2022年椭圆曲线知识点与讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21, FF的距离的和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|221FFa表示椭圆；|221FFa表示线段21FF；|221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0( 12222babyax)0(12222babxay图形顶点), 0(), 0()0,(),0 ,(2121bBbBaAaA),0(), 0()0,(),0 ,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴

2、为a2焦点)0,(),0 ,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆)0( 12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长= （2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF， 过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是| PQ二、例题讲解。例 1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点，

3、故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程x O F1 F2 Py A2 B2 B1 x O F1 F2 Py A2 A1 B1 B2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载解： 当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax由椭圆过点03，P， 知10922ba 又ba3， 代入得12b，92a， 故椭圆的方程为1922yx当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay由椭圆过点03，P， 知10922ba 又ba3，

4、联立解得812a，92b， 故椭圆的方程为198122xy例 2、ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆， 且除去轴上两点 因10a，8c， 有6b，故其方程为013610022yyx（2）设yxA，yxG，则013610022yyx由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132490022y

5、yx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点） 例 3、 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解： 设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为11035

6、22yx或1510322yx例 4、已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsin21求面积解：如图， 设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12 PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b三、习题讲解。一、选择题。1.圆6x2

7、+ y2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0) ?(1,0) B.(-6,0) ?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆 x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0) 、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、 (0,22) 3.椭圆 3x2+2y2=1的焦点坐标是A.(0, 66)、(0,66) B.(0,-1) 、(0,1) C.(-1,0) 、(1,0) D.(-66,0)、(66,0) 4.椭圆12222aybx(ab0)的准线方程是A.222baayB.222baayC.222b

8、abyD.222baay5.椭圆14922yx的焦点到准线的距离是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载A.559554和B.5514559和C.5514554和D.55146.已知 F1、F2为椭圆12222byax(a b0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦 AB，若AF1B的周长为 16，椭圆离心率23e,则椭圆的方程是A.13422yxB.131622yxC.1121622yxD.141622yx7.离心率为23,且过点 (2,0)的椭圆的标准方程是A.1422yxB.1422yx或1422yxC.1

9、4122yxD.1422yx或116422yx8.椭圆12222byax和kbyax2222(k0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长 ?短轴9.点A(a,1)在椭圆12422yx的内部 ,则a的取值范围是A.-2a2B.a2C.-2a2 D.-1a110.设F是椭圆12222byax的右焦点， P(x,y)是椭圆上一点，则|FP|等于A.exaB.exaC.axeD.aex二、填空题1.椭圆的焦点 F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是_.2.椭圆14922yx上的点到直线03332yx距离的最大的值是.3.已知 F1?F2是椭圆192522

10、yx的两个焦点 ,AB是过焦点 F1的弦 ,若 AB=8,则 F2A+F2B的值是A.16 B.12 C.14 D.84.若 A点坐标为（1， 1）， F1是 5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载5.直线 y=1-x交椭圆 mx2+ny2=1于M，N两点，弦 MN的中点为 P，若 KOP=nm则,22_.6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是_.7.已知椭圆的准线方程是y=9,离心率为32

11、，则此椭圆的标准方程是_.8.到定点（ 1，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为22的动点 P的轨迹方程是.9.已 知 椭 圆 x2+2y2=2的 两 个 焦 点 为 F1和 F2， B为 短 轴 的 一 个 端 点 ， 则 BF1F2的 外 接 圆 方 程 是_. 10.已知点 A(0，1)是椭圆 x2+4y2=4上的一点， P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_. 三、简答题。1、 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程2、已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得

12、的弦长为5102，求直线的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载3 以椭圆131222yx的焦点为焦点， 过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程4 已知长轴为12， 短轴长为 6， 焦点在x轴上的椭圆， 过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长1：D 2 ：A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A 9.A 10.D 1.1602422yx2.213.B4.265.226.217.1181422yx8.06212

13、222xyx9.122yx10.(31,324) 1、 分析： 关键是根据题意，列出点P满足的关系式解： 如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx说明： 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2、解： （1）把直线

14、方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm， 解 得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（ 1）得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明： 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程3 分析： 椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找

15、一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解： 如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（9，6） ，直线2FF的方程为032yx解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（ 5，4） 此时21MFMF最小所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载为151522yx4 分析： 可以利用

16、弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1 (212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx 设1x，2x为方程两根， 所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页