月大联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出集合,再求交集【详解】，.故选A.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是求出集合，并注意集合中，属于简单题。2已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先将复数化成形式，再求模。【详解】，.故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的模，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。3已知，且为第三象限角，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题可求得，从而可得【详解】，.，即，又为第三象限角，.故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，解题的关

2、键是求出 ，再结合可得答案。属于简单题。4已知正项等比数列的前项和为，且，则（ ）ABC31D32【答案】A【解析】先由题求出又因为 ，【详解】在正项等比数列中，又，又，.故选A.【点睛】本题考查等比数列的基本性质以及求和公式，属于简单题。5古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）ABC或D【答案】D【解析】由题可知圆柱的底面半径与球的半径相等，高等于球的直径，分别求体积即可。【详解】由已知可知，该几何体的轴截面如图所示，即圆柱的底面半径与球的半径相等，高等于球的直径，所以.故

3、选D.【点睛】本题考查简单几何体，解题的关键是找到圆柱的底面半径与球体半径以及圆柱的高与球体半径之间的等量关系，属于一般题。6已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，的中点为，若，则点到轴的距离为（ ）A3BC1D【答案】B【解析】先设出两点坐标，由题可知，解出，再求点到轴的距离。【详解】设，则由抛物线的定义，可知，又，得，点到轴的距离为.故选B.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦，弦长，而到轴的距离是点的横坐标。72018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布

4、的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率与人均月收入分别绘制成折线图（如图一）与不完整的条形统计图（如图二）.请从图中提取相关的信息：10月份人均月收入增长率为左右；11月份人均月收入为2047元；从上图可知该地9月份至12月份人均月收入比8月份人均月收入均得到提高.其中正确的信息个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】由图逐个分析，设10月份人均月收入增长率为，列式解得；，11月份人均月收入为元，由图明显正确。【详解】对于，设10月份人均月收入增长率为，则，解得，故正确；对于，11月份人均月收入为元，故错误；对于，从图中易知8月人均月收入最低，所以该地9月份至12月份人均月收

5、入均得到提高，故正确.综上，正确的选项有2个.故选C.【点睛】本题考查统计问题以及图表分析能力，属于一般题。8在如图所示的中，点，分别在边，上，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】以作为基底表示.【详解】由题得， .故选D.【点睛】本题考查向量的基底表示，解题的关键是以作为基底表示，属于一般题。9已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】由为上的偶函数可得，所以即为，从而求出不等式的解集。【详解】因为为上的偶函数，所以，即得，所以，则即为，所以，即，所以，解得或.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性以及不等式，解题的关键是求出，属于一般题。10已知函数图象的一条对

6、称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移个单位后得到函数的图象，若函数图象的一条对称轴方程为，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】先由题求得，再求出函数的解析式，然后根据三角函数的对称轴求的值。【详解】由题得，又，所以，所以，从而，所以 .因为函数图象的一条对称轴方程为，所以，则，则，.因为，所以.故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质以及平移变换，属于一般题。11某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（ ）A10B15C20D25【答案】A【解析】由三视图画出原几何体的直观图，再求体积。【详解】由三视图可知该剩下几何体是底面是边长为2的正方形，

7、其中有四条侧棱长分别为4，3，2，1的几何体（如图所示），由三视图可知，.因为四边形是平面截原几何体所得的截面，所以四边形为平行四边形.设与交于点，与交于点，则易知既为的中位线，也为的中位线，故所求的几何体的体积为.故选A.【点睛】本题考查三视图，解题的关键是找到原几何体的三视图，属于一般题。12若不等式有且仅有两个正整数解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解，令，则问题转化为函数 的图像有两个交点。【详解】由题得，不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解.记，函数的图象是过定点的直线.又记，令，当时，单调递增；当

8、时，单调递减，如图所示，要使有且仅有两个正整数解，数形结合可知，只需满足，即.故选A.【点睛】含参的不等式可转化为函数问题，解本题的关键是能构造函数 ， 利用导函数解决，属于难题。二、填空题13已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则_【答案】1【解析】因为圆与双曲线的渐近线相切，所以求圆心到渐近线的距离即可求得半径。【详解】双曲线的渐近线方程为.依题意，得，即.【点睛】解此题的关键是理解圆心到渐近线的距离是圆的半径，利用点到直线的距离公式即可，属于简单题。14若变量，满足，则的最大值为_【答案】11【解析】由不等式组画出平面区域，再求最大值。【详解】作出不等式组表示的平面区域（如图所示的阴影部分）

