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1、课后限时集训33数列的概念与简单表示法建议用时:45分钟一、选择题1数列0,1,0,1,0,1,0,1,的一个通项公式an等于()ABcos CcosDcosD令n1,2,3,逐一验证四个选项,易得D正确2若Sn为数列an的前n项和,且Sn,则等于()A.B.C.D.30D当n2时,anSnSn1,所以5630.3记Sn为数列an的前n项和“任意正整数n,均有an0”是“Sn是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A“an0”“数列Sn是递增数列”,“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件如数列an为1,1,3,5,7,9,显然数列Sn是递增数列,
2、但是an不一定大于零,还有可能小于零,“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”,“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件4(2019武汉5月模拟)数列an中,an12an1,a11,则a6()A32B62C63D64C数列an中,an12an1,故an112(an1),因为a11,故a1120,故an10,所以2,所以an1为等比数列,首项为2,公比为2.所以an12n即an2n1,故a663,故选C.5若数列an的前n项和Snn210n(nN),则数列nan中数值最小的项是()A第2项B第3项C第4项D第5项BSnn210n,当n2时,
3、anSnSn12n11;当n1时,a1S19也适合上式an2n11(nN)记f(n)nann(2n11)2n211n,此函数图像的对称轴为直线n,但nN,当n3时,f(n)取最小值数列nan中数值最小的项是第3项二、填空题6已知数列,则5是它的第_项21数列,中的各项可变形为,所以通项公式为an,令5,得n21.7若数列an满足a11,a23,an1(2n)an(n1,2,),则a3等于_15令n1,则32,即1,由an1(2n1)an,得a35a25315.8在一个数列中,如果任意nN,都有anan1an2k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列,
4、且a11,a22,公积为8,则a1a2a3a12_.28a1a2a38,且a11,a22.a34,同理可求a41,a52.a64,an是以3为周期的数列,a1a2a3a12(124)428.三、解答题9(2019洛阳模拟)已知数列an满足a150,an1an2n(nN),(1)求an的通项公式;(2)已知数列bn的前n项和为an,若bm50,求正整数m的值解(1)当n2时,an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(n1)2(n2)222150250n2n50.又a15012150,an的通项公式为ann2n50,nN.(2)b1a150,当n2时,bnanan1n2n5
5、0(n1)2(n1)502n2,即bn.当m2时,令bm50,得2m250,解得m26.又b150,正整数m的值为1或26.10设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3),an1Sn3n,nN,设bnSn3n,(1)求数列bn的通项公式;(2)若an1an,nN,求a的取值范围解(1)依题意,Sn1Snan1Sn3n,即Sn12Sn3n,由此得Sn13n12(Sn3n),即bn12bn,又b1S13a3,所以数列bn的通项公式为bn(a3)2n1,nN.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1,nN,于是,当n2时,anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2,
6、an1an43n1(a3)2n22n2,当n2时,an1an12n2a30a9,又a2a13a1(a3)综上,a的取值范围是9,3)(3,)1已知数列an满足:a11,an1(nN),若bn1(n),b1,且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是()A(2,)B(3,)C(,2)D(,3)C由an1,知1,即12,所以数列是首项为12,公比为2的等比数列,所以12n,所以bn1(n)2n,因为数列bn是递增数列,所以bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10对一切正整数n恒成立,所以n1,因为nN,所以2,故选C.2(2019临沂三模)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“
7、兔子数列”: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,即F(1)F(2)1,F(n)F(n1)F(n2)(n3,nN),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an,则数列an的前2 019项的和为()A672B673C1 346D2 019C由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以2的余数,可得an为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,所以an是周期为3的周期数列,一个周期中三项和为1102,因为2 0196733,所以数列an的前2 019项的和为67321 346,故选C.3(2019晋城三模)
8、记数列an的前n项和为Sn,若Sn3an2n3,则数列an的通项公式为an_.an2n当n1时,S1a13a11,解得a1;当n2时,Sn3an2n3,Sn13an12n5,两式相减可得,an3an3an12,故anan11,设an(an1),故2,即an2(an12),故.故数列an2是以为首项,为公比的等比数列,故an2n1,故an2n.4已知数列an中,a11,其前n项和为Sn,且满足2Sn(n1)an(nN)(1)求数列an的通项公式;(2)记bn3na,若数列bn为递增数列,求的取值范围解(1)2Sn(n1)an,2Sn1(n2)an1,2an1(n2)an1(n1)an,即nan1
9、(n1)an,1,ann(nN)(2)由(1)知bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)数列bn为递增数列,23n(2n1)0,即为递增数列,c12,即的取值范围为(,2)1(2019烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列:,(kN),按照k从小到大的顺序排列在一起,构成一个新的数列an:1,则首次出现时为数列an的()A第44项B第76项C第128项D第144项C观察分子分母的和出现的规律:2,3,4,5,把数列重新分组:,可看出第一次出现在第16组,因为12315120,所以前15组一共有120项;第16组的项为,所以是这一组中的第8项,故第一次出现在数列的第128项,故选C.2已知二次函数f(x)x2axa(a0,xR)有且只有一个零点,数列an的前n项和Snf(n)(nN)(1)求数列an的通项公式;(2)设cn1(nN),定义所有满足cmcm10的正整数m的个数,称为这个数列cn的变号数,求数列cn的变号数解(1)依题意,a24a0,所以a0或a4.又由a0得a4,所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时,a1S11441;当n2时,anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知,当n5时,恒有cn0.又c13,c25,c33,c4,c5,c6,即c1c20,c2c30,c4c50,所以数列cn的变号数为3.
限制150内