2018年度高三数学试卷(文科).doc

*- 2018年高考数学试卷（文科） 　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=1lnx-1的定义域为A，则∁UA为（　　） A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞） D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与AB→反方向的单位向量为（　　） A．（﹣35，45） B．（35，﹣45） C．（﹣35，﹣45） D．（35，45） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（　　） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（　　） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（　　） A．3π4 B．π2 C．π3 D．π4 9．（5分）如果实数x，y满足约束条件&3x+y-6≤0&x-y-2≤0&x≥1，则z=y+1x+1的最大值为（　　） A．13 B．12 C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=&-x-1，x＜1&21-x，x≥1的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤﹣34 C．a≥1或a＜﹣34 D．a＞1或a≤﹣34 　 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　 　． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2x+1＜0的概率为12，则实数a的值为　 　． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线x2a2﹣y29=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　 　． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是　 　． 　 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量m→=（sinx，﹣1），n→=（cosx，32），函数f（x）=（m→+n→）•m→． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移π8个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A2）=66，sinB=cosA，求b的值． 17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表： 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 28 8 36 数学不及格 16 20 36 合计 44 28 72 （1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”； （2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率． 附：x2=n(n11n22-n21n12)2n1⋅n2⋅n+1⋅n+2． P（X2≥k） 0.150 0.100 0.050 0.010 k 2.072 2.706 3.841 6.635 18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60，PC=AC． （1）求证：PA⊥平面CMN； （2）求证：AM∥平面PBC． 19．（12分）已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足cn=bn+（﹣1）nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． 20．（13分）已知函数f（x）=ex﹣1﹣axx-1，a∈R． （1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围； （2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立． 21．（14分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率是32，点P（1，32）在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围； （3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，…，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn． 　  2018年高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=1lnx-1的定义域为A，则∁UA为（　　） A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞） D．[e，+∞） 【分析】先求出集合A，由此能求出CUA． 【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}， 函数f（x）=1lnx-1的定义域为A， ∴A={x|x＞e}， ∴∁UA={x|0＜x≤e}=（0，e]． 故选：A． 【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用． 　 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=﹣i﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与AB→反方向的单位向量为（　　） A．（﹣35，45） B．（35，﹣45） C．（﹣35，﹣45） D．（35，45） 【分析】与AB→反方向的单位向量=﹣AB→|AB→|，即可得出． 【解答】解：AB→=（3，4）． ∴与AB→反方向的单位向量=﹣AB→|AB→|=﹣(3，4)32+42=(-35，-45)． 故选：C． 【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（　　） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出． 【解答】解：m=0.52=14，n=20.5=2＞1，p=log20.5=﹣1， 则n＞m＞p． 故选：A． 【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是 计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可． 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知， 该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值， 由S=n(n+1)2≥210，解得n≥20， ∴输出n的值为20． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题． 　 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出． 【解答】解：q：（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＞1或x＜﹣2． 又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（　　） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔． 【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔60024=25个号抽到一个人， 则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106， 故选：D． 【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题． 　 8．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（　　） A．3π4 B．π2 C．π3 D．π4 【分析】根据直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=54π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值． 【解答】解：由题意，函数y的周期T=2(94π-54π)=2π． ∴函数y=sin（x+φ）． 当x=54π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（5π4+φ）=1， 可得：5π4+φ=π2+kπ． ∴φ=kπ-3π4，k∈Z． 当k=1时，可得φ=π4． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题． 　 9．（5分）如果实数x，y满足约束条件&3x+y-6≤0&x-y-2≤0&x≥1，则z=y+1x+1的最大值为（　　） A．13 B．12 C．2 D．