2022年椭圆的简单几何性质_直线与椭圆的位置关系 .pdf

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1、1 / 38 幻灯片 1 2.1.2 椭圆的简单几何性质 联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组 (10 (2=0 个公共点； (3 相切 (一个交点 相交 (二个交点 相离 (没有交点 相切 (一个交点 相交 (二个交点 幻灯片 5 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页5 / 38 方程组有两解两个交点相交0 =方程组有一解一个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

2、- - - -第 5 页，共 38 页6 / 38 相切0相离方程组无解无交点幻灯片 6 1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法 (代数法 知识点 1.直线与椭圆的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页7 / 38 联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 (10 (2=0 (3k-3366-k A.没有公共点 B.一个公共点C.两个公共点 D.有公共点D 幻灯片 9 题型一：直线与椭圆的位置关系例 3: 已知椭圆221259xy, 直线45400 xy, 椭圆上是否存在一点 , 到直线l的距离最小 ?最

3、小距离是多少 ? 分析: 设00(,)P xy是椭圆上任一点 , 试求点P到直线45400 xy的距离的表达式 . 000022454045404145xyxyd且22001259xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页10 / 38 尝试遇到困难怎么办 ? l m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页11 / 38 作出直线l及椭圆 , 观察图形 , 数形结合思考 .幻灯片 10 题型一：直线与椭圆的位置关系2214 -5400.259

4、xylxyl例3：已知椭圆，直线 ：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？m o x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页12 / 38 ml解：设直线平行于 ，450lxyk则 可写成：224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去 ，得22064-425-2250kk由，得（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页13 / 38 12k25k25解得=，=-25.k由图可知幻灯片 11 题

5、型一：直线与椭圆的位置关系2214 -5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线 ：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？ o x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页14 / 38 45250mxy直线为：22402515414145mld直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且max22402565414145d思考：最大的距离是多少？幻灯片 12 练习：已知直线y=x- 与椭圆 x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、- - - - - - -第 14 页，共 38 页15 / 38 解：联立方程组消去 y 01452xx- (1 ?0 因为所以，方程 ，P2(x2,y2 两点，直线P1P2的斜率为k由韦达定理51542121xxxx21xyx2+4y2=2 知识点 2：弦长公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页16 / 38 221|1|1|ABABABkxxyyk弦长公式：当直线斜率不存在时,则12AByy . 幻灯片 14 题型二：弦长公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

7、 - -第 16 页，共 38 页17 / 38 例 1 ：已知斜率为1的直线 L 过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B 两点，求弦AB之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页18 / 38 1122(,),(,)A x yB xy设12128 38,55xxxx8522212121211()4ABkxxkxxxx幻灯片 15 题型二：弦长公式例 2: 已知点12FF、分别是椭圆22121

8、xy的左、右焦点，过2F 作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B 两点，求1F AB的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页19 / 38 分析: 先画图熟悉题意 , 点1F 到直线 AB的距离易知 , 要求1F ABS, 关键是求弦长AB. 设1122(,),(,)A xyB xy. 由直线方程和椭圆方程联立方程组幻灯片 16 例 2: 已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F 作倾斜角为4的直线，求1F AB的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

9、 - - - - -第 19 页，共 38 页20 / 38 解: 椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF直线 AB 的方程为1yx设1122(,),(,)A xyB xy由22112yxxy消去y并化简整理得12124,03xxx x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页21 / 38 2340 xx22221212121212()()2()2 ()4ABxxyyxxxxx x=423点1F 到直线AB的距离d0( 1)12=2112F ABSdAB=142223=43.答:1F AB的面积等

10、于43幻灯片 17 题型三：中点弦问题例 3 ：已知椭圆过点 P(2，1引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页22 / 38 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页23 / 38 韦达定理斜率幻灯片 18 题型三：中点弦问题例 3 已知椭圆过点 P(2，1引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程. 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造点作差精选学习资料 - - - - -

11、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页24 / 38 幻灯片 19 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率112200(,),(,),(,)A x yB xyABM xy设中点，点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率知识点 3：中点弦问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页25 / 38 0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又1122(,),(,)A x yB xy 在椭圆上，2222221xyab