9、，表示直线在轴上的截距，作直线：，将直线向不等式组表示的平面区域内平行移动，数形结合易知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.由得，的最大值为.【点睛】此题考查线性规划问题，解题的关键是画出平面区域，属于一般题。15现有一场专家报告会，张老师带甲，乙，丙，丁四位同学参加，其中有一个特殊位置可与专家近距离交流，张老师看出每个同学都想去坐这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置.问题如下：某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学，尝试做了，并且这6人中只有1人答对了.听完后，四个同学给出猜测如下：甲猜：或答对了；乙猜：不可能答对；丙猜：，当中必有1人答对了；丁

10、猜：，都不可能答对，在他们回答完后，张老师说四人中只有1人猜对，则张老师把特殊位置给了_【答案】丁【解析】分别假设甲、乙、丙三名同学猜对，结合条件判断与题目是否矛盾。【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错.因为甲，乙，丙，丁四人中只有1人猜对，所以丁猜对.故张老师把特殊位置给了丁.【点睛】本题考查简易逻辑，属于一般题。16在中，点在边上，且，则_【答案】【解析】由题，求出的模,即为线段的长，【详解】由，得，即，所以，两边平方得， ，所以.【点睛】本题考查解三角形问题，解题的关键是求出，属于一般题。三

11、、解答题17在数列中，.（1）求，；（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）分别令代入,可求，；（2）将的左右两边同时除以（3）由（2）可知，再用裂项相消法求前项和。【详解】解：（1）由题得，则，即，解得，又，则，即，解得.（2），且，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，.（3）由（2）可知， .【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和以及证明等差数列，属于一般题。18如图，在四边形中，是的中点，为正三角形，.将沿直线折起，使到达处，到达处，此时平面平面.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】

12、（1）先由题证明，再证明平面则可得；（2）用等体积转化法，求点到平面的距离。【详解】解：（1）由，可知，又平面平面，且平面平面.平面，又平面，.（2）取的中点，连接.为正三角形，也为正三角形，.由，知.平面平面，平面平面，平面，又为对应的点，为的中点，点到底面的距离为，又，又，.设点到平面的距离为.，解得，点到平面的距离为.【点睛】证明线线垂直可以先证明线面垂直；求点到面的距离可用等体积转化法。19前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大

13、量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分（满分100分）如下表：分数频数231114119请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表：空气质量指数（）0-5050-100100-150150-200天数21882用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者

14、最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？附：空气质量指数（）0-5050-100100-150150-200200-300空气质量指数级别空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【解析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012

15、，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图。（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第级，属于良（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案。【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为.对照表格可知，该月空气质量指数为第级，属于良.（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，所以小李花费的药费为元.又元，所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费

16、.【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题。20已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题可得，算出可得椭圆方程。（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，则，结合题目分别算出两点坐标，则的面积以为底，到直线的距离为高计算得出。【详解】解：（1）由题得，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以 .由（1）知，椭圆的方程为，所以，所以，从而，所以直线的方程为，即.联立方程，解得或.设，不妨取，所以当，；当，所

17、以，.设原点到直线的距离为，则，所以.【点睛】求椭圆方程即通过条件求；直线与直线关于轴对称，则两直线的斜率和等于零。21已知曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）最小值为.（2）见解析【解析】（1）先对求导，再由曲线在点处的切线与直线垂直可得，则求得 解析式，然后通过单调性求最值。（2）要证，即证，即，构造函数，通过证明，从而证明.【详解】解：（1）由，得，所以，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，则，.令，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的最小值为.（2）要证，即证，又因为，所以即证.记，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时

18、，有最大值.又记，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以的最小值为.因为，所以，所以，所以成立.【点睛】利用导函数解不等式，（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解；（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题。22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】（1）先解出交点的直角坐标，再转化成极坐标；由题直线过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数） （2）将的参数方程代入圆的普通

19、方程，结合韦达定理与参数的几何意义求解。【详解】解：（1）联立方程 ， 解得，.所以当时，；当时，所以交点的直角坐标分别为，则对应的极坐标为，.由题得，直线的参数方程为（为参数）.（2）将的参数方程代入圆的方程中， 得，化简整理，得，且，设点，分别对应参数，所以，又由，的几何意义可知，.【点睛】求极坐标可先求直角坐标，通过直角坐标转化成极坐标，两者之间的关系为 ；直线的参数方程 （为参数）直线与圆锥曲线交于，两点，P为直线上定点，则.23选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）当时，利用分段函数求解。（2）由，可得，所以转化为，即。【详解】解：（1）当时，作出的函数图象如下：从图中可知，不等式的解集为.（2）因为，所以，所以转化为，即得对恒成立，即或，也就是或对恒成立，所以或，故实数的取值范围为.【点睛】解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解。