3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出约束条件&3x+y-6≤0&x-y-2≤0&x≥1所对应的可行域（如图阴影），z=y+1x+1 的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率， 由图象知可知PA的斜率最大， 由&x=1&3x+y-6=0，得A（1，3）， 则z=3+11+1=2， 即z的最大值为2， 故选：C． 【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 　 10．（5分）函数f（x）=&-x-1，x＜1&21-x，x≥1的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤﹣34 C．a≥1或a＜﹣34 D．a＞1或a≤﹣34 【分析】作出f（x）的图象和g（x）的图象，它们恰有一个交点，求出g（x）的恒过定点坐标，数形结合可得答案． 【解答】解：函数f（x）=&-x-1，x＜1&21-x，x≥1与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2）， 而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）． 从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点， 当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点． 当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=-34，恒过定点坐标为（74，0），往右走图象只有一个交点． ∴a＞1或a≤﹣34． 故选：D． 【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题． 　 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣2）2=8　． 【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点， 即A、B的坐标为（4，0）、（0，4）， 经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆， 而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点， 则有2r=|AB|=42，即r=22， 圆心坐标为（2，2）， 其该圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8， 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8． 【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质． 　 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　163　． 【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥． ∴该几何体的体积V=23-13222=163． 故答案为：163． 【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2x+1＜0的概率为12，则实数a的值为　4　． 【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案． 【解答】解：由x-2x+1＜0，得﹣1＜x＜2． 又x≥0，∴0≤x＜2． ∴满足0≤x＜2的概率为2a=12，得a=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题． 　 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线x2a2﹣y29=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　2　． 【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则41+a=3a，解得实数a的值． 【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d， 则丨MF丨=d=1+p2=5，则p=8， 所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）； 又双曲线的左顶点为A（﹣a，0），渐近线为y=3a， 直线AM的斜率k=4-01+a=41+a，由41+a=3a，解得a=3． ∴a的值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题． 　 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是　[-154，-32]　． 【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+2t，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围． 【解答】解：解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）， 又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x， ∴f（x）=12（2x+2﹣x），g（x）=12（2x﹣2﹣x）． 等式af（x）+g（2x）=0，化简为a2（2x+2﹣x）+12（22x﹣2﹣2x）=0． ∴a=2﹣x﹣2x ∵x∈[1，2]，∴32≤2x﹣2﹣x≤154， 则实数a的取值范围是[﹣154，﹣32]， 故答案为：[﹣154，﹣32]． 【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题 　 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量m→=（sinx，﹣1），n→=（cosx，32），函数f（x）=（m→+n→）•m→． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移π8个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A2）=66，sinB=cosA，求b的值． 【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求； （2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）向量m→=（sinx，﹣1），n→=（cosx，32）， 函数f（x）=（m→+n→）•m→=（sinx+cosx，12）•（sinx，﹣1） =sin2x+sinxcosx﹣12=12sin2x﹣12（1﹣2sin2x）=12sin2x﹣12cos2x=22sin（2x﹣π4）， 由2kπ﹣π2≤2x﹣π4≤2kπ+π2，k∈Z， 可得kπ﹣π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z， 即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣π8，kπ+3π8]，k∈Z； （2）由题意可得g（x）=22sin（2（x+π8）﹣π4）=22sin2x， g（A2）=22sinA=66， 即sinA=33，cosA=1-13=63， 在△ABC中，sinB=cosA＞0， 可得sinB=63， 由正弦定理asinA=bsinB， 可得b=asinBsinA=36333=32． 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题． 　 17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表： 物理及格 物理不及格 合计 数学及格 28 8 36 数学不及格 16 20 36 合计 44 28 72 （1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”； （2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率． 附：x2=n(n11n22-n21n12)2n1⋅n2⋅n+1⋅n+2． P（X2≥k） 0.150 0.100 0.050 0.010 k 2.072 2.706 3.841 6.635 【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论； （2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数， 用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值． 【解答】解：（1）根据表中数据，计算X2=72(2820-168)244283636=64877≈8.416＞6.635， 因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”； （2）选取的数学及格的人数为7825=2人， 选取的数学不及格的人数为72028=5人，设数学及格的学生为A、B， 不及格的学生为c、d、e、f、g，则基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、 cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个， 其中满足条件的是 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个， 故所求的概率为P=1121． 【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 　 18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60，PC=AC． （1）求证：PA⊥平面CMN； （2）求证：AM∥平面PBC． 【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN． （2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC． 【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点， ∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD， ∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD， 又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC， ∴AD⊥PA，∴MN⊥PA， 又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA， ∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN， ∴PA⊥平面CMN． 解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ， ∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC， 又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC， ∵AD⊥AC，∠ACD=60，∴∠ADC=30． ∴∠DAQ=∠ADC=30，∴∠QAC=∠ACQ=60， ∴∠ACB=60，∴AQ∥BC， ∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC， ∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB， ∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC． 【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题． 　 19．（12分）已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足cn=bn+（﹣1）nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*． 可得2+d=q2，32+322d=6q，联立解得d，q．即可得出．． （2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n•2n．可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．对n分类讨论即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． ∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*． ∴2+d=q2，32+322d=6q， 联立解得d=q=2． ∴an=2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1． （2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n•2n． ∴数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n-12-1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]． ∴n为偶数时，Tn=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]． =2n﹣1+n． n为奇数时，Tn=2n﹣1+2n-12﹣2n． =2n﹣2﹣n． ∴Tn=&2n-1-n，n为偶数&2n-2-n，n为奇数． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 20．（13分）已知函数f（x）=ex﹣1﹣axx-1，a∈R． （1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围； （2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立． 【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点； （2）问题可转换为（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，通过二次求导，得出结论． 【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax， g（x）=xex﹣a﹣1，g（x）=ex（x+1）＞0， ∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点， ∴g（0）=﹣a﹣1＜0，g（1）=e﹣a﹣1＞0， ∴﹣a＜a＜e﹣1； （2）当a≤﹣1时，f（x）＜0， ∴（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax＞0恒成立， 令G（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax， G（x）=xex﹣a﹣1，G（x）=ex（x+1）＞0， ∴G（x）在（0，1）单调递增， ∴G（x）≥G（0）=﹣a﹣1≥0， ∴G（x）在（0，1）单调递增， ∴G（x）≥G（0）=0， ∴（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0， ∴当a≤﹣1时，f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立． 【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导． 　 21．（14分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率是32，点P（1，32）在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围； （3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，…，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn． 【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得xQ，由0＜xQ＜1，即可求得k的取值范围； （3）由题意可知：故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得xi，xi′，根据直线的斜率公式，即可求得yi-yixi-xi=36，kM1N1=kM2N2=…=kMnNn，则M1N1∥M2N2∥…∥MnNn． 【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=32，则a2=4b2， 将P（1，32）代入椭圆方程：14b2+34b2=1，解得：b2=1，则a2=4， ∴椭圆的标准方程：x24+y2=1； （2）设直线l的方程y﹣32=k（x﹣1）， 则&y-32=k(x-1)&x24+y2=1，消去y，整理得：（1+4k2）x2+（43k﹣8k2）x+（4k2﹣43k﹣1）=0， 由x0•1=4k2-43k-11+4k2，由0＜x0＜1，则0＜4k2-43k-11+4k2＜1， 解得：﹣36＜k＜3-22，或k＞3+22，经验证，满足题意， 直线l斜率k的取值范围（﹣36，3-22）∪（3+22，+∞）； （3）动圆P的半径为PAi，PBi，故PAi=PBi，△PAiBi为等腰三角形，故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，设PAi的斜率ki，则直线PBi的斜率为﹣ki， 设直线PAi的方程：y﹣32=ki（x﹣1），则直线PBi的方程：y﹣32=﹣ki（x﹣1）， &y-32=ki(x-1)&x24+y2=1，消去y，整理得：（1+4ki2）x2+（43ki﹣8ki2）x+（4ki2﹣43ki﹣1）=0，设Mi（xi，yi），Ni（xi′，yi′）， 则xi•1=4ki2-43ki-11+4ki2，则xi=4ki2-43ki-11+4ki2， 将﹣ki代替ki，则xi′=4ki2+43ki-11+4ki2， 则xi+xi′=8ki2-21+4ki2，xi﹣xi′=﹣83ki1+4ki2，yi﹣yi′=ki（xi﹣1）+32+ki（xi﹣1）﹣32=ki（xi+xi′）﹣2ki， =ki8ki2-21+4ki2﹣2ki， =-4ki1+4ki2， 则yi-yixi-xi=-4ki1+4ki2-83ki1+4ki2=36， 故kM1N1=kM2N2=…=kMnNn， ∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．