12、2211221xyab2222221211()()0bxxayy两式相减得：幻灯片 20 2222221211()()0bxxayy由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页26 / 38 2221122212yybxxa即2111221211AByyxxbkxxayy2020 xbay直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法幻灯片 21 题型三：中点弦问题例 3 已知椭圆过点 P(2，1引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

13、- - - - - -第 26 页，共 38 页27 / 38 所以 x2+4y2=(4-x2+4(2-y2 ，整理得x+2y-4=0 从而 A ,B 在直线 x+2y-4=0 上而过 A,B 两点的直线有且只有一条幻灯片 22 221axby例 4、如图，已知椭圆与直线 x+y-1=0 交于 A、B 两点， AB 的中点 M 与椭圆中心连线的斜率是，试求 a、b 的值。2 2,AB22解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“ 中点 ” 这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38

14、 页28 / 38 22110axbyxy解:2)210yab xbxb消 得:(2)(1)0bab b=4-4(abab1122(,),(,)A x yB xy设121221,bbxxxxababo x y A B M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页29 / 38 (,)baABMab ab中点222212121()4ABkxxx x又MOakb2ba12,33ab2212 22 ()4bbabab幻灯片 23 练习：1、如果椭圆被的弦被 4，2）平分，那么这弦所在直线方程为 ）A、x-2y=0 B、x+2

15、y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页30 / 38 2、y=kx+1 与椭圆恰有公共点，则m的范围 ） A 、0，1） B、0，5 ） C 、 1 ， 5） 5，+ ） D、求过点 F 且斜率为1 的直线被椭圆截得的弦长. (2判断点 A(1,1 与椭圆的位置关系, 并求以 A为中点椭圆的弦所在的直线方程. 22:(1)195xy解椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页31

16、 / 38 (2,0)F2lyx直线 ：2143690 xx得：2225945yxxy由1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长幻灯片 25 练习：已知椭圆5x2+9y2=45 ，椭圆的右焦点为F，(1求过点 F 且斜率为1 的直线被椭圆截得的弦长. (2判断点 A(1,1 与椭圆的位置关系, 并求以 A为中点椭圆的弦所在的直线方程. 22:(2)5 19 145解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页32 / 38 (1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN

17、xy设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）22225945xy1212121259MNyyxxkxxyy5951(1)9AMNyx以 为中点的弦为方程为:59140 xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页33 / 38 幻灯片 26 小 结1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）设两端点坐标，代入曲线方程相

18、减可求出弦的斜率。幻灯片 27 练习巩固 : 1. 过椭圆221164xy内一点(2,1)M引一条弦 , 使弦被点M平分 , 求这条弦所在的直线方程. 2. 椭圆221164xy上的点到直线220 xy最大距离是_. 3. 已知椭圆的焦点12( 3,0),(3,0)FF且和直线90 xy有公共点 , 则其中长轴最短的椭圆方程为_. 240 xy2、弦长的计算方法：弦长公式： |AB|= = 适用于任何曲线）21212411yyyyk）（21221241xxxxk）（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页34 / 38

19、 102214536xy幻灯片 28 思考 3: 已知椭圆22195xy的焦点为12,FF , 在直线:60lxy上找一点M, 求以12,FF 为焦点 , 通过点M且长轴最短的椭圆方程. 分析 : 椭圆的焦点为 ( 2,0),(2,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页35 / 38 关键是怎样求出椭圆的长轴大小. 2212016xy幻灯片 29 思考 3: 已知椭圆22195xy的焦点为12,FF , 在直线:60lxy上找一点M, 求以12,FF 为焦点 , 通过点M且长轴最短的椭圆方程. 12:( 2,0)

20、,(2,0)FF解 椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000( 1)1226022yxxy由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页36 / 38 0064xy解得：(6,4)F2212016所求椭圆方程为：xy124 5F Fa2 5a2c4b幻灯片 30 思维挑战题 : 试确定实数m的取值范围 , 使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页37 /

21、 38 122yxbyxm分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。:2,yxmA B解 假设椭圆上存在关于直线对称的两点12AByxb则两点的直线可设为：幻灯片 31 2212143yxbxy由22:30yxbxb消 得22b2224(3)3120bbb12xxb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页38 / 38 1122(,),(,)A x yB xy设两对称点121213()222yyxxbb3,)224bbAByxm中点 (在直线上3242bbm4bm1122m242m